§6 余弦函数的图像与性质
6.1 余弦函数的图像
6.2 余弦函数的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)
3.掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
1.利用诱导公式，通过平移得到余弦函数的图像，体会数学抽象素养．
2.通过五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像，提升直观想象素养.
1．余弦函数的图像
(1)利用图像变换作余弦函数的图像
因为y＝cos x＝sin ，所以余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到．如图是余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
(2)利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos x(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图)．
思考1：根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？
[提示] 能，根据cos x＝sin，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像．
2．余弦函数的性质
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
思考2：余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
[提示] 观察图像(图略)可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
1．用五点法作出函数y＝3－cos x的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A．(π，－1) B．(0,2)
C． D．
A [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)．]
2．函数y＝－3cos x＋2的值域为( )
A．[－1,5] B．[－5,1]
C．[－1,1] D．[－3,1]
A [因为－1≤cos x≤1，所以－1≤－3cos x＋2≤5.]
3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
D [f(x)＝sin＝－sin＝－cos x，由f(x)＝cos x的性质可判断A、B、C均正确．]
4．已知函数y＝－cos x，x∈[0,2π]，则其递增区间为________．
[0，π] [当x∈[0,2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－cos x在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．]
余弦函数图像的画法
【例1】 画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
[解] 法一：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－cos x
－1
0
1
0
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图．
法二：作函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得y＝－cos x，x∈[0,2π]的图像．
所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：?0，1?，，?π，－1?，，?2π，1?.
1．作函数y＝cos x－1，x∈[0,2π]的简图．
[解] 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
cos x
0
－
0
cos x－1
－
－1
－
－1
－
在坐标系内，根据五点、、、、画图，如图所示．
余弦函数图像的应用
【例2】 已知y＝cos x(x∈R)，求：
(1)y≥时x的集合；
(2)－≤y≤时x的集合．
[解] 用五点法作出y＝cos x的简图．
(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为.
(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z和，
k∈Z，，k∈Z，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：
.
利用余弦曲线求解cos α≥a或cos α≤a?|a|<1?的步骤：
?1?作出余弦函数在一个周期内的图像?选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定?；?2?作直线y＝a与函数图像相交；?3?在一个周期内确定x的取值范围；?4?根据余弦函数周期性确定最终的范围.
2．在同一坐标系中，画出函数y＝sin x与y＝cos x在[0,2π]上的简图，并根据图像写出sin x≥cos x在[0,2π]上的解集．
[解] 用五点法画出y＝sin x与y＝cos x的简图如下：
由上图可得sin x≥cos x在[0,2π]上的解集为.
余弦函数的单调性及应用
【例3】 (1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
(2)比较cos与cos 的大小．
[解] (1)∵－<0，
∴y＝1－cos x的单调性与y＝cos x的单调性相反．
∵y＝cos x的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴y＝1－cos x的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)cos ＝cos＝cos .
cos＝cos .
又0<<<π，y＝cos x在x∈[0，π]为减函数，
∴cos>cos .
1．形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间：
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反．
2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．
3．(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
(2)比较大小cos π________cos.
(1)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) (2)< [(1)由于y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)由于cos π＝cos＝cos ，
cos＝cos＝cos＝cos ，
y＝cos x在[0，π]上是减少的．
由<知cos >cos ，
即cos π与余弦函数有关的最值问题
[探究问题]
1．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
[提示] 不是．余弦函数y＝cos x在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°2．对于y＝Acos2x＋Bcos x＋C型的函数如何求其最值？
[提示] 利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求其最值．
【例4】 求下列函数的最值．
(1)y＝－cos2x＋cos x；
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈.
[思路探究] 本题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．
[解] (1)y＝－2＋.
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos x的最大值为，最小值为－2.
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，cos x∈，
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.
1．(变条件)若例4中的(1)变为“y＝”，如何求函数的值域．
[解] y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，
即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
2．(变条件)将例4(2)变为“函数y＝－cos2x＋cos x＋1 ”，试求函数的值域．
[解] 设cos x＝t，∵－≤x≤，则t∈，
∴y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，t∈，
∴当t＝，即x＝±时，ymax＝，
当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，
∴函数的值域为.
求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
?1?sin x，cos x的有界性；
?2?sin x，cos x的单调性；
?3?化为sin x＝f?x?或cos x＝f?x?，利用|f?x?|≤1来确定；
?4?通过换元转化为二次函数.
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断．
2．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的图像关于坐标原点对称．( )
(2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移个单位得到．( )
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝－的交点有________个．
2 [作y＝cos x，x∈[0,2π]的图像(图略)及直线y＝－，知有2个交点．]
3．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．画出y＝1－3cos x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－3cos x
－2
1
4
1
－2
图像如下：
由图像可知，函数y＝1－3cos x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，单调减区间为[π，2π]．
课件49张PPT。第一章 三角函数§6 余弦函数的图像与性质
6.1 余弦函数的图像
6.2 余弦函数的性质左 (0,1) (π，－1) (2π，1) x＝2kπ(k∈Z) x＝2kπ＋π(k∈Z) 2π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 偶函数 y轴 余弦函数图像的画法 余弦函数图像的应用 余弦函数的单调性及应用 与余弦函数有关的最值问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．对余弦函数y＝cos x的图像，有如下描述：
①向左向右无限延伸；②与y＝sin x的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．]
2．函数y＝|cos x|－1的最小正周期是( )
A．2kπ(k∈Z) B．3π
C．π D．2π
C [∵函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，
由函数y＝|cos x|的图像知其最小正周期为π，
∴y＝|cos x|－1的最小正周期也是π，故选C.]
3．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
C [函数y＝|cos x|的图像如图所示，由图像知在上y＝|cos x|是减少的．]
4．从函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像来看，对应于cos x＝的x有( )
A．1个值 B．2个值
C．3个值 D．4个值
B [由于函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有且只有两个交点，所以选B.]
5．函数y＝x2cos x的部分图像是( )
A B C D
A [设f(x)＝x2cos x，
f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故排除B，D.
当x＝时，y＝cos＝＞0，故排除C.]
二、填空题
6．设P，Q分别是函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则P＋2Q＝________.
－ [∵－1≤cos x≤1，
∴ymax＝×1－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，
∴P＋2Q＝－＋2×＝－.]
7．比较大小：cos________sin .
> [∵cos＝cos＝cos，sin ＝cos ＝cos .
而0<<<，
∴cos>cos，即cos >sin.]
8．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(cos x)的定义域为________．
(k∈Z) [∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0≤cos x≤1，∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.]
三、解答题
9．画出函数y＝3＋2cos x的简图．
(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；
(2)讨论此函数的单调性．
[解] 按五个关键点列表如下，
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
描点画出图像(如图)．
(1)当cos x＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当cos x＝－1，即x∈{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
(2)令t＝cos x，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增加的，
所以当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cos x是增加的，y＝3＋2cos x也是增加的，当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数y＝cos x是减少的，y＝3＋2cos x也是减少的．
10．求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(2cos x－)．
[解] (1)由题意，得1－2cos x≥0，
所以cos x≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2，
所以－1≤1－2cos x≤3，又y＝≥0，
所以原函数的值域为[0，]．
(2)由题意，得2cos x－＞0，所以cos x＞，结合y＝cos x的图像(如图)可得：－＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)．
所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cos x≤1，
所以－2－≤2cos x－≤2－.
因为y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．
所以y＝lg(2cos x－)的值域为(－∞，lg(2－))．
[等级过关练]
1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为( )
A B C D
D [y＝故选D.]
2．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( )
A. B.
C.0 D.
D [当φ＝时，f(x)＝cos＝－sin x，其定义域为R，且f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，f(x)为奇函数．]
3．若cos x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围是________．
[当x∈时，cos x∈.
由2m＋3∈，得m∈.]
4．已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
[由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是，所以sin＝，又0≤φ≤π，解得φ＝.]
5．已知函数y＝cos x－|cos x|.
(1)画出函数的图像；
(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性；
(3)求出该函数的单调递减区间．
[解] (1)y＝cos x－|cos x|
＝
函数图像如图所示：
(2)由图像可知，函数图像关于y轴对称，故该函数为偶函数，
函数图像每隔2kπ(k∈Z)重新出现，故为周期函数．
(3)该函数的单调递减区间为(k∈Z)．
