§7 正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像．
2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)
3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点).
1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像体会数学直观素养．
2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题提升数学运算素养.
1．正切函数的定义
(1)正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．
(2)正切线
如图所示，线段AT为角α的正切线．
思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
[提示] 当a≠0时，有意义．
tan α＝.
2．正切函数的图像与性质
图像
性
质
定义域
值域
R
奇偶性
奇函数
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，
最小正周期为π
单调性
在，k∈Z上是增加的
对称性
该图像的对称中心为，k∈Z
思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？
[提示] 不能．正切函数y＝tan x在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为( )
A．7 B．8 C．15 D.
B [由正切函数的定义知tan α＝＝，解得x＝8.]
2．函数y＝tan x的对称中心坐标为( )
A．(kπ，0)(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(2kπ，0)(k∈Z)
C [y＝tan x的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tan x无意义的点都是对称中心．]
3．函数y＝tan 2x的定义域为________．
[由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．解得x≠＋(k∈Z)．]
4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
[0,1] [函数y＝tan x在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan 0＝0.]
正切函数的概念
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．
[解] r＝＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.
tan α＝＝＝－；
若a<0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝.
2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，求tan α的值．
[解] 由题意知cos α＝＝－，∴b＝±3.又cos α＝－<0，
∴P在第二象限，∴b＝3.
∴tan α＝－.
正切函数的图像
【例2】 作出函数y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性．
[思路探究] 去掉绝对值号，先作出x≥0时的图像，再利用图像变换作出x<0时的图像．
[解] ∵y＝tan |x|
＝
∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tan x在y轴右侧的图像．
当x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图像为y＝tan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：
由图像知，函数y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．
1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
2．(1)函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是
( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是图中的________．(填序号)
① ② ③ ④
(1)A (2)④ [(1)如图，函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是3.
(2)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝]
正切函数的性质
[探究问题]
1．如何判断函数的奇偶性．
[提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
2．函数y＝tan x的周期是多少？y＝|tan x|的周期呢？
[提示] y＝tan x的周期是π，y＝|tan x|的周期也是π.
【例3】 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期．
[思路探究] (1)通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．
[解] (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
1．(变条件)若将例3中的函数变为“f(x)＝－a|tan x|”则它的最小正周期是多少？
[解] f(x)的最小正周期不变还是π.
2．(变结论)例3中的条件不变，求f(x)的单调区间．
[解] ∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a>0时，f(x)在(k∈Z)上单调递减，
当a<0时，f(x)在(k∈Z)上单调递增．
3．(变结论)例3中的条件不变，求f(x)在上的值域．
[解] 当a>0时，f(x)在上单调递减，
故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
当a<0时，f(x)在上单调递增，
当x＝时，f(x)min＝－a.无最大值．
∴f(x)的值域为[－a，＋∞)．
对于形如y＝Atan?ωx＋φ??A，ω，φ为非零常数?的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，，，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.
(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增加的.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数．( )
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增函数．( )
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数．( )
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
C [由kπ－解得kπ－3．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________.
－ [由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.]
4．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－<θ<，求θ的值．
[解] 因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－<θ<，
∴当k＝2时，θ＝；
当k＝1时，θ＝－.
∴满足题意的θ为或－.
课件41张PPT。第一章 三角函数§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质y＝tan α AT π 正切函数的概念 正切函数的图像 正切函数的性质 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知sin θ·tan θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
B [若sin θ>0，tan θ<0，则θ在第二象限；若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]
2．若已知角α满足sin α＝，cos α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
B [由三角函数定义可知tan α＝.]
3．函数f(x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
D [f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.]
4．直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )
A．π B．2π
C． D．与a值有关
C [两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为.]
5．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
B [由tan＝，得
2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
所以x＝(k∈Z)，
又x∈[0,2π)，
所以x＝0，，π，.故选B.]
二、填空题
6．已知角α的终边上一点P(－2,1)，则tan α＝________.
－ [由正切函数的定义知tan α＝＝－.]
7．比较大小：tan 211°________tan 392°.
＜ [tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.
tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，
因为tan 31°＜tan 32°，
所以tan 211°＜tan 392°.]
8．函数f(x)＝＋的定义域为________．
[要使函数f(x)有意义，
需即
解得
故≤x≤1.]
三、解答题
9．根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
[解] 作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
10．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
[解] 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
[等级过关练]
1．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
C [b＝cos 55°＝sin 35°，又a＝sin 33°，0°<33°<35°<90°，
且y＝sin x在[0°，90°]是增加的，所以sin 33°即b>a.
tan 35°＝，又cos 35°∈，
所以tan 35°>sin 35°，故c>b>a.]
2．函数f(x)＝2x－tan x在上的图像大致为( )
C [∵f(－x)＝2(－x)－tan(－x)
＝－2x＋tan x
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A、B.
又∵f＝2×－tan ＝－>0，
∴排除D，选C.]
3．已知tan α＝3，则＝________.
10 [原式＝＝＝10.]
4．函数y＝－tan2x＋2tan x的最大值是________．
1 [定义域为.设tan x＝t，则t∈R，则y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，∴当t＝1，即tan x＝1，x＝＋kπ(k∈Z)时，y取得最大值1.]
5．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为，且图像关于点M对称，求f(x)的解析式．
[解] 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，
∴ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图像关于点M对称，
∴2·＋φ＝kπ或＋kπ(k∈Z)．
即φ＝kπ＋或φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<，∴φ＝，
故f(x)＝tan.
