7.3 正切函数的诱导公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式.
2．掌握正切函数的诱导公式.
1.通过推导诱导公式体会逻辑推理素养．
2．通过运用正切函数的诱导公式解决问题，提升数学运算素养.
正切函数的诱导公式
角x
函数y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α(k∈Z)
tan α
函数名不变，
符号看象限
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，
符号看象限
－α
cot α
思考：前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？
[提示] 因为tan α＝，所以口诀对正切函数依然适用．
1．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是( )
A．α为锐角
B．α为不等于的任意角
C．α为任意角
D．α≠kπ＋(k∈Z)
D [由正切函数的定义可知α≠kπ＋(k∈Z)．]
2．下列诱导公式中错误的是( )
A．tan(π－α)＝－tan α
B．cos＝sin α
C．sin(π＋α)＝－sin α
D．cos(π－α)＝－cos α
[答案] B
3．tan等于( )
A．－cot α B．cot α
C．tan α D．－tan α
[答案] A
4．tan 的值为( )
A． B．－
C． D．－
D [tan ＝tan＝－tan＝－.]
三角函数间关系的应用
【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.
∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化；正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.
1．已知α为第二象限角，且tan α－＝，求的值．
[解] 由tan α－＝，
得4tan2α－15tan α－4＝0，
得tan α＝－或tan α＝4.
又α为第二象限的角，
所以tan α＝－.
故＝＝＝.
利用诱导公式求值
【例2】 求下列各式的值：
(1)tan；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[思路探究] 利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值．
[解] (1)tan＝－tan
＝－tan＝－tan
＝tan ＝.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin 1 866°－sin(－606°)＝tan 10°－tan 10°＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝sin 66°－sin 66°＝0.
利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间的三角函数，最后转化为锐角三角函数求值.
2．求下列三角函数的值：
(1)tan 150°；(2)tan.
[解] (1)tan 150°＝tan＝－tan 30°＝－.
(2)tan＝－tan ＝－tan
＝－tan＝－tan ＝－.
利用诱导公式化简与证明
[探究问题]
1．与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？
[提示] 求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．
2．利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？
[提示]
【例3】 (1)化简：；
(2)求值：.
[思路探究] 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．
[解] (1)原式＝
＝＝－cos α.
(2)原式＝
＝＝＝2－.
1．将例3(1)变为“已知tan(3π－α)＝，
求的值”．
[解] 因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝，所以tan α＝－.
原式＝
＝＝－tan α＝.
2．将例3(2)变为“若a＝”，试求a2＋a＋1的值．
[解] a＝
＝＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
1．三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略：
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项折角法，公式变形法．
1．正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．
2．在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．
特别提醒：应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan＝cot α.( )
(2)对任意α∈R，都有tan(－α)＝－tan α.( )
(3)tan(kπ－α)＝－tan α.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．tan 300°＋sin 450°的值为( )
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
B [tan 300°＋sin 450°
＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.]
3．若cot α＝m，则tan＝( )
A．m B．－m
C． D．－
A [tan＝tan＝
tan＝cot α＝m.]
4．已知角α的终边经过点P(4，－3)．
(1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)求·的值．
[解] (1)因为r＝＝5，所以sin α＝＝
－，cos α＝＝，tan α＝＝－.
(2)·＝·
＝－＝－＝－.
课件37张PPT。第一章 三角函数§7 正切函数
7.3 正切函数的诱导公式23456789101112三角函数间关系的应用 1314151617利用诱导公式求值 18192021利用诱导公式化简与证明 222324252627282930313233343536点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 正切函数的诱导公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．tan 的值为( )
A． B．－
C． D．－
C [tan ＝tan＝tan ＝.]
2．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
A [∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝，tan(180°－α)＝－tan α＝－.]
3．已知tan(－80°)＝k，那么tan 100°的值是( )
A．－k B．k
C. D.
B [tan(－80°)＝－tan 80°＝k，则tan 80°＝－k.
tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k.]
4．已知f(α)＝，则f的值为( )
A. B．－
C. D．－
B [由于tan＝
＝＝，
所以f(α)＝＝－cos α，
则f＝－cos
＝－cos
＝－cos ＝－.]
5．已知tan(π＋α)＋＝2，则tan(π－α)＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
D [tan(π＋α)＋＝tan α＋＝2，即＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.]
二、填空题
6．函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋2，且f(－3)＝5，则f(3)等于________．
－1 [∵f(－3)＝asin(－6)＋btan(－3)＋2＝5.
∴－asin 6－btan 3＝3，即asin 6＋btan 3＝－3.
∴f(3)＝asin 6＋btan 3＋2＝－3＋2＝－1.]
7．已知tan＝，则tan＝________.
－ [tan＝tan
＝－tan＝－.]
8．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝________.
－ [因为cos＝－sin φ＝，
所以sin φ＝－.
因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以tan φ＝tan＝－tan＝－.]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)sin cos tan ；
(2)sin(－1 200°)tan －cos 585°tan.
[解] (1)原式＝sin costan
＝cos tan
＝cos＝
＝－×＝－.
(2)原式＝－sin(4×360°－240°)tan－cos(360°＋225°)＝－sin(－240°)tan －cos 45°tan
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－sin 60°－
＝－.
10．已知角α的终边与单位圆交于点，
试求的值．
[解] 原式＝
＝－＝－tan2 α.
∵角α的终边与单位圆交于点，
∴tan α＝－.∴原式＝－.
[等级过关练]
1．已知tan(π－α)＝－，则的值是( )
A. B.
C. D．1
B [由tan(π－α)＝－得tan α＝.
∴＝
＝＝.]
2．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)
＝·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·
＝－1.]
3．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝________.
－ [由tan(π－x)＝，知tan x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝－tan(π－x)＝tan x＝－.]
4．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
－2 [由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.
∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.]
5．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝－tan2α＝－
＝－.
