§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)
3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点)
1.通过用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，体会直观想象素养．
2．通过学习函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的平移与伸缩变换，体会数学抽象素养.
1．参数A，φ，ω，b的作用(其中A>0，ω>0)
参数
作用
A，b
A和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]
φ
φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相
ω
ω决定了函数的周期，其计算方式为T＝，周期的倒数f＝＝为频率
思考1：函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
[提示] 2π，π，4π.
当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
2．平移变换
(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
(2)上下平移：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
思考2：如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？
[提示] 向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位．
3．伸缩变换
(1)振幅变换：对于函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
(2)周期变换：对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
思考3：对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
[提示] 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
[答案] B
2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
C [法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图像
如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.
法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.]
3．要得到y＝sin的图像只需将y＝sin x的图像向________平移________个单位．
[答案] 左
4．函数y＝－2sin的最大值为________，最小值为________．
[答案] 2 －2
五点作图法
【例1】 用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
[解] (1)列表：
x
x－
0
π
2π
y
0
3
0
－3
0
(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．
(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin 的图像．
此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.
五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：?
?1?分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想.?
?2?取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标.
1．用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
[解] (1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值．
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
(2)描点．
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．
此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.
三角函数图像的变换
【例2】 写出由y＝sin x的图像变化到y＝3sin的图像的不同方法步骤．
[解] 法一：先平移再伸缩，过程如下：
①把y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像；
②把y＝sin 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图像；
③将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把y＝sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图像；
②把y＝sin x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；
③把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
由y＝sin x的图像，通过变换得到y＝Asin?ωx＋φ?的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换.两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移个单位.不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少.
2．函数y＝3sin的图像是由y＝sin x的图像如何变换得到的？
[解] y＝3sin的图像可用下面的方法得到：
求函数的解析式
[探究问题]
1．如何求A，b?
[提示] A＝，b＝.
2．如何求ω？
[提示] 先求周期T，再求ω，其中ω＝.
3．如何求φ？
[提示] 由图像上的点来求，通常选取波峰或波谷．
【例3】 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．
[思路探究] 由图像观察函数周期、振幅、由特殊点法确定初相φ.
[解] 法一：(最值点法)由图像可得ω＝，将最高点坐标代入y＝2sin，
得2sin＝2.所以＋φ＝2kπ＋.所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又因为|φ|<π，所以φ＝，又因为A＝2，
所以此函数的解析式为y＝2sin.
法二：(起始点法)由图像求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝.
又因为A＝2，所以此函数的解析式为
y＝2sin.
1．(变条件)将例3中的图像变为如图所示，试求函数的解析式．
[解] 法一：根据题意，A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，将点M代入y＝3sin(2x＋φ)中，
3＝3sin，
∴sin＝1，
∴＋φ＝，即φ＝，
从而所求函数解析式为y＝3sin.
法二：由图像知A＝3，又图像过M，N，根据五点作图法的原理(M，N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有解得
从而所求函数解析式是y＝3sin.
2.(变条件，变结论)将例3的函数变为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b，图像变为如图所示，试求f(x)的解析式，并求S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)．
[解] (1)由图像知A＝＝，b＝＝1，
ω＝＝＝.
∴f(x)＝sin＋1.
又∵点(0,1)在函数图像上，
∴f(0)＝1，即1＝sin φ＋1，∴sin φ＝0.
又|φ|<，故φ＝0，
∴f(x)＝sin x＋1.
(2)由(1)知函数f(x)＝sin x＋1，周期T＝＝4.
∴S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×505.
又∵f(0)＝1，f(1)＝，f(2)＝1，f(3)＝，f(4)＝1，
∴S＝1＋×505＝2 021.
由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b：
?1?A：一般由图像上的最大值m、最小值n来确定A＝.
?2?ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点?或最低点?之间的距离为T来确定.
?3?φ：从寻找“五点法”中的第一个点?也叫初始点?作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置.
依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：
“第一点”?即图像上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；
“第二点”?即图像曲线的“峰点”?为ωx＋φ＝f(π,2)；
“第三点”?即图像下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；
“第四点”?即图像曲线的“谷点”?为ωx＋φ＝f(3π,2)；
“第五点”?即图像第二次上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝2π.?在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的限制条件.
1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω>0)代替x，振幅变换是用来代替y(A>0)．
2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A的大小决定了函数的振幅．( )
(2)ω的大小与函数的周期有关．( )
(3)φ的大小决定了函数与y＝sin x的相对位置．( )
(4)b的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．把函数y＝sin的图像向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图像．
右 [y＝sin＝sin 2，所以将其向右移动个单位得到y＝sin 2x的图像．]
3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
[由＝－＝，∴T＝π，
由T＝(ω>0)得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.
∴点的坐标为.]
4．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图像．
[解] 列表：
x
π
4π
7π
x－
0
π
2π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)：
课件52张PPT。第一章 三角函数§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像234值域 振幅 振幅 [－A＋b，A＋b] x＝0 初相 周期 5678A 91011121314151617五点作图法 181920212223三角函数图像的变换 242526272829求函数的解析式 30313233343536373839404142434445464748495051点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点 ( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
A [只需把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图像，故选A.]
2．要得到函数y＝cos 2x的图像，可由函数y＝cos的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
C [y＝cos
y＝cos＝cos
＝cos 2x.]
3．将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinx D．y＝sin
D [y＝siny＝siny＝sin
＝sin.故选D.]
4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的，纵坐标不变；③向左平移个单位长度；④向右平移个单位长度；⑤向左平移个单位长度；⑥向右平移个单位长度，则由函数y＝sin x的图像得到y＝sin的图像，可以实施的方案是( )
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
D [由y＝sin x的图像到y＝sin的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.]
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
C [由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点得φ＝.]
二、填空题
6．将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0＜φ＜π)的图像，则φ的值为________．
[将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin，所以φ的值为.]
7．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得图像的函数解析式为________．
siny＝2sin 2x.]
8.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω等于________．
3 [从题图中可以看出：周期T＝－－(－π)＝，所以ω＝＝3.]
三、解答题
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在其一个周期内的图像上有一个最高点和一个最低点，求该函数的解析式．
[解] 由题意知：b＝＝－1，T＝π，A＝4，
∴ω＝＝2.
∴所求函数为y＝4sin(2x＋φ)－1.
∵为该函数图像上的点，
∴当x＝时，y＝3，
即4sin－1＝3，∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝＋2kπ.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴该函数的解析式为y＝4sin－1.
10．已知函数y＝sin＋1.
(1)用五点法画出函数的草图；
(2)函数图像可由y＝sin x的图像怎样变换得到？
[解] (1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点、连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图像向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，即可得到y＝sin＋1的整个图像．
[等级过关练]
1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则f等于( )
A．－ B．－
C． D．
B [∵T＝－＝，∴T＝.
∴＝，即ω＝3.
又∵3×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－.
∴f＝sin＝sin＝sin ＝－.]
2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A． B．
C．0 D．－
B [将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图像，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以选B.]
3．某同学给出了以下论断：
①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像．
其中正确的结论是________(填序号)．
①③ [将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．]
4．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
[由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.
由x∈，得－≤2x－≤π，∴－≤f(x)≤3.]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＜
在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
[解] (1)由题图可知A＝2，T＝－＝4π，
则ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
即2sin＝2，可得φ＝2kπ＋，
又－＜φ＜，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x
＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos＝sincos
＝(－1)×＝.
