第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)
2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)
1.通过求函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及最值，体会数学运算素养．
2．通过理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，体会直观想象素养.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin (ωx＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由
2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；
递减区间由
2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
思考：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间应注意什么？
[提示] 对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．
1．函数y＝2sin＋1的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.]
2．函数y＝sin的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
B [由T＝＝＝π.故选B.]
3．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是( )
A．[0，π] B．
C． D．[π，2π]
C [因为函数y＝sin x的单调递增区间是，k∈Z，故当k＝0时，即为，故选C.]
4．函数f(x)＝sin的图像的对称轴方程是_______________．
x＝kπ＋，k∈Z [由x－＝kπ＋解得x＝kπ＋，k∈Z.]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
【例1】 求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．
(1)y＝－3sin 2x；
(2)f(x)＝2sin－3(ω＞0)，最小正周期是π.
[解] (1)函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合是，则2x＝－＋2kπ，解得x＝－＋kπ，k∈Z.
因此使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是.
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是.
(2)由T＝＝π，得ω＝2，
所以f(x)＝2sin－3，
则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，则x＝kπ＋，k∈Z，
即自变量x的取值集合是；
函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋＝2kπ－，k∈Z，则x＝kπ－，k∈Z，
即自变量x的取值集合是.
求函数y＝Asin?ωx＋φ?，x∈[m，n]的值域的步骤：
?1?换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
?2?作出y＝sin u?注意u的取值范围?的图像；?
?3?结合图像求出值域.
1．求函数y＝2sin的最大值和最小值．
[解] ∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【例2】 求函数y＝2sin的递增区间．
[解] ∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间就是函数
u＝－2sin的递减区间．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为：
(k∈Z)．
1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin x的单调区间，求得函数的单调区间．当x的系数为负时，可用诱导公式将其化为正，再求单调区间．
2．求函数y＝tan的单调区间．
[解] y＝tan
＝－tan，
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
[探究问题]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
[提示] 对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．
2．已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω是常数，且ω>0)，若f(x)是偶函数，则φ等于什么？若f(x)是奇函数，则φ等于什么？
[提示] f(x)是偶函数?f(0)＝±1?φ＝＋kπ，k∈Z，f(x)是奇函数?f(0)＝0?φ＝kπ，k∈Z.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么？
[提示] 意味着图像过点(x0,0)，即Asin(ωx0＋φ)＝0.
【例3】 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[思路探究] 根据对称轴，对称中心的特征建立方程求解．
[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝±1.
依题知0≤φ≤π，解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知sin＝0，即ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2，
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
1．若将例3中的条件变为“函数y＝Asin(ωx＋φ) 的最大值为2，相邻的最高点与最底点的横坐标之差为3π，且过点(0，)”，试求函数的解析式及单调增区间．
[解] ∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，
∴A＝2，＝3π，∴＝6π，∴ω＝，
∴y＝2sin.
又∵函数图像过点(0，)，0<φ<，
∴2sin φ＝，∴φ＝，
∴函数解析式为y＝2sin.
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
得－π＋6kπ≤x≤π＋6kπ(k∈Z)，
∴单调增区间为.
2．将例3中的条件变为“函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)满足f＝f(x)”，试求φ的值并求出函数的单调增区间．
[解] (1)∵x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，由此可得φ＝－.
(2)由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
函数y＝Asin?ωx＋φ?＋b的性质的应用?
?1?应用范围：?
函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面.?
?2?解决的方法：?
求函数y＝Asin?ωx＋φ?＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sin u的相应性质顺利解决.
1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin，x∈R的值域为.( )
(2)函数y＝2sin的周期为4π.( )
(3)函数y＝3sin，x∈R是偶函数．( )
(4)函数y＝3sin，x∈R的一条对称轴为x＝.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
D [因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以T＝＝π，所以ω＝2.
因为f(0)＝2sin φ＝，所以sin φ＝.
又因为|φ|＜，所以φ＝.]
3．y＝2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________．
[由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即×＝.]
4．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)．所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
课件42张PPT。第一章 三角函数§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质234[－A，A] R 56789101112函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题 131415161718函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1920212223函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 242526272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是
( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
A [由于T＝＝π，得ω＝2，
则f(x)＝sin.
当x＝时，sin＝0，
∴该函数的图像关于点对称，故选A.]
2．函数y＝8sin取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
B [∵y的最大值为8，此时sin＝1，
即6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)，故选B.]
3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )
A．3 B．2
C． D．
C [由题意知，函数在x＝处取得最大值1，
所以1＝sin ，即ω＝，故选C.]
4．函数y＝sin 2x的一个单调递增区间可以是( )
A. B.
C. D.
A [由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故当k＝0时的单调递增区间为.]
5．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是
( )
A．非奇非偶函数 B．既奇又偶函数
C．奇函数 D．偶函数
C [将函数y＝sin的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin＝sin＝sin 2x，为奇函数，故选C.]
二、填空题
6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
－ [由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时，
y＝sin取最小值－1，
故y＝1－3sin取最大值4.]
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是________，最小值是________．
－ [∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.]
8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是________．(填序号)
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
①③ [因为4sin＝4cos＝
4cos，所以①正确，易得②不正确，而
f＝0，故是对称中心，③正确，④不正确．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图所示，
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
[解] (1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)T＝，则ω＝2，
又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，
而－<φ<，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
[解] 因为f>f(π)，
故sin (π＋φ)>sin φ，得sin φ<0，
又f(x)≤对x∈R恒成立，
故f＝±1，
即sin＝±1，
＋φ＝＋kπ，k∈Z，
φ＝＋kπ，k∈Z.
又sin φ<0，取φ＝－，
故f(x)＝sin .
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
[等级过关练]
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图像不可能是( )
D [当a＝0时f(x)＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，
当|a|>1时T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A、B、C.
D项中，由振幅得a>1，∴T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.]
2．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
B [由题可得平移后的函数为y＝3sin＝
3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.]
3．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
2 [由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]
4．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
2 [若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)≤f(x)min且f(x2)≥f(x)max，当且仅当f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max时，|x1－x2|的最小值为f(x)＝2sin的半个周期，即|x1－x2|min＝×＝2.]
5．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．
[解] 令y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k<时，直线y2＝k与曲线y1＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k<时，原方程有两个解．
