§9 三角函数的简单应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)
2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1.通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养．
2．通过将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模素养.
三角函数模型的应用
(1)三角函数模型的应用
①根据实际问题的图像求出函数解析式．
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
(2)解答三角函数应用题的一般步骤
思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
[提示] A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
1．如图为某简谐运动的图像，这个简谐运动往返一次所需时间为( )
A．0.4 s B．0.6 s
C．0.8 s D．1.2 s
C [由图像知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]
2．求下列函数的周期：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
[答案] (1) (2) (3)
3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵T＝＝，∴f＝＝80.]
4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是________．
y＝2sin [不妨设所求解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝2，＝0.8，ω＝，
由于图像过点(0，)，
所以2sin φ＝，
结合图像可取φ＝，
故y＝2sin.]
已知解析式求周期、最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] (1)当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，
即t＝ s时第一次取得最大值．
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键.
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
[解] (1)单摆的周期T＝＝1，若令2πt＋＝0，即t＝－，这时s＝0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：
t
－
s＝6sin
0
6
0
－6
0
用光滑的曲线连接这些点，得函数
s＝6sin的图像(如图)．
(2)当t＝0时，s＝6sin ＝6×＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.
已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像．
根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
[解] 由图像可知A＝300，又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π·＋φ＝0，即φ＝，
∴I＝300sin.
求解析式的难点在于求φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.
2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解] (1)由题图知，这段时间的最大温差是30－10＝20 (℃)．
(2)题图中从6时到14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．所以×＝14－6，解得ω＝，由图像知，A＝(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，所以y＝10sin＋20.因为x＝6时，y＝10，所以10＝10sin ＋20，所以sin＝－1，可令＋φ＝，所以φ＝.
综上所述，所求解析式为
y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
三角函数的实际应用
[探究问题]
1．建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？
[提示] (1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．
(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题．
(3)最后将所得结果翻译成实际答案．
2．如何建立拟合函数模型？
[提示] (1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”．
(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型．
(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．
【例3】 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像．
(1)试根据以上数据，求函数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
[思路探究] (1)根据题意确定A，b，ω，φ.
(2)根据题意水深y≥11.5可求解．
[解] (1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12 h，
因此＝12，得ω＝.
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.
∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港．
令y＝3sint＋10≥11.5，得sint≥，
∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；
取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．
若将例3中“某港口的水深y是时间t(0≤t≤24，单位h)的函数”变为“海浪高度y(米)是时间t(时)的函数(0≤t≤24)且浪高数据如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
若该函数图像可近似地看成函数y＝Acos ωt＋b的图像．
试求：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y＝cost＋1>1，cost>0，
2kπ－<t<2kπ＋，
即12k－3又0≤t≤24，所以0≤t<3或9所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x在内是增函数．( )
(2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( )
(4)函数y＝sin [π(x－1)]的最小正周期为2.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
B [由图像可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B.]
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C [由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.]
4．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解] (1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)b＝＝40，A×1＋40＝50，∴A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，
则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，
代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
课件47张PPT。第一章 三角函数§9 三角函数的简单应用2345678910111213已知解析式求周期、最值 14151617181920已知模型求解析式 212223242526三角函数的实际应用 2728293031323334353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 三角函数的简单应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
C [因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所以乙的位置将移至丙处．]
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5 B.
C．2 D．－5
B [把t＝代入I＝5sin＝5sin＝，故选B.]
3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A．y＝23.9－5.55sinx B．y＝23.9－5.55cosx
C．y＝23.9－5.55tanx D．y＝23.9＋5.55cosx
B [将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B项符合要求，故选B.]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B.
C. D.
D [∵T＝，∴＝＝2π，∴l＝.]
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
A B C D
C [由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin，所以d＝2Rsin＝2Rsin，又R＝1，所以d＝2sin，故结合正弦函数图像可知，选C.]
二、填空题
6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
， [t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.]
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
8 [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为
28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20．5 [由题意可知，A＝＝5，
a＝＝23.
从而，y＝5cos＋23，
故10月份的平均气温值为
y＝5cos＋23＝20.5 ℃.]
三、解答题
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
[解] (1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(略)，设摩天轮上某人在Q处，则在t分钟内OQ转过的角为t，所以t分钟时，Q点的纵坐标为10·sin·t，故在t分钟时此人相对于地面的高度为
y＝10sint＋12(米)．
(2)令y＝10sint＋12≤10，则sint≤－，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72分钟此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×6＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
[等级过关练]
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7，则( )
A．ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C．ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
A [T＝＝15，ω＝，A＝10.]
2．一种波的波形为函数y＝－sinx的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
C [由y＝－sin的图像知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.]
3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
y＝0.2sint＋3.8(t>0)(答案不唯一) [假设三角函数模型为y＝Asin ωt＋b，
由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，
∴ω＝＝，∴y＝0.2sint＋3.8(t>0)．]
4.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
[取K，L中点N(图略)，则MN＝，
因此A＝，由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，∴f＝cos ＝.]
5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12，k∈Z.
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
