三角函数的定义
【例1】 已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值．
[解] 因为r＝，cos θ＝，
所以x＝＝.又x≠0，所以x＝±1.
又y＝3>0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3；
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3.
有关三角函数的概念主要有以下两个方面：?
?1?任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.?
?2?任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.
1．求函数f(x)＝＋的定义域．
[解] 函数f(x)有意义，则
即
如图所示，结合三角函数线知
∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z)．
故f(x)的定义域为(k∈Z)．
三角函数的诱导公式
【例2】 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．
2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，±α的诱导公式可归纳为：
k×＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．
2．若sin＝，求＋
.
[解] 因为sin＝，所以cos θ＝－.所以
＋
＝＋
＝－
＝－＝－＝.
三角函数的图像及其变换
【例3】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋kA>0，ω>0，φ<的一段图像．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
[解] (1)由图像知，A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，
得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，
得到y＝sin－1的图像．
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
3．若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式，并说明怎样变换f(x)的图像能得到g(x)＝3sin的图像．
[解] 因为函数f(x)最大值为3，所以A＝3，
又当x＝时函数f(x)取得最大值，所以sin＝1.
因为0<φ<π，故φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin，
将f(x)的图像向右平移个单位，即得
g(x)＝3sin＝3sin的图像．
三角函数的性质
[探究问题]
1．如何求三角函数的值域问题？
[提示] (1)利用sin x，cos x 的有界性．
(2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
2．如何求三角函数的单调区间？
[提示] 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．
【例4】 已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时，x的取值集合．
[思路探究] (1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解；
(2)先求x∈时，2x＋的范围，再根据最值求a的值；
(3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值．
[解] (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ(k∈Z)．
∴x＝＋kπ(k∈Z)．
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是.
将例4中的函数变为“f(x)＝sin(x∈R)”．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)∵f(x)＝sin，
∴T＝＝＝π，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)f(x)＝sin在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴函数f(x)在x＝处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．
又f＝0，f＝，
f＝－1.
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值?值域?，应引起重视.
课件30张PPT。第一章 三角函数章末复习课三角函数的定义 三角函数的诱导公式 三角函数的图像及其变换 三角函数的性质 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(一) 三角函数
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A. B.
C. D.
C [与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.]
2．tan 150°的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [tan 150°＝－tan 30°＝－.故选B.]
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由题意，根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D.]
4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( )
A．2，－2 B．1，－3
C．1，－1 D．2，－1
B [∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B.]
5．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为( )
A． B．±
C．－ D．－
C [∵cos α＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第二象限角，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.]
6．已知tan α＝3，则sin αcos α＝( )
A. B.
C. D.
A [∵tan α＝3，∴sin αcos α＝＝＝.]
7．已知函数f(x)＝3sin，则下列不等式中正确的是( )
A．f(1)B．f(2)C．f(3)D．f(2)B [∵f(x)＝3sin，
∴f(1)＝3sin＝，
f(2)＝3sin＝－3sin＝－，
f(3)＝3sin＝－3cos＝－.
∴f(2)8．要得到函数f(x)＝cos的图像，只需将函数g(x)＝sin的图像
( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
C [因为函数f(x)＝cos＝sin
＝sin，所以将函数g(x)＝sin的图像向左平移个单位长度，
即可得到函数y＝sin＝sin的图像．故应选C.]
9．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )
A. B.
C. D.
C [由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝.]
10．已知奇函数f(x)在[－1,0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )
A．f(cos α)＞f(cos β)
B．f(sin α)＞f(sin β)
C．f(sin α)＞f(cos β)
D．f(sin α)＜f(cos β)
D [由已知奇函数f(x)在[－1,0]上为减函数，知函数f(x)在[0,1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞且0＜α＜，0＜β＜，则＞α＞－β＞0，所以sin α＞sin，即sin α＞cos β，又0＜sin α＜1,0＜cos β＜1，所以f(sin α)＜f(cos β)成立，选D.]
11．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
B [将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度后所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin，而平移后所得图像与原图像重合，所以＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝4k(k∈Z)，所以ω的值不可能等于6，故选B.]
12．已知函数f(x)＝下列说法正确的是( )
A．该函数值域为[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取最大值1
C．该函数是以π为最小正周期的周期函数
D．当π＋2kπD [画出函数y＝f(x)图像如图：
由图像可知，值域为，A错；当x＝2kπ或x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值为1，B错；周期T＝－＝2π，C错．故选D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝sin的最小正周期为________．
π [由题意知，ω＝2，所以f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝π.]
14．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2.
[根据题意得：S扇形＝＝＝(cm2)．]
15．函数y＝1＋的定义域为________．
[由cos x－≥0，得cos x≥，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数y＝1＋的定义域为
.]
16．给出下列命题：
①函数y＝cos是奇函数；
②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α③y＝2sin x在区间上的最小值是－2，最大值是；
④x＝是函数y＝sin的一条对称轴．
其中正确命题的序号是________．
①④ [①函数y＝cos＝－sin x是奇函数，正确；
②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；
③y＝2sin x在区间上的最小值是－2，最大值是2，不正确；
④sin＝sin ＝－1.正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，)．求：
(1)sin(π－x)－sin的值；
(2)写出角x的集合S.
[解] ∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2，
∴sin x＝，cos x＝.
(1)原式＝sin x－cos x＝.
(2)由sin x＝，cos x＝.
若x∈[0,2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
[解] (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
[解] (1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
所以sin＝±1.
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知y＝sin，列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
描点连线，可得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．
20．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
∴sin＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
21．(本小题满分12分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图像过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位长度，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
[解] (1)由题图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝Asin 2x的图像向左平移，得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2·＝.
将(0,1)代入y＝Asin，得A＝2.
故f1(x)＝2sin.
(2)依题意，f2(x)＝2sin
＝－2cos，
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2，
x的取值集合为.
22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C，所以最大温差为30 °C－10°C＝20°C.
(2)令10sin＋20＝15，可得
sin＝－，而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
