§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度和力
1.2 向量的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
1.通过学习向量的有关概念，共线向量、相等向量的概念体会数学抽象素养．
2．通过判断与向量有关的命题的真假提升逻辑推理素养.
1．向量的有关概念
名称
定义
表示方法
零向量
长度为零的向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行
或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合
a与b平行或共线，记作a∥b.
规定：零向量与任一向量平行
思考1：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
[提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
2．向量及其表示
(1)定义
既有大小，又有方向的量叫作向量．
(2)有向线段
具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作.
(3)向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．
(4)向量的表示法
①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
②向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用
，， …来表示．
思考2：0的模长是多少？0有方向吗？单位向量的模长是多少？
[提示] 0的模长为0，方向任意．
单位向量的模长为1个单位长度．
1．下列各量中不是向量的是( )
A．浮力 B．速度
C．温度 D．加速度
C [向量是既有大小又有方向的量．]
2．如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
B [由图可知向量与是相等向量，满足条件．]
3.如图，在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [、、的模均为圆的半径，故相等．]
4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________，与共线的向量有________．
， ，，，，，， [在平行四边形ABCD和ABDE中，因为＝，＝，所以与相等的向量为，；由图知与向量共线的向量有，，，，，，.]
向量的有关概念
【例1】 判断下列各命题的真假：
(1)向量的长度与向量的长度相等；
(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
(4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
(5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [(1)真命题．
(2) 假命题．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．
(3)真命题．
(4)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．
(5)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．
(6)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．故选C.]
1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的定义．
2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．
1．给出下列几种说法：
①温度、速度、位移这些物理量都是向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③向量的模一定是正数；
④起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
其中说法正确的是________．(填序号)
④ [①错误，只有速度、位移是向量．
②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
③错误.0的模|0|0.
④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．]
向量的表示
【例2】 一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
(1)试作出向量，，；
(2)求|A|.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．
[解] (1)建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．
(2)根据题意，向量与方向相反，故向量∥.
又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝400(海里)．
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．
2.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
[解] (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，∴AD綊BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．
相等向量与共线向量
[探究问题]
1．如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
[提示] 方向相同或相反．
2．表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？
[提示] 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．
3．如果非零向量与是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？
[提示] 不一定共线．
4．与向量a共线的单位向量有几个？
[提示] 当a≠0时，有两个；当a＝0时，有无数个．
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
[思路探究] 由题目可获得以下主要信息：
①六边形ABCDEF是正六边形；
②＝a，＝b，＝c；
③求各相应向量．
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．
[解] (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
1．本例中＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
[解] 与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
2．本例条件不变，与共线的向量有哪些？
[解] 与共线的向量有，，，，，，，，.
1．向量共线有三种情形：
①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量．
2．向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．
1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以向量不能比较大小．
2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．
3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数量同向量一样可以比较大小．( )
(2)向量与向量是相等向量．( )
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(4)向量就是有向线段．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．]
3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．
一条直线 两个点 [因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．]
4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解] (1)＝＝，＝.
(2)，，.
课件40张PPT。第二章 平面向量§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度和力
1.2 向量的概念单位1 方向 重合零向量 大小 方向 方向 长度 起点 终点 长度 大小 有向线段 大小向量的有关概念 向量的表示 相等向量与共线向量 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
从位移、速度、力到向量
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C [②③④⑤是向量．]
2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
D [若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．]
3．如图所示，?ABCD中，相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
D [与方向相同且长度相等．]
4．下列说法中正确的个数是( )
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3
C．4 D．5
A [(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
D [由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，该四边形为菱形．]
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；||＝________.
－7 －4或－2 4 [由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，||＝－3－(－7)＝4.]
7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
(1)， (2)， 5 [(1)模相等的两个向量是，，
||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，
且||＋||＝2＋3＝5.]
8．给出下列几种叙述：
①两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________．(填序号)
④ [①错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．
②错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等．
③错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．
④正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
⑤错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．]
三、解答题
9．△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，试求下列问题：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解] (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
10.如图所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
[证明] ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
[等级过关练]
1．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是( )
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
B [a为任一非零向量，故|a|>0.]
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
D [由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，.因此选项B正确，而Rt△AOD中， ∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||.因此选项C正确．由于＝，因此与是共线的，故错误的选项是D.]
3．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
梯形 [∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，
∴四边形ABCD是梯形．]
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
2 [易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.]
5.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
[解] 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
