2.2 向量的减法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义．
2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.
1.通过学习向量减法的定义及相反向量，体会数学抽象素养．
2．通过向量减法的运算及几何意义作出向量的差，体会数学直观素养.
向量的减法
(1)相反向量
定
义
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a；
规定：零向量的相反向量仍是零向量
性
质
(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－0＝0；
(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a
定义
向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何
意义
如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
思考：向量减法的三角形法则是什么？
[提示] (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
1．下列等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由向量的减法及其几何意义，得a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而a＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]
2．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
C [＝－＝b－a.]
3．设正方形ABCD的边长为2，则|－＋－|＝________.
4 [如图，原式＝|(＋)－(＋)|＝|－|＝|＋|＝2||，
∵正方形边长为2.∴2||＝4.]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a－b|＝________.
[根据平行四边形法则，∵()2＝12＋22，
∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝.]
向量减法法则的应用
【例1】 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b、c－d.
[解] 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b.
1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
向量加减法的混合运算
【例2】 化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
[解] (1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋
＝＋0＝.
(2)法一：原式＝－＝.
法二：原式＝－(＋)＝－＝.
化简向量的和差的方法
?1?如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.
?2?可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.
?3?化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
2．化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
[解] (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
向量加减法的综合应用
[探究问题]
1．向量减法的实质是什么？
[提示] 加法的逆运算．
2．|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
[提示] |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．怎样求两个向量的差？
[提示] 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量点，和向量是对角线所对应的向量，而差向量是另一条对角线所对应的向量，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
4．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？
[提示] 在?OACB中，＝a，＝b，则：
(1)若|a|＝|b|，则?OACB为菱形．
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则?OACB为矩形．
(3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则?OACB为正方形．
【例3】 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题．
(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?
(2)当?ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
[思路探究] 解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对应关系，再结合图形，灵活转化求解．
[解] ∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b.
(1)当|a|＝|b|时，?ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.
(2)当?ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.
1．将例3中的条件变为“?ABCD中∠ABC＝60°，＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
[解] 依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2.
因为∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以BC＝AB.
所以?ABCD为菱形，AC⊥BD，
所以|a|2＝2＋2，
即4＝1＋，
所以|a－b|＝2.
2．若将例3中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|”．试判断四边形ABCD的形状．
[解] 由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，
即－＝－，
∴＝，于是AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，
∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．
1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.
3．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)＝－.( )
(3)a－b的相反向量是b－a.( )
(4)|a－b|＜|a＋b|.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
2 [|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.]
3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
7 17 [由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得．]
4.如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
[解] ＝＋＝＋＋
＝＋－＝c＋b－a.
课件38张PPT。第二章 平面向量§2 从位移的合成到向量的加法
2.2 向量的减法234相等 相反 －a 5零向量 －b －a 相反向量 (－b) 0 678910111213向量减法法则的应用 14151617向量加减法的混合运算 18192021向量加减法的综合应用 22232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 向量的减法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A. B.
C. D.
A [－＝＝.]
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
C [∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．]
3.如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
A [＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.]
4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C. D.
D [如图，作菱形ABCD，则|－|＝|－|＝||＝.]
5．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
[答案] B
二、填空题
6．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
13 [∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.]
7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
[答案]
8．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
30° [设＝a，＝b，则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.]
三、解答题
9.如图所示，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
[解] a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
所以＝＋，即为所求的向量a－c＋b－d－e.
10.如图所示，已知在矩形ABCD中，AD＝4，设＝a，＝b，＝c.试求
|a＋b＋c|.
[解] a＋b＋c＝＋＋＝＋.延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.由于＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
[等级过关练]
1．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
B [因为＋＝＋，
所以－＝－.
即＝，又A，B，C，D四点不共线，
所以||＝||，且BA∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形．]
2．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
C [∵||＝|－|，且|||－|||≤|－|≤||＋||.
∴3≤|－|≤13.∴3≤||≤13.]
3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
2 [以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，∴||＝||＝||＝2.]
4．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
①④ [因为四边形ACDF是平行四边形，
所以－＋＝＋＝，
－＋＝＋＋＝，
＋＝＋＝，
－＝，
因为四边形ABDE是平行四边形，
所以＋＝，
综上知与－＋相等的向量是①④.]
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
[解] 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，
∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，
∴|a＋b|＝.
