§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)
3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)
1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养．
2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养.
1．数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
[提示] 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
2．共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
思考2：若b＝2a，b与a共线吗？
[提示] 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向
量；反之，如果b与a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
1．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
C [因为＝－，
所以AB∥CD，且AB＝CD，
所以四边形ABCD为梯形．]
2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [①③④正确．]
3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c，
所以向量c与d共线．]
4.＝________.
2b－a [
＝(2a＋8b)－(4a－2b)
＝a＋b－a＋b＝2b－a.]
向量数乘的定义
【例1】 已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
[解] (1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，
且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.
(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．
(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，
(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．
对数乘向量的四点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．
1．已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有( )
①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ<0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．]
向量的线性运算
【例2】 (1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
[解] (1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，所以x＝－a＋b.
②把第一个方程的左、右两边同乘－2，然后与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
所以
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解．
2．(1)化简4(a＋b)－3(a－b)＝________.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，c，b为已知向量，则未知向量y＝________.
(1)a＋7b (2)a－b＋c [(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)由2－(c＋b－3y)＋b＝0，
得2y－a－c－b＋y＋b＝0，
即y－a－c＋b＝0，
所以y＝a－b＋c.]
向量线性运算的综合应用
[探究问题]
1．若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点的位置关系如何？
[提示] A，B，C三点共线．
2．向量共线定理有哪两个方面的应用？
[提示] (1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线．(2)表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ.使b＝λa.
3．向量共线定理应注意什么？
[提示] 向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a≠0.
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
【例3】 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[思路探究] 解答本题对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
[解] (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋
＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有∴k＝±1.
1．(变条件)将例3中的条件变为“a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b”，试证明：A、B、C三点共线．
[证明] ∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．
2．若将例3中的条件改为“若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
[解] 由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b.
∵a与b不共线，
∴解得
故当t＝时，三向量的终点共线．
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
(3)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．( )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.
所以A，B，D三点共线．]
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
－ [因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝.
又因为b与a的方向相反，所以a＝－b.]
4．如图所示，已知＝，用，表示.
[解] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课件43张PPT。第二章 平面向量§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量234相同 相反 0 5 67非零 非零 891011121314向量数乘的定义 151617181920向量的线性运算 212223242526向量线性运算的综合应用 27282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 数乘向量
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A． B．
C．－ D．－
D [∵＝，∴＝－，∴＝－.]
2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1＋e2
A [∵＝－＝3(e2－e1)，
∴＝＝2(e2－e1)，
∴＝＋＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.]
3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A．(a－b) B．－(a－b)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
C [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)．]
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 ( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
A [因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a、b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.]
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
B [因为D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.]
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
2 [∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.]
7．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．
2b－a [原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)
＝2b－a.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.
[＝＋
＝＋＝＋(＋)
＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]
三、解答题
9．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．
[解] ∵A，B，D三点共线，∴与共线，
则必存在实数λ，使＝λ，
而＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，
∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，
于是?∴k＝－1.
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
[解] (1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，
所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，
又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且||>||(如图所示)．
所以λ>1.
[等级过关练]
1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
C [∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.]
2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
C [因为＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，所以＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
b－a [如图，＝＋＋＝－b－a＋＝
－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．]
5.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线.
