§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
1.通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，提升数学抽象素养．
2.通过用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，培养数学运算素养.
1．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？
[提示] 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．
2．平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示
(1)平面向量的坐标运算
①已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：
(ⅰ)a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；
(ⅱ)a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；
(ⅲ)λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．
②已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
(2)向量平行的坐标表示
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2－x2y1＝0.
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.
②文字语言描述向量平行的坐标表示
(ⅰ)定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
(ⅱ)定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
[提示] 能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．
1．若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是( )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－3,4) D．(3，－4)
[答案] C
2．若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a－b的坐标为( )
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
[答案] C
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，且a∥b，则λ＝________.
[答案] －
4．已知A(1,2)，B(4,5)，若＝2，则点P的坐标为________．
(3,4) [设P(x，y)，则＝(x－1，y－2)，＝(4－x,5－y)，又＝2，
所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，
即所以
所以点P的坐标为(3,4)．]
平面向量的坐标表示
【例1】 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
[解] 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)．
＝＝.
1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
1．若已知A(1,2)，B(0，－1)，C(3，k)．
(1)求；
(2)若已知－＝(m，－2)，试求k，m.
[解] (1)∵A(1,2)，B(0，－1)，
∴＝(－1，－3)．
(2)∵－＝(－1，－3)－(3，k＋1)
＝.
由已知＝(m，－2)，
∴m＝－，k＝－.
向量平行的坐标表示
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解] 法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．
∴解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.
2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
向量坐标的综合应用
[探究问题]
1．平面向量的坐标与哪些因素有关？
[提示] 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．
2．向量的坐标与点的坐标有何区别？
[提示] 符号(x，y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(x，y)或者向量a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有等号．
3．向量共线的条件如何应用？
[提示] 遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用x1y2－x2y1＝0，而不选用x1＝λx2，y1＝λy2与＝(因为后者有b≠0，需要讨论)．
【例3】 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时．
(1)点P在第一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
[思路探究] 先求，，坐标后利用条件表示P点坐标，再根据问题求解．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)，
＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)．
∴＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴∴
(1)若P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，
∴λ＝.
(2)若P在第三象限内，则
∴λ<－1.
1．将例3中的条件变为“O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t”，试求当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？
[解] 由＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则所以t<－.
2．将例3的条件变为母题探究1的条件，试求四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由．
[解] 因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解．
故四边形OABP不可能是平行四边形．
向量坐标运算的方法：
?1?若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
?2?若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
?3?向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：
有序实数对(x，y)向量点A(x，y)．
2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．
3．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1.( )
(4)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
D [a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)．]
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(x2，x＋2)，若a，b共线，则实数x的值为( )
A．－1 B．2
C．1或－2 D．－1或2
D [由题意知，1·(x＋2)－x2·1＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.]
4．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，求点C的坐标．
[解] 设点C(x，y)．∵A、B、C三点共线，
∴＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴(x＋1，y＋3)＝(2λ，4λ)，
∴∴C(2λ－1,4λ－3)．
把点C(2λ－1,4λ－3)代入x＋y－5＝0得
(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝.
∴C(2,3)．
课件42张PPT。第二章 平面向量§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示相同 单位 基底 有且只有 (x，y) xi＋yj (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 成比例 成比例 平面向量的坐标表示 向量平行的坐标表示 向量坐标的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 平面向量的坐标
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
[答案] D
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B．
C．－2 D．－
A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.]
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
D [由解得]
4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是
( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
D [a＋b＝(1,1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1,1)＝(6,4x－2)，
因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0.
即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2.]
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
D [由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，
4a＋(3b－2a)＝－c，
所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c，
所以c＝(4，－6)．]
二、填空题
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________.
2 [因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，
所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3)．
又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，
所以2×－3k＝0，解得k＝2.]
7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
(－1，－4) [设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4)．]
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
(－6,21) [因为Q是AC的中点，所以＝＋.
所以＝2－＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)．
又因为＝2，
所以＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．]
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.
[证明] 设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
∴＝.
∵×(－1)－4×＝0，
∴∥.
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
[解] (1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以所以所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
[等级过关练]
1．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
C [令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．]
2．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
C [设C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
[∵＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.]
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．
(2,0) [由(1,2)?m＝(5,0)，
可得解得
所以(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．]
5．已知向量u＝(x，y)和向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
[解] (1)由条件可得u(x，y)ν(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．
∴解得，即c＝(3,4)．
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1,2y1－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
