§5 从力做的功到向量的数量积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养．
2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题．提升数学运算素养.
1．向量的夹角
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角
范围
0°≤θ≤180°
特例
θ＝0°
a与b同向
θ＝180°
a与b反向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直
思考1：△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
[提示] 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.
2．向量的数量积
(1)射影
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．
(2)数量积
已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(3)规定
零向量与任一向量的数量积为0.
(4)几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．
(5)性质
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b?a·b＝0.
③|a|＝＝.
④cos θ＝(|a||b|≠0)．
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
(6)运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则：
①交换律：a·b＝b·a；
②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？
[提示] 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影．
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
A [向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝＝＝－4，故选A.]
2．已知三角形ABC中，·<0，则三角形ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
A [∵·＝||·||·cos B<0，
∴cos B<0，又∵B为△ABC的内角．
∴3．已知向量|a|＝2，|b|＝2，a·b＝1，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．2 D．3
A [∵|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4－2＋4＝6，
∴|a－b|＝.]
4．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
[a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝.]
求向量的数量积
【例1】 已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.
[解] 由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5.
(1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21.
(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：
(1)a·b；
(2)a在b方向上的投影；
(3)(a－2b)·(a＋b)；
(4)(a－b)2.
[解] (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝10×4×＝－20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120°＝10×＝－5.
(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 120°－2|b|2
＝100－10×4×－2×16＝88.
(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2－2|a||b|cos 120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋16
＝100＋40＋16
＝156.
求向量的模
【例2】 (1)平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2 C．4 D．12
(2)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求|a＋b＋c|.
(1)B [|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.]
(2)解：①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°，
所以|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6；
②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量．
设a，b，c所成的角均为θ，
则3θ＝360°，
即θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1.
同理b·c＝－3，c·a＝－，
由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，
故|a＋b＋c|＝.
综上所述，|a＋b＋c|＝6或.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方．
2．一些常见等式应熟记：
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|.
[解] 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又因为|a|＝4，|b|＝3，
所以4×42－4a·b－3×32＝61，
所以a·b＝－6.
|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
向量的夹角与垂直问题
[探究问题]
1．若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a·b＝0?a⊥b.
2．|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？
[提示] |a·b|≤|a|·|b|.因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|.由|cos θ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|.
3．对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？
[提示] 求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．
【例3】 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.
[思路探究] 先求|a|，|b|及a·b，再由公式cos θ＝求解．
[解] ∵e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝cos 60°＝，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－.
又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7，
b2＝(2e2－3e1)2＝4e－12e1·e2＋9e＝7，
∴|a|＝|b|＝，
则cos θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π.
1．将例3中的条件变为“|a|＝1，a·b＝，(a－b)(a＋b)＝”，试求a与b的夹角．
[解] 因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝.又因为|a|＝1，所以|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．将例3中的条件变为“a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|”，试证明：(a＋b)⊥(a－b)．
[证明] ∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2．两向量垂直?a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．向量数量积的性质及作用：
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥b?a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|.此性质可用来证明向量共线．
(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(4)cos θ＝，此性质可求a与b的夹角.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)设a与b的夹角为θ，则cos θ>0?a·b>0.( )
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为( )
A．4 B．4
C．4 D．8＋
A [a在b方向上的射影为|a|cos θ.由a·b＝|a|·|b|cos θ＝40且|b|＝10，得|a|cos θ＝4.]
3．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝_____________.
5 [因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.]
4．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a－b|；
(2)若a与a＋b垂直，求θ.
[解] (1)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2－2|a||b|cos＋|b|2
＝1－2×＋2＝3－，
∴|a－b|＝.
(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，
∴a2＋a·b＝0.
∵a·b＝－|a|2＝－1，
∴cos θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
课件42张PPT。第二章 平面向量§5 从力做的功到向量的数量积2340° 180° 90° a⊥b 0 5670 8a·b＝0 a⊥b?a·b＝09b·a λ(a·b) a·(λb) 10111213141516求向量的数量积 1718192021求向量的模 222324252627向量的夹角与垂直问题 2829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九)
从力做的功到向量的数量积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2 cos2 θ≠a2·b2，选C.]
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1 B．13
C．2 D．3
B [∵|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，
∴|2a－b|＝13.]
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.]
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A.2 B.
C. D.
D [设||＝x，则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·
＝.]
二、填空题
6．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝____________.
[设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.]
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
[由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.]
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
－8或5 [由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]
三、解答题
9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
[解] 由向量垂直得
即
化简得
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
[解] (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos θ＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.
[等级过关练]
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
B [因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|,4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.]
2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A.－1 B．1
C.＋1 D.
A [因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，
所以a·b＝0，
所以|a－b|＝
＝＝，
所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|
＝－1.]
3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
2 [b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]
4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________.
[因为四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，所以∠DCB＝60°，所以|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋2×1×1 cos∠DCB＝3，所以|＋|＝.]
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．
