§6 平面向量数量积的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)
3.了解直线的方向向量的概念．(难点)
1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养．
2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)a2＝x＋y，即|a|＝；
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝；
(4)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？
[提示] 能．a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
思考2：直线的方向向量唯一吗？
[提示] 不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
C [因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.]
2．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
2 [由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]
3．已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
±2 [由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2.]
4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
[设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
平面向量数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
∵a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，
解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
1．(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________.
(1)D (2) [(1)2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0，0)，C(2,0)，
因为＝2，所以F.
所以＝(2,1)，＝－(2,0)
＝，
所以·＝(2,1)·
＝2×＋1×2＝.]
向量的夹角及垂直
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
[解] a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，
即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ＞0，且cos θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，
由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算．
2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；
(2)再求出两向量的模；
(3)由公式cos θ＝，计算cos θ的值；
(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.
2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角．
[解] (1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝＝3.
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π，
即a与c的夹角为π.
向量的模
[探究问题]
1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？
[提示] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝||＝.
2．求向量的坐标一般采用什么方法？
[提示] 一般采用设坐标、列方程的方法求解．
【例3】 设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．
[思路探究] 利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模．
[解] ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，
∴|a－2b|＝＝.
1．将例3中的条件不变 ，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|.
[解] a·b＝1×0＋1×2＝2，
∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，
∴|c|＝＝.
2．将例3中的b＝(0,2)改为b＝(0，－2)，其他条件不变，若ka－b与a＋b共线，试求k值．
[解] ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.
∴k＝－1.
3．将例3中的b＝(0,2)改为b＝(0，－2)，其他条件不变，若ka－b的模等于，试求k值．
[解] ∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
∵ka－b的模等于.
∴＝，
化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3.
即当k＝1或k＝－3时满足条件．
求向量的模的两种基本策略
?1?字母表示F的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
?2?坐标表示F的运算,若a＝?x，y?，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，,于是有|a|＝.
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.( )
(3)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
D [cos θ＝＝－，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
C [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.∴|a|＝＝2.]
4．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
[解] ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)．
b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)
＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
课件36张PPT。第二章 平面向量§6 平面向量数量积的坐标表示共线 方向向量 平面向量数量积的坐标运算 向量的夹角及垂直 向量的模 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十)
平面向量数量积的坐标表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B． C．－ D．1
D [因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.]
2．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
A [由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3.
∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．]
3．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A.－ B.
C. D.
C [2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)
＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．
设夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]
4．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为( )
A．－ B．
C． D．2
A [因为a＋xb＝(3,4)＋(2x，－x)＝(2x＋3,4－x)，－b＝(－2,1)．
因为a＋xb与－b垂直，
所以(2x＋3,4－x)·(－2,1)＝－4x－6＋4－x＝0，
解得－5x＝2，所以x＝－.]
5．在?ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5 B．2
C．2 D.
D [设＝a，＝b，则a＋b＝＝(－4,2)．b－a＝＝(2，－6)，所以b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，所以2＋＝2a＋b＝(－7,6)，
所以|2＋|＝＝.]
二、填空题
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，得(3,3m)·(m＋1,1)＝0，即6m＋3＝0，所以m＝－，所以a＝(1，－1)，|a|＝＝.]
7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.
45° [任取l1和l2的方向向量分别为
m＝和n＝，
设m和n的夹角为α，
则cos α＝＝，
∴α＝45°，∴θ＝45°.]
8．设a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为________．
[a在b方向上的射影为＝＝.]
三、解答题
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解] (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，
∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，
b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
10．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围．
[解] ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角．
∴
即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
[等级过关练]
1．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( )
A. B．2
C．5 D．10
C [因为·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，所以⊥，所以S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.]
2．已知＝(4,2)，＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于( )
A．1 B．6
C．1或6 D．1或2或6
C [＝－＝(k，－2)－(4,2)＝(k－4，－4)，若∠A为直角，则·＝4k－4＝0，所以k＝1.
若∠B为直角，则·＝(－4，－2)·(k－4，－4)＝－4k＋16＋8＝0，所以k＝6.
若∠C为直角，则·＝0，即(－k,2)·(4－k,4)＝0，方程无解，综上知k的值为1或6.]
3．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
－2 [法一：a＋b＝(m＋1,3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2.
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.]
4．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，
p?q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．
(－2,1) [设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．
∴∴]
5．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cos θ.
[解] (1)证明：＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，
＝(4－2,3－4)＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，
∴⊥，即AB⊥AC.
(2)设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，
＝(5,5)．
∵AD⊥BC，
∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0. ①
又＝(x＋1，y＋2)，
而与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)， ②
由①②解得x＝，y＝，
故D点坐标为，
∴＝＝.
(3)＝(3,6)，＝(5,5)，
cos θ＝＝
＝.
