§7 向量应用举例
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)
2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)
3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．
2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养.
向量应用举例
(1)点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝.
(2)直线的法向量
①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．
②公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
(3)向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
思考：向量的数量积与功有什么联系？
[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
1．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是( )
A．(2,1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2，－1)
[答案] D
2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C. D．－
[答案] C
3．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．
[答案] 2
4．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为________．
[答案] 4
平面几何中的垂直问题
【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.
所以⊥，即AF⊥DE.
利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设、的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
向量在物理中的应用
【例2】 两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
[解] ＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28.
F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.
(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
2．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
[解] (1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4.
∴cos∠BAO＝，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 km/h.
向量在解析几何中的应用
[探究问题]
1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|?
[提示] 如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|，
∴d＝|·n0|.
2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？
[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．
【例3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及点A(1,1)，M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
[思路探究] 要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．
[解] 设N(x，y)，M(x0，y0)，
由＝2，得
(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴
即代入⊙C方程，得
(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，
即x2＋y2＝1.
∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
将例3的条件变为“已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2,1)”．试求直线l的方程．
[解] ∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，
∴直线l的一个方向向量为ν＝(1,2)．
∴直线l的斜率为2.
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的方程为2x－y－1＝0.
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．
2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．
(3)要将数学问题还原为物理问题.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)△ABC是直角三角形，则·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )
(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角相等或互补．( )
(4)直线y＝kx＋b的一个法向量是(k，－1)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v(向量v为l的方向向量)，则k的值为( )
A. B.
C. D.－
D [l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：
5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.]
3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是________．
x2＋y2＋x－3y＝0 [设P(x，y)为圆上任一点，则
＝(x－1，y－2)，＝(x＋2，y－1)，
由·＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
化简得x2＋y2＋x－3y＝0.]
4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．
[解] 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝＝＝.
课件37张PPT。第二章 平面向量§7 向量应用举例垂直 (A，B) 几何 物理 平面几何中的垂直问题 向量在物理中的应用 向量在解析几何中的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 向量应用举例
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为
( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
C [根据速度的合成可知．]
2．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．25
C．2 D．5
D [因为F1＋F2＝(0,5)，
所以|F1＋F2|＝＝5.]
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
D [l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.]
4．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三条中线交点 B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点 D．三条角平分线交点
B [∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，
∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴点O是三条高线交点．]
5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若⊥，则＝
( )
A． B．2
C．3 D．2
B [如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，E(2,0)．
设AD＝m.
则D(0，m)，C(4，m)．
∵⊥，∴·＝0，
而＝(2，－m)，＝(4，m)，
∴8－m2＝0，即m2＝8，
∴||＝＝＝2.]
二、填空题
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－1,1)，则3秒后点P的坐标为________．
(5，－8) [设点A(－1,1)，3秒后点P运动到B点，
则＝3v，所以－＝3v，
所以＝＋3v＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．]
7．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
2 [设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.
因为v⊥v1，所以v·v1＝0，
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝＝＝2.]
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
－ [选，为基底，则＝－＋，
＝－＋，
∴·＝·
＝－2－2＋·
＝－－＋×1×1×cos 60°
＝－.]
三、解答题
9．过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
[解] 设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
10．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
[解] 如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos 45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
[等级过关练]
1．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2 B．
C．－3 D．－
C [如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.]
2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
[＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)··＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.]
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
2 [∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.]
5．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，当⊥时所需的时间t为多少秒？
[解] ∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
∴e1＋e2＝(1,1)，3e1＋2e2＝(3,2)．
结合物理学中速度的合成与分解的关系，易知t秒后点P的坐标为( t－1，t＋2)，点Q的坐标为(3t－2,2t－1)，
∴＝(2t－1，t－3)．
又＝(－1，－3)，由⊥可知·＝0.
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
故当⊥时，所需时间t为2 s.
