平面向量的线性运算
【例1】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是
( )
A．(7，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(7,2)
(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
(1)A (2)D [(1)∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A.
(2)∵＝3，∴－＝3(－)，
∴2＝3－，∴＝－.]
向量线性运算的基本原则和求解策略
?1?基本原则：
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
?2?求解策略：
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.
③平行向量?共线向量?、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
④注意常见结论的应用.如△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝.
1．(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
(1) (2) － [(1)因为λa＋b与a＋2b平行，
所以λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得
(2)因为＝2，所以＝.
因为＝，所以＝(＋)，
所以＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，所以x＝，y＝－.]
平面向量的数量积
【例2】 (1)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
(1) (2)2 [(1)因为单位向量m＝(x，y)，
则x2＋y2＝1.①
若m⊥b，
则m·b＝0，即2x－y＝0.②
由①②解得x2＝，
所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.
(2)法一：因为b·c＝0，
所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，
即ta·b＋(1－t)b2＝0.
又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°，
所以t＋1－t＝0，所以t＝2.
法二：由t＋(1－t)＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1,0)，b＝，则c＝.
把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.]
向量数量积的两种运算方法
?1?当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
?2?当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝?x1，y1?，b＝?x2，y2?，则a·b＝x1x2＋y1y2.
运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.
2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
－6 [b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×－8＝－6.]
向量的夹角及垂直问题
[探究问题]
1．怎样求两个不共线向量的夹角？
[提示] 对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角．
2．两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？
[提示] 两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为[0°，180°]，而后者的取值范围为[0°，90°]．这一点经常容易混淆，一定要注意．
3．用数量积判断两向量夹角时应注意什么？
[提示] 当θ＝0°时，有a·b>0，此时a与b共线且同向，即a·b>0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当θ＝180°时，有a·b<0，但a·b<0，不能说向量的夹角一定为钝角．
【例3】 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[思路探究] (1)利用·＝0即可；
(2)利用夹角公式cos θ＝求解．
[解] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
则|cos θ|＝＝＝.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
将例3中的条件变为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，试求：(1)若A、B、C能构成三角形，求m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
[解] (1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－(3＋m))，
∴＝(3,1)，＝(－m－1，－m)，
而与不平行，即－3m≠－m－1，得m≠，
∴实数m≠时满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
1．求夹角问题：
求向量a，b夹角θ的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cos θ＝(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos θ＝＝.
2．垂直问题：
这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
3．向量的模：
(1)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)若a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，|a|＝.
向量的长度与距离问题
【例4】 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
[解] 法一：∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×＋1＝12.∴|3a＋b|＝2.
法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝＝3.
∴x1x2＋y1y2＝.
∴|3a＋b|＝
＝ ＝2.
向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝，将它转化为实数问题，使问题得以解决.
3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是
( )
A．2 B．
C．3 D．
B [BC中点为D，＝，
∴||＝.]
课件30张PPT。第二章 平面向量章末复习课平面向量的线性运算 平面向量的数量积 向量的夹角及垂直问题 向量的长度与距离问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 平面向量
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝(3,0)，那么||等于( )
A．2 B．3
C．(1,2) D．5
B [∵＝(3,0)，∴||＝＝3.故选B.]
2．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝( )
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
D [＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．]
3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－ B．
C．6 D．2
C [∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，
∴6－k＝0，解得k＝6，故选C.]
4．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
B [设a＝k1e1＋k2e2，
A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴无解，
B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，
∴解得
故B中的e1，e2可把a表示出来．
同理，C、D选项同A选项，无解．]
5．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( )
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
D [这四个向量的模相等．]
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于( )
A．－a2 B．－a2
C．a2 D．a2
D [·＝·＝a·acos 30°＝a2，故选D.]
7．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列选项错误的是( )
A.的坐标表示为(2,0) B.＝－3
C.的坐标表示为(4,0) D.＝2
C [选项C不正确．故选C.]
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝
( )
A． B．
C．1 D．2
B [a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.]
9．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列选项正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
D [在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.
又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]
10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于( )
A．θ－ B．＋θ
C．－θ D．θ
C [设a与b的夹角为α，a·b＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a|＝1，|b|＝1，所以cos α＝＝－sin θ＝cos，因为θ∈，α∈[0，π]，
y＝cos x在[0，π]上是递减的，所以α＝－θ，故选C.]
11．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的( )
A．重心，外心 B．重心，内心
C．外心，重心 D．外心，内心
C [由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＝＋，取BC边的中点D(图略)，则＝＋＝2，知A、N、D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．]
12.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则(＋)·的最小值为( )
A．2 B．0
C．－1 D. －2
D [由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，
且与反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)
＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·的最小值为－2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知向量O⊥A，|O|＝3，则O·O＝________.
9 [因为⊥，所以·＝·(－)＝·－＝0，所以·＝＝||2＝9，即·＝9.]
14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．
135° [如图，为水速，是船行驶路程最短的情形，是船行驶的速度，易知∠AOB＝135°.]
15．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
[＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.]
16．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
[c＝(1＋λ，3＋λ)，∵a，c夹角为锐角，
∴0∵cos〈a，c〉＝＝＝，
∴0<<1，
∴0<10＋4λ<，
∴λ>－，且λ≠0，
∴实数λ的取值范围是.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：AC⊥BC.
[证明] 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝－1×1＋1×1＝0，
所以⊥，即AC⊥BC.
18．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
[解] (1)当m＝8时，＝(8,3)，设＝x＋y，则
(8,3)＝x(2，－1)＋y(3,0)＝(2x＋3y，－x)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，
所以，不共线，
＝(1,1)，＝(m－2,4)，
所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
19．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解] (1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝，
∴b2＝，∴|b|＝.
(2)∵a·b＝－，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－＝，
|a＋2b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
[解] (1)∵＝(cos θ－1，t)，
又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t. ①
又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5. ②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋
＝cos2θ－cos θ＋
＝＋
＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.
21．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[解] (1)延长AD到G，使＝，
连接BG，CG(图略)，得到平行四边形ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
[解] (1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋.
∵k>4，∴0<<1，∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
