(新课标)北师大版数学必修4(课件30+教案+练习)第2章 章末复习课

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名称 (新课标)北师大版数学必修4(课件30+教案+练习)第2章 章末复习课
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-10-01 23:56:33

文档简介


平面向量的线性运算
【例1】 (1)已知向量a=(2,1),b=(-3,4),则2a-b的结果是
(  )
A.(7,-2)   B.(1,-2)
C.(1,-3) D.(7,2)
(2)设D为△ABC所在平面内一点,则=3,则(  )
A.=-+ B.=-
C.=- D.=-+
(1)A (2)D [(1)∵a=(2,1),b=(-3,4),∴2a-b=2(2,1)-(-3,4)=(4,2)-(-3,4)=(4+3,2-4)=(7,-2),故选A.
(2)∵=3,∴-=3(-),
∴2=3-,∴=-.]
向量线性运算的基本原则和求解策略
?1?基本原则:
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
?2?求解策略:
①向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示线性运算的常用技巧:,首尾相接用加法的三角形法则,如+=;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如-=.
③平行向量?共线向量?、相等向量与相反向量、单位向量等,理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
④注意常见结论的应用.如△ABC中,点D是BC的中点,则+=.
1.(1)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.
(1) (2) - [(1)因为λa+b与a+2b平行,
所以λa+b=t(a+2b),
即λa+b=ta+2tb,所以解得
(2)因为=2,所以=.
因为=,所以=(+),
所以=-=(+)-
=-.
又=x+y,所以x=,y=-.]
平面向量的数量积
【例2】 (1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=________.
(2)已知两个单位向量a,b的夹角θ为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=________.
(1) (2)2 [(1)因为单位向量m=(x,y),
则x2+y2=1.①
若m⊥b,
则m·b=0,即2x-y=0.②
由①②解得x2=,
所以|x|=,|x+2y|=5|x|=.
(2)法一:因为b·c=0,
所以b·[ta+(1-t)b]=0,
即ta·b+(1-t)b2=0.
又因为|a|=|b|=1,θ=60°,
所以t+1-t=0,所以t=2.
法二:由t+(1-t)=1知向量a,b,c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.
把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.]
向量数量积的两种运算方法
?1?当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即
a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
?2?当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=?x1,y1?,b=?x2,y2?,则a·b=x1x2+y1y2.
运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.
2.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
-6 [b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e=3-2×1×1×-8=-6.]
向量的夹角及垂直问题
[探究问题]
1.怎样求两个不共线向量的夹角?
[提示] 对两个不共线向量a,b,通过平移使它们的起点相同,这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角.
2.两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么?
[提示] 两向量所成的角,不一定是两向量所在的直线所成的角,因为前者的取值范围为[0°,180°],而后者的取值范围为[0°,90°].这一点经常容易混淆,一定要注意.
3.用数量积判断两向量夹角时应注意什么?
[提示] 当θ=0°时,有a·b>0,此时a与b共线且同向,即a·b>0,不能说向量的夹角一定为锐角,同理当θ=180°时,有a·b<0,但a·b<0,不能说向量的夹角一定为钝角.
【例3】 已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
[思路探究] (1)利用·=0即可;
(2)利用夹角公式cos θ=求解.
[解] (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
∵·=1×(-3)+1×3=0,
∴⊥,即AB⊥AD.
(2)∵⊥,四边形ABCD为矩形,
∴=.
设C点坐标为(x,y),则=(x+1,y-4),
∴解得
∴点C坐标为(0,5).
从而=(-2,4),=(-4,2),
且||=2,||=2,·=8+8=16,
设与的夹角为θ,
则|cos θ|===.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
将例3中的条件变为=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),试求:(1)若A、B、C能构成三角形,求m应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值.
[解] (1)若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,
∵=(3,-4),=(6,-3),
=(5-m,-(3+m)),
∴=(3,1),=(-m-1,-m),
而与不平行,即-3m≠-m-1,得m≠,
∴实数m≠时满足条件.
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,则⊥,而=(3,1),=(2-m,1-m),
∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.
1.求夹角问题:
求向量a,b夹角θ的步骤:(1)求|a|,|b|,a·b;(2)求cos θ=(夹角公式);(3)结合θ的范围[0,π]确定θ的大小.因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值,再结合夹角的范围确定夹角的大小.
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则cos θ==.
2.垂直问题:
这类问题主要考查向量垂直的条件:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
3.向量的模:
(1)|a|2=a2,|a|=.
(2)若a=(x,y),则a2=x2+y2,|a|=.
向量的长度与距离问题
【例4】 设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.
[解] 法一:∵|3a-2b|=3,
∴9a2-12a·b+4b2=9.
又∵|a|=|b|=1,∴a·b=.
∴|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9+6×+1=12.∴|3a+b|=2.
法二:设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵|a|=|b|=1,∴x+y=x+y=1.
∵3a-2b=(3x1-2x2,3y1-2y2),
∴|3a-2b|==3.
∴x1x2+y1y2=.
∴|3a+b|=
= =2.
向量的模不仅是研究向量的一个重要量,而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地,求向量的模主要利用公式|a|2=a2,将它转化为向量的数量积问题,再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并,使问题得以解决,或利用公式|a|=,将它转化为实数问题,使问题得以解决.
3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是
(  )
A.2 B.
C.3 D.
B [BC中点为D,=,
∴||=.]
课件30张PPT。第二章 平面向量章末复习课平面向量的线性运算 平面向量的数量积 向量的夹角及垂直问题 向量的长度与距离问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 平面向量
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知=(3,0),那么||等于(  )
A.2   B.3
C.(1,2) D.5
B [∵=(3,0),∴||==3.故选B.]
2.若=(-1,2),=(1,-1),则=(  )
A.(-2,3) B.(0,1)
C.(-1,2) D.(2,-3)
D [=(-1,2),=(1,-1),
所以=-=(1+1,-1-2)=(2,-3).]
3.已知向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,则实数k的值为(  )
A.- B.
C.6 D.2
C [∵向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,
∴6-k=0,解得k=6,故选C.]
4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(  )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
B [设a=k1e1+k2e2,
A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解,
B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),
∴解得
故B中的e1,e2可把a表示出来.
同理,C、D选项同A选项,无解.]
5.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(  )
A.相等的向量 B.平行的向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
D [这四个向量的模相等.]
6.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于(  )
A.-a2 B.-a2
C.a2 D.a2
D [·=·=a·acos 30°=a2,故选D.]
7.数轴上点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列选项错误的是(  )
A.的坐标表示为(2,0) B.=-3
C.的坐标表示为(4,0) D.=2
C [选项C不正确.故选C.]
8.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=
(  )
A.     B.
C.1     D.2
B [a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c得(1+λ)×4-3×2=0,所以λ=.]
9.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列选项正确的是(  )
A.|b|=1 B.a⊥b
C.a·b=1 D.(4a+b)⊥
D [在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.
又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D.]
10.已知向量a=(cos θ,sin θ),其中θ∈,b=(0,-1),则a与b的夹角等于(  )
A.θ- B.+θ
C.-θ D.θ
C [设a与b的夹角为α,a·b=cos θ·0+sin θ·(-1)=-sin θ,|a|=1,|b|=1,所以cos α==-sin θ=cos,因为θ∈,α∈[0,π],
y=cos x在[0,π]上是递减的,所以α=-θ,故选C.]
11.已知点O,N在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,则点O,N依次是△ABC的(  )
A.重心,外心 B.重心,内心
C.外心,重心 D.外心,内心
C [由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0,得=+,取BC边的中点D(图略),则=+=2,知A、N、D三点共线,且AN=2ND,故点N是△ABC的重心.]
12.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径上的动点,则(+)·的最小值为(  )
A.2 B.0
C.-1 D. -2
D [由平行四边形法则得+=2,
故(+)·=2·,又||=2-||,
且与反向,设||=t(0≤t≤2),
则(+)·=2·=-2t(2-t)
=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
∵0≤t≤2,
∴当t=1时,(+)·的最小值为-2.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知向量O⊥A,|O|=3,则O·O=________.
9 [因为⊥,所以·=·(-)=·-=0,所以·==||2=9,即·=9.]
14.有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为,为使所走路程最短,小船应朝与水速成________角的方向行驶.
135° [如图,为水速,是船行驶路程最短的情形,是船行驶的速度,易知∠AOB=135°.]
15.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值为________.
 [=(a-2,-2),=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,
即ab-2a-2b=0,所以+=.]
16.已知a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,a和c的夹角是锐角,则实数λ的取值范围是________.
 [c=(1+λ,3+λ),∵a,c夹角为锐角,
∴0∵cos〈a,c〉===,
∴0<<1,
∴0<10+4λ<,
∴λ>-,且λ≠0,
∴实数λ的取值范围是.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB.求证:AC⊥BC.
[证明] 以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系如图,设AD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),
所以=(-1,1),=(1,1),·=-1×1+1×1=0,
所以⊥,即AC⊥BC.
18.(本小题满分12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
[解] (1)当m=8时,=(8,3),设=x+y,则
(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x),
所以所以
所以=-3+.
(2)因为A,B,C三点能构成三角形,
所以,不共线,
=(1,1),=(m-2,4),
所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.
19.(本小题满分12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.
[解] (1)根据条件,(a-b)·(a+b)=a2-b2=1-b2=,
∴b2=,∴|b|=.
(2)∵a·b=-,∴a·(a+2b)=a2+2a·b=1-=,
|a+2b|===1,
∴cos θ===,
∵θ∈[0,π],∴θ=.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t).
(1)若a∥,且||=||,求向量的坐标;
(2)若a∥,求y=cos2θ-cos θ+t2的最小值.
[解] (1)∵=(cos θ-1,t),
又a∥,∴2t-cos θ+1=0.
∴cos θ-1=2t. ①
又∵||=||,∴(cos θ-1)2+t2=5. ②
由①②得,5t2=5,∴t2=1,∴t=±1.
当t=1时,cos θ=3(舍去),当t=-1时,cos θ=-1,
∴B(-1,-1),∴=(-1,-1).
(2)由(1)可知t=,
∴y=cos2θ-cos θ+
=cos2θ-cos θ+
=+
=2-,
∴当cos θ=时,ymin=-.
21.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量,,,,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
[解] (1)延长AD到G,使=,
连接BG,CG(图略),得到平行四边形ABGC,
所以=a+b,
==(a+b),==(a+b),
==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),
=-=b-a=(b-2a).
(2)证明:由(1)可知=,
又因为,有公共点B,
所以B,E,F三点共线.
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t).
(1)若⊥a,且||=||,求向量;
(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求·.
[解] (1)由题设知=(n-8,t),
∵⊥a,∴8-n+2t=0.
又∵||=||,
∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.
当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,
∴=(24,8)或=(-8,-8).
(2)由题设知=(ksin θ-8,t),
∵与a共线,∴t=-2ksin θ+16,
tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k2+.
∵k>4,∴0<<1,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.
由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8).
∴·=(8,0)·(4,8)=32.