§1 同角三角函数的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点)
2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)
1.通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养．
2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养.
同角三角函数基本关系式
(1)关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；
②商数关系：＝tan__α.
(2)文字叙述
同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切．
(3)变形形式
①1＝sin2α＋cos2α；
②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
③sin α＝± ；cos α＝± ；
④sin α＝cos αtan α；
⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α.
思考：sin230°＋cos245°等于1吗？
有意义吗？
[提示] 不等于1，分母为0，无意义．
1．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于( )
A． B．－ C． D．－
C [因为sin α＝－，且α是第三象限角．所以cos α＝－＝－.
所以tan α＝＝.]
2．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.
－ [因为3sin α＋cos α＝0，
所以cos α＝－3sin α，
所以tan α＝＝＝－.]
3．已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝________.
0或8 [由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.]
4.cos2x＝( )
A．tan x B．sin x
C．cos x D．
D [原式＝cos2x
＝·cos2x＝.]
利用同角基本关系式求值
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解] ∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解.
1．已知tan α＝且α为第三象限角，求sin α，cos α的值．
[解] 由tan α＝＝，
得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝，
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝－.
利用sin α±cos α，sin α，cos α之间的关系求值
【例2】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝，求tan α的值．
[解] 由sin α＋cos α＝，①
得sin α·cos α＝－<0，
又0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝ ＝
＝ ＝，②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝＝－.
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
2．sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [∵(cos α－sin α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝±.
又<α<，sin α>cos α，
∴cos α－sin α＝－.]
利用同角三角函数关系化简、证明
[探究问题]
1．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
[提示] 平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．证明三角恒等式常用哪些技巧？
[提示] 切弦互化，整体代换，“1”的代换．
3．证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
[提示] 由繁到简．
【例3】 (1)化简tan α·，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝.
[思路探究] (1)先确定sin α，cos α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
(2)逆用平方关系结合tan α＝化简．
[解] (1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
故tan α·＝tan α·
＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)证明：左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原式成立．
1．将例3(1)变为“”，试对该式进行化简．
[解] 原式＝
＝
＝＝＝1.
2．将例3(2)变为试证“＝”．
[证明] 左边＝＝
＝＝＝右边，所以等式成立．
1．化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)对任意角α，＝tan .( )
(3)利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．( )
(4)若sin α＝，则cos α＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B．
C．± D．±
A [α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.]
3．已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
B [∵sin A＋cos A＝，
∴1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－<0，
又∵A∈(0，π)，sin A>0，
∴cos A<0，A为钝角．故选B.]
4．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
[解] 由已知＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝
＝－.
课件39张PPT。第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系1 tanα 平方和 正切 利用同角基本关系式求值 利用同角三角函数关系化简、证明 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二)
同角三角函数的基本关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
B [由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．]
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A． B．±
C． D．－
C [由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.]
3．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于( )
A．0 B．1
C．－1 D.
B [因为sin θ＋sin2θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝cos2θ，
所以原式＝sin θ＋sin3θ＋sin4θ
＝sin θ＋sin2θ(sin θ＋sin2θ)
＝sin θ＋sin2θ
＝1.]
4．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为( )
A． B．－
C． D．－
A [因为sin Acos A＝＞0，所以A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.]
5．已知α是第三象限角，化简－得( )
A．tan α B．－tan α
C．－2tan α D．2tan α
C [原式＝
－
＝－
＝－.
因为α是第三象限角，所以cos α<0，
所以原式＝－＝－2tan α.]
二、填空题
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝________.
[∵a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，
∴3cos α－4sin α＝0.
∴tan α＝.]
7．已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π<α<π，则cos α＋sin α＝________.
－ [∵tan α·＝k2－3＝1，∴k＝±2，而3π<α<π，则tan α＋＝k＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－，∴cos α＋sin α＝－.]
8．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.
± [(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α
＝1－2sin αcos α＝.
则sin α－cos α＝±.]
三、解答题
9．已知sin θ＋cos θ＝－.
求：(1)＋的值；
(2)tan θ的值．
[解] (1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－.
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，
即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
10．若cos α＝－且tan α>0，求的值．
[解] ＝
＝＝
＝
＝sin α(1＋sin α)．
∵tan α＝>0，cos α＝－<0，
∴sin α<0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝－＝－，
∴原式＝sin α(1＋sin α)
＝－·＝－.
[等级过关练]
1．函数y＝－sin2x－3cos x的最小值是( )
A．－ B．－2
C． D．－
A [y＝－(1－cos2x)－3cos x
＝cos2x－3cos x＋
＝2－2，
当cos x＝1时，ymin＝2－2＝－.]
2．使 ＝成立的角α的范围是( )
A．2kπ－π<α<2kπ(k∈Z)
B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)
C．2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)
D．只能是第三或第四象限角
A [∵ ＝ ＝＝，
∴sin α<0.∴2kπ－π<α<2kπ(k∈Z)．]
3．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
[由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.]
4．若tan α＝2，且α∈，则sin＝________.
－ [∵tan α＝＝2，
∴sin α＝2cos α，
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝.
∵α∈，
∴cos α＝－.
∴sin＝cos α＝－.]
5．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
[解] (1)由sin A＋cos A＝，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝，
所以sin A·cos A＝－.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－＜0.
又0
所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为sin A·cos A＝－，
所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋＝，又sin A＞0，cos A＜0，
所以sin A－cos A＞0，
所以sin A－cos A＝.
又sin A＋cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－.
所以tan A＝＝＝－.
