§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式．(重点)
3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
1.通过推导两角差的余弦公式、两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式体会逻辑推理素养．
2.通过利用公式解决简单的化简求值问题提升数学运算素养.
1．两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(Cα－β)
2．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(Cα＋β)
3．两角和与差的正弦公式
(1)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(Sα＋β)，
(2)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(Sα－β)．
思考：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
[提示] sin(α＋β)＝cos＝cos＝
coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋
cos αsin β.
1．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A． B．－
C．0 D．1
C [逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°·sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.]
2．cos 75°＝________.
[cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－
sin 30°sin 45°＝.]
3．cos(x－y)cos y－sin(x－y)sin y＝________.
cos x [原式＝cos[(x－y)＋y]＝cos x．]
4．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为________．
[cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°
＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36°
＝cos(66°－36°)＝cos 30°
＝.]
给角求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)cos 105°＋sin 195°；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)sin－cos.
[解] (1)cos 105°＋sin 195°
＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°)
＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15°
＝－2sin(45°－30°)
＝－2(sin 45°·cos 30°－cos 45°·sin 30°)
＝－2＝.
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°
＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(3)法一：sin－cos
＝2
＝2
＝－2cos＝－2cos
＝－2×＝－.
法二：sin－cos
＝2
＝2
＝－2sin
＝－2sin＝－2×＝－.
解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”.
1．求下列式子的值：
(1)cos(－15°)；
(2)sin 795°.
[解] (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)
＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝×＋×
＝.
给值求值
【例2】 已知0<β<，<α<，cos＝，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求sin(α＋β)．
[解] ∵<α<，∴－<－α<0.
∴sin＝－ ＝－.
又∵0<β<，
∴<＋β<π，
∴cos＝－ ＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
2．已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．
[解] ∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝＝.
又∵sin(α＋β)＝＝
＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·
sin α＝×－×＝.
给值求角
[探究问题]
1．给值求角的实质是什么？
[提示] 给值求角即求该角的某种三角函数值．
2．给值求角的关键是什么？
[提示] 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．
3．常用的角的变换技巧有哪些？
[提示] 互余或互补关系的应用，如－α与＋α互余，＋α与π－α互补等．
【例3】 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
[思路探究] 先计算sin α后再根据α∈确定角α大小．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin β＝－，
∴cos β＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
1．将例3的条件变为“α、β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－”，试求β的值．
[解] ∵α、β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
2．将例3中的条件变为“α、β均为锐角，且sin α＝，sin β＝”，试求α＋β的值．
[解] 因为α，β都是锐角，所以0<α<，0<β<，
0<α＋β<π，又sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝＝，cos β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
又0<α＋β<π，所以α＋β＝.
1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．
2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝，可能就会导致α＋β＝或.
1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝－sin α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( )
(2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( )
(3)sin 54°cos 24°－sin 36°cos 66°＝.( )
(4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝________.
[a·b＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15°
＝cos(60°－15°)
＝cos 45°
＝.]
3．cos 345°的值为________．
[cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝.]
4．已知sin＝，求.
[解]
＝
＝(cos α－sin α)
＝2
＝2sin
＝.
课件43张PPT。第三章 三角恒等变形§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数234567891011给角求值 1213141516171819给值求值 202122232425给值求角 2627282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A． B．
C．－ D．－
A [cos＝＝cos α＋sin α＝＋＝.]
2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为( )
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
C [原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos 2x，故选C.]
3．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A. B.
C. D.
C [∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α、β∈，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.]
4．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
D [sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，由sin A＝2sin Bcos C，得cos Bsin C＝sin B cos C，所以cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．]
5．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin等于( )
A. B.
C. D.
B [＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，
∴3(sin α＋cos α)＝2，
∴3sin＝2，
∴sin＝.]
二、填空题
6．化简sin＋cos的结果是________．
cos α [原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.]
7．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
[原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.]
8．若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________.
[由已知得cos α－cos β＝，①
sin α－sin β＝－.②
①2＋②2得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋，
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
所以cos(α－β)＝.]
三、解答题
9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
[解] 因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
10．已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
[解] 因为0＜α＜，cos α＝，所以sin α＝，
又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，
因为sin(α＋β)＝＜sin α，所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－＝，
又因为0＜β＜，所以β＝.
[等级过关练]
1．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是( )
A. B.
C. D.
D [由已知得，cos cos －sin sin ＝cos x＝0.
∴x∈[0，π]，∴x＝.]
2．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则||等于( )
A. B.
C. D．1
D [||＝
＝
＝
＝＝1.]
3．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－ [∵sin α＋cos β＝1， ①
cos α＋sin β＝0， ②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.]
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．
[sin(α－β)＝－.sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×
＝－，
∵α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.]
5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[解] (1)f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)
＝3sin－3sin
＝3
－
＝6sin θcos＝3sin θ＝，
所以sin θ＝.又因为θ∈，
所以cos θ＝＝＝，
所以f＝3sin
＝3sin
＝3cos θ＝.
