2.3 两角和与差的正切函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)
2.掌握公式T(α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)
1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．
2.通过T(α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养.
两角和与差的正切公式
名称
简记
符号
公式
使用条件
两角和
的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
且tan α·tan β≠1
两角差
的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
且tan α·tan β≠－1
(1)变形公式
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－.
(2)公式的特例
tan＝；
tan＝.
思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
[提示] tan(α＋β)＝
＝，
分子分母同除以cos αcos β，便可得到．
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝( )
A． B． C．－ D．－3
A [因为tan α＝3，tan β＝，
所以tan(α－β)＝＝＝.]
2．设α，β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β等于( )
A. B.
C. D.－
D [tan(α－β)＝＝＝－1.
∵－＜α－β＜，∴α－β＝－.]
3.的值为( )
A. B．－
C. D．－
C [原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.]
4.＝________.
[＝tan(82°－22°)
＝tan 60°＝.]
化简求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
[解] (1)原式＝＝tan(60°＋15°)
＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.
(2)∵tan 45°＝＝1，
∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.
1．(1)；
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.
[解] (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝2－.
∴＝
＝＝
＝－.
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°＝.
给值求值(或求角)
【例2】 (1)已知tan＝，tan＝2.求：
①tan；②tan(α＋β)．
(2)设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜，0＜|β|＜，求α＋β的值．
[解] (1)①tan＝
tan
＝
＝＝－.
②tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
(2)由已知，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.
所以tan(α＋β)＝＝＝，
且tan α＜0，tan β＜0，
所以－＜α＜0，－＜β＜0，
所以－π＜α＋β＜0，
所以α＋β＝－π.
1．“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．
2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．
2．已知tan α＝，tan β＝－2，且0＜α＜＜β＜π，
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
[解] (1)因为tan α＝，tan β＝－2，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)tan(α＋β)＝＝＝－1，
因为0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β＜，
所以α＋β＝.
正切公式的综合应用
[探究问题]
1．若α＋β＝π，则tan α与tan β存在怎样关系？
[提示] tan α＝tan(π－β)＝－tan β.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C与tan Atan Btan C有何关系？
[提示] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴tan (A＋B)＝－tan C，
∴＝－tan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？
[提示] A＋B＋C＝π或＋＝－.
【例3】 在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究] 可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan A和tan C的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．
[解] tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
又0°
而tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝.
又0°∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
将例3中的条件变为“△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝”，试求tan A·tan B的值．
[解] 因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
所以tan(A＋B)＝tan 60°＝.
又tan(A＋B)＝，
所以＝，解得tan A·tan B＝.
1．等式中同时出现tan A±tan B与tan A·tan B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．
2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan αtan β，tan(α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个．( )
(2)tan能用公式tan(α＋β)展开．( )
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(4)公式T(α±β)对任意α，β都成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．不确定
B [(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.]
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
[∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，
∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵04．求的值．
[解] ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
课件39张PPT。第三章 三角恒等变形§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数化简求值 给值求值(或求角) 正切公式的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四)
两角和与差的正切函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.＝( )
A．tan 42° B．
C． D．－
C [原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝.]
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则角C＝( )
A. B.
C. D.
A [tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－
＝，
所以C＝.]
3．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．2
C．4 D．8
C [∵(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)
＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°
＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan(21°＋24°)＋tan 21°tan 24°
＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°
＝2.
同理(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.]
4.的值应是( )
A．－1 B．1
C． D．－
D [因为tan(10°＋50°)＝，
所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°·tan 10°·tan 50°，
所以原式＝＝－.]
5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC的形状是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
A [由题意，知tan A＋tan B＝，
tan A·tan B＝，所以tan(A＋B)＝，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－，
所以C为钝角，故选A.]
二、填空题
6．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.
2 [(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β.
又tan(α＋β)＝tan＝－1＝，
所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
所以(1－tan α)(1－tan β)＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.]
7．已知tan(α＋β)＝，tan α＝－2，则tan β＝________.
7 [∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝＝7.]
8．已知α∈，tan＝－7，则sin α＝________.
[由tan＝＝－7，
∴tan α＝－<0，又α∈，
∴α∈，∴sin α＝.]
三、解答题
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan α·tan β的值．
[解] cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
由①②整理得
则tan αtan β＝＝＝－.
10．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解] (1)∵tan＝，
∴＝.∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝－.
[等级过关练]
1．若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.a B.(1－a)
C.(a－1) D.(a＋1)
B [∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a)．]
2．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2
C．tan 10° D.tan 20°
A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋tan 10°＝＝×＝1.]
3．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.
－ [＝
＝＝＝－.]
4．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
1 [∵tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.]
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解] (1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝，cos β＝，
因为α为锐角，故sin α>0.
从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝－1.
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
