§3 二倍角的三角函数
第1课时 倍角公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换.
1.通过两角和与差公式推导出二倍角公式，体会逻辑推理素养．
2.通过运用公式进行简单恒等变换，提升数学运算素养.
二倍角公式
思考：二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
[提示] sin 2α＝sin(α＋α)
＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)
＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝.
1．计算1－2sin215°的结果为( )
A． B．
C． D．1
C
2．sin 105°cos 105°的值为( )
A． B．－
C． D．－
B
3.的值是( )
A． B．－
C．2 D．－2
B
4．若sin α＝，则cos4α－sin4α＝________.
[cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×2
＝.]
化简求值
【例1】 求下列各式的值．
(1)sin cos ；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)－.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝4.
在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：?1?正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.?2?公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.?3?公式的变形应用.
1．求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；
(2)＋.
[解] (1)cos 72°cos 36°＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝4.
给值求值问题
【例2】 已知sin ＝，0
[解] ∵0又∵sin＝，∴cos＝.
又cos 2x＝sin＝2sincos
＝2××＝，cos＝sin
＝sin＝，
∴原式＝＝.
1．条件求值问题常有两种解题途径：
(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
2．当遇到±x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
2．已知sinsin＝，x∈，求tan 4x的值．
[解] ∵sinsin
＝sinsin
＝sincos＝sin
＝cos 2x＝，
∴cos 2x＝.
∵x∈，∴2x∈(π，2π)，
∴sin 2x＝－.
∴tan 2x＝＝－2.
∴tan 4x＝＝＝.
利用倍角公式化简
[探究问题]
1．倍角公式成立的条件是什么？
[提示] 由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠＋(k∈Z)．
2．如何对“二倍角”进行广义的理解？
[提示] 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；
3α是α的二倍；是的二倍；
是的二倍；＝(n∈N＋)．
3．“二倍角”的余弦公式的应用形式有哪些？
[提示] 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；
④sin2α＝.
【例3】 化简：(1)；
(2).
[思路探究] 先把切化弦，再用二倍角公式化简即可．
[解] (1)原式＝
＝
＝＝＝2.
(2)原式＝
＝
＝＝＝1.
1．将例3(1)变为化简“”．
[解] 原式＝＝＝.
2．将例3(2)变为化简“×”．
[解] 原式＝×＝tan 2α.
被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的.若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简.
1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－，α－等之间关系的应用．
3．式中出现，时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α∈R，总有sin 2α＝2sin α.( )
(2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.( )
(3)对任意α∈R，总有tan 2α＝.( )
(4)sin 22°30′cos 22°30′＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．sin4－cos4等于( )
A．－ B．－
C． D．
B [原式＝·
＝－＝－cos ＝－.]
3．若tan α＝2，则tan 2α＝________.
－ [tan 2α＝＝＝－.]
4．求值：.
[解] ∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
课件38张PPT。第三章 三角恒等变形§3 二倍角的三角函数
第1课时 倍角公式234567891011化简求值 121314151617给值求值问题 1819202122利用倍角公式化简 232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 半角的正弦、余弦和正切
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)
1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养．
2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养.
半角公式
(1)sin＝± ；
(2)cos＝± ；
(3)tan＝± ＝＝.
思考：利用tan α＝和倍角公式能得到tan 与sin α，cos α有怎样的关系？
[提示] tan ＝＝＝，
tan ＝＝＝.
1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin 的值为( )
A．－ B．
C． D．－
[答案] B
2．已知cos α＝，α∈，则cos 的值为( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] B
3．tan 15°等于( )
A．2＋ B．2－
C．＋1 D．－1
B [由tan ＝，得tan 15°＝＝2－.]
4．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a表示)．
[sin 11°＞0，cos 11°＞0，
所以sin 11°＝，cos 11°＝.]
应用半角公式求值
【例1】 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
[解] sin ＝± ＝±＝±，
cos ＝± ＝±＝±，
tan ＝± ＝± ＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin ＝，cos ＝－，tan ＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.
在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值.
1．已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
[解] ∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2 －1
得cos2＝＝.
∵<<π.
∴cos ＝－＝－.
tan ＝＝2.
利用半角公式化简求值
【例2】 化简：
.
[思路探究] 利用半角公式将角进一步统一为，注意角的取值范围．
[解] ∵<α<2π，∴<<π，
∴原式＝
＝
＝cos2 －sin2＝cos α.
对于三角函数式的化简有下面的要求：
(1)能求出值的应求出值；
(2)使三角函数种数尽量少；
(3)使三角函数式中的项数尽量少；
(4)尽量使分母不含有三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
2．化简：(180°[解] 原式＝
＝
＝
＝＝.
因为180°所以原式＝＝cos x.
三角恒等变换的综合应用
[探究问题]
1．半角公式适用的条件是什么？
[提示] cos ＝±，sin ＝±，
α∈R.
tan ＝±＝中，α≠2kπ＋π，k∈Z，
tan ＝中，α≠kπ，k∈Z.
2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？
[提示] 例如α可以看成的倍角，也可以看成2α的半角．
3．怎样把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式？
[提示] asin x＋bcos x＝·
＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin (x＋φ).
【例3】 已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．
[思路探究] 把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质．
[解] f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由x∈，可得≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取最大值，最大值为2.
将例3中的函数变为“f(x)＝sin2x－sin2，x∈R”，试求：(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)在x∈上的最值．
[解] (1)由已知，得f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．( )
(2)tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．( )
(3)sin x＋cos x＝sin.( )
(4)sin x＋cos x＝2sin.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于( )
A． B． C．1 D．2
A [∵f(x)＝2sin
＝sin x－sin2＝sin x－
＝sin x＋cos x－＝sin－.
∴f(x)max＝.]
3．设5π<θ<6π，cos ＝，则sin ＝________.
－ [∵<<，∴sin <0.
∴sin ＝－ ＝－＝－.]
4．已知π<α<，化简＋.
[解] 原式＝＋，
∵π<α<，∴<<，
∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos .
课件37张PPT。第三章 三角恒等变形§3 二倍角的三角函数
第2课时 半角的正弦、余弦和正切234567891011应用半角公式求值 1213141516利用半角公式化简求值 1718192021三角恒等变换的综合应用 222324252627282930313233343536点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十五) 倍角公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C． D．1
B [f(x)＝sin 2x∈.]
2．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于( )
A． B．－
C． D．－
D [cos x＝，x∈，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D.]
3．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D.
A [cos2＝
＝＝
＝＝，选A.]
4．若tan α＝2，则的值是( )
A. B.
C. D.－
A [原式＝
＝＝＝.]
5．若sin＝，则cos的值为( )
A．－ B．－
C． D．
B [cos＝－cos
＝－cos
＝－
＝2sin2－1＝－.]
二、填空题
6．2sin222.5°－1＝________.
－ [原式＝－cos 45°＝－.]
7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.
[原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.]
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
[y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以函数的值域为.]
三、解答题
9．已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α的值．
[解] ∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈，
∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
10．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
[解] ∵cos α＝且α在第一象限，
∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝.
[等级过关练]
1．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
A [令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝，0<α<π，
∴sin α＝.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.]
2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为( )
A．4 B．
C．4 D．8
D [∵f(x)＝＋
＝
＝，
∴f＝＝8.]
3．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是________．
2 [∵f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时，f(x)max＝2.]
4．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________.
－ [＝
＝
＝2cos 2α＋1＝，所以cos 2α＝.又α是第四象限角，
所以sin 2α＝－，所以tan 2α＝－.]
5．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
课时分层作业(二十六)
半角的正弦、余弦和正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
D [＝＝＝tan α.]
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] C
3．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B.
C. D.
D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x.]
4．化简等于( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
C [原式＝＝＝cos 1，故选C.]
5．已知450°＜α＜540°，则的值是( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
A [因为450°＜α＜540°，
所以225°＜＜270°.
所以cos α＜0，sin＜0.
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin.故选A.]
二、填空题
6．已知sin －cos ＝－，且α∈，则tan ＝________.
2 [由条件知∈，
∴tan >0.由sin －cos ＝－，
∴1－sin α＝.
∴sin α＝，cos α＝－，tan ＝＝2.]
7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
π [∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，
∴T＝＝π.]
8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________.
－ [sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1
＝－.]
三、解答题
9．已知sin φ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin；(2)sin 2φ；(3)cos；(4)tan.
[解] 因为φ是第三象限角，
所以cos φ＝－＝－.
(1)sin＝sin φcos＋cos φsin＝－.
(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝.
(3)因为φ是第三象限角，所以2kπ＋π＜φ＜2kπ＋.
所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)．
当k＝2m时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，
cos＝－＝－.
当k＝2m＋1时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，
cos＝＝.
(4)tan＝＝－.
10．已知函数f(x)＝4cos xsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解] (1)f(x)＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1.
[等级过关练]
1．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有
( )
A．cC．aC [a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
∵y＝sin x在[0°，90°]上是递增的．
∴a2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B．
C．2 D．－2
A [∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.]
3．若f(x)＝cos 2x－2a(1＋cos x)的最小值为－，则a＝________.
－2＋ [f(x)＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－2a－1，令t＝cos x．则－1≤t≤1，函数f(x)可转化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1，
当>1，即a>2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；
当<－1，即a<－2时， 当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1≠－，不符合题意，舍去；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，
解得a＝－2±，
因为－2≤a≤2，所以a＝－2＋.
综上所述，a＝－2＋.]
4．函数f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin 2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题的序号是________．
①② [f(x)＝－2sin2x＋sin 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
f(x)在上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，
y＝sin 2x向左平移个单位长度可得f(x)的图像，故③错．
当x∈时，2x＋∈，则f(x)∈[－1，]，故④错．]
5．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2x·
cos －cos 2xsin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．
又f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
