三角恒等变形
三角函数的求值问题
【例1】 已知tan＝－，且<α<π，求的值．
[解] ＝
＝2cos α.
∵tan＝＝－，
∴tan α＝－3，
∵α∈，∴cos α＝－，
∴＝2cos α
＝2×＝－.
三角函数求值主要有三种类型，即：
?1?“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.
?2?“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
?3?“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
1．已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求α＋β的值．
[解] ∵3sin β＝sin(2α＋β)，
即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.
即tan(α＋β)＝2tan α.
又∵4tan ＝1－tan2 ，
∴tan α＝＝，
tan(α＋β) ＝2tan α＝2×＝1.
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
三角函数式的化简
【例2】 化简.
[解] 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.
2．化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
[解] 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－
＝1－＝.
三角恒等变换
【例3】 求证：··＝tan.
[证明] 左边＝··
＝
＝＝
＝＝＝tan ＝右边．
∴等式成立．
1．三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：(1)角的差异；(2)三角函数名称的差异；(3)三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．
2．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．
3．三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．
3．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β.
[证明] 因为tan(α－β)＝sin 2β，
tan(α－β)＝，sin 2β＝，
所以＝.
去分母整理得tan α＝，
所以tan α＋tan β＝＝2tan 2β.
三角函数与平面向量的综合应用
【例4】 已知向量a＝，b＝，
且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
[思路探究] 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x∈，求出最大值和最小值．
[解] (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|.
∵x∈，∴cos x>0，
即|a＋b|＝2cos x.
(2)∵f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝22－，
且x∈，
∴≤cos x≤1.
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos x＝1时，f(x)取得最大值为－1.
三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值.
4．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
[解] m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝
＝ ＝2 .
由已知|m＋n|＝，得cos＝.
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝.
∵π<θ<2π，∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.
三角恒等变换的综合应用
[探究问题]
1．三角恒等变换的基本方向是什么？
[提示] 基本方向是变角、变函数、变结构．
2．三角恒等变换的基本技巧是什么？
[提示] 基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)．如acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋φ)(φ为辅助角)．
3．三角恒等变换的基本目标是什么？
[提示] 基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．
【例5】 已知向量a＝(2sin x，cos x)，b＝(cos x，2cos x)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)画出函数g(x)＝f(x)，x∈的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．
[思路探究] 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后求解．
[解] f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋?kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)函数g(x)＝f(x)，x∈的图像如图所示：
从图像上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心为.
1．将例5的条件变为“已知f(x)＝sin＋sin＋2cos2x”，试求f(x)≥2的x的取值范围．
[解] ∵f(x)＝sin＋sin＋2cos2x＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos －cos 2x·sin ＋cos 2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，
∵f(x)≥2，
∴2sin＋1≥2，
∴sin≥，
∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)≥2的x的取值范围是.
2．将例5中的条件变为“f(x)＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x”，试求该函数在[0，π]上的单调增区间．
[解] f(x)＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin xcos x
＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x＝2
＝2sin.
∵f(x)的单调增区间为
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)在[0，π]上的单调增区间为，.
三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用.
课件38张PPT。第三章 三角恒等变形章末复习课三角函数的求值问题 三角函数式的化简 三角恒等变换 三角函数与平面向量的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 三角恒等变形
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin＝，则sin(－2α)的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [∵sin＝＝sin α＋cos α，
∴sin α＋cos α＝，
∴等式两边平方可得：1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝，
∴sin(－2α)＝－sin 2α＝－.故选B.]
2．化简：＝( )
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
A [原式＝＝2cos α.]
3．函数f(x)＝3cos x－sin x的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
A [∵f(x)＝3cos x－sin x＝2＝2cos，
∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程．故选A.]
4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，则cos 2α＝( )
A． B．－
C．－ D．
A [向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，可得tan αcos α＝，即sin α＝.所以cos 2α＝1－2sin2α＝，故选A.]
5．已知0
A. B.
C. D.
D [∵00，∵cos 2A＝＝2cos2A－1，
整理可得：cos2A＝，∴cos A＝.故选D.]
6．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.]
7．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)的值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．
A [∵<2α<π，∴cos 2α＝－.
∴tan 2α＝＝－，
tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]
＝
＝＝－2.]
8．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆x2＋y2＝1交点的横坐标为，则cos等于( )
A． B．－
C．－ D．
A [由题意，得cos α＝，又α为锐角，则cos＝
＝＝.]
9．在△ABC中，已知tan ＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，
所以2cos2＝1，所以cos(A＋B)＝0.
从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．]
10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos
＝，则cos等于( )
A． B．－
C． D．－
C [因为0＜α＜，所以＜α＋＜，
得sin＝＝；
因为－＜β＜0，所以＜－＜，
得sin＝＝.
则cos＝cos
＝coscos＋sin·
sin＝×＋×＝.]
11．已知函数f(x)＝cossin x，则函数f(x)满足( )
A．最小正周期为T＝2π
B．图像关于点对称
C．在区间上为减函数
D．图像关于直线x＝对称
D [因为f(x)＝cos sin x＝(sin x·cos x－sin2x)＝(sin 2x－1＋cos 2x)＝sin－，当x＝时取最大值，故x＝是对称轴，应选D.]
12．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于( )
A. B.
C. D.
D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________.
0 [cos 89° cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]
14．已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝________.
[∵tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝.]
15．若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2的值等于________．
[∵sin(π－α)＝，∴sin α＝.
又∵α∈，∴cos α＝＝，
因此，sin 2α－cos2＝2sin αcos α－(1＋cos α)
＝2××－×
＝－＝.]
16.＝________.
－4 [原式＝
＝
＝
＝
＝＝－4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin αcos α＝.可知(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
又因为＜α＜，所以cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0.
所以cos α－sin α＝－.
(3)因为α＝－＝－6×2π＋，
所以f＝cossin
＝cossin
＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·
＝×＝－.
18．(本小题满分12分)(1)化简：；
(2)已知：tan α＝3，求的值．
[解] (1)原式＝
＝＝
＝＝－1.
(2)原式＝＝＝＝9.
19．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos 2α＋sin的值．
[解] (1)因为0<α<，sin α＝，
所以cos α＝，
所以tan α＝.
(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：
cos 2α＋sin＝1－2sin2α＋cos α＝1－＋＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin ωx－sin2＋(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围．
[解] (1)f(x)＝sin ωx－＋＝sin ωx
＋ cos ωx＝sin.
因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调增区间为，
k∈Z.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以－≤sin≤1.
所以函数f(x)在上的取值范围是.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan(α＋β)的值．
[解] (1)f＝Acos
＝Acos ＝A＝，∴A＝2.
(2)∵f＝2cos
＝2cos＝－2sin α＝－，
∴sin α＝.
∵f＝2cos
＝2cos β＝，
∴cos β＝.
∵α，β∈，
∴cos α＝＝，
sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－，
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－.
22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A(2,0)，B(0,2)，C(cos α，sin α)．
(1)若(＋)2＝7(O为原点)，求向量与夹角的大小；
(2)若⊥，求sin 2α的值．
[解] (1)∵＋＝(2＋cos α，sin α)，(＋)2＝7，
∴(2＋cos α)2＋sin2α＝7，
∴cos α＝.
又B(0,2)，C(cos α，sin α)，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝sin α＝±，
∴与的夹角为或.
(2)∵＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)，
⊥，∴·＝0，
即cos α＋sin α＝，
∴(cos α＋sin α)2＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.
