§1 周期现象
§2 角的概念的推广
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解现实生活中的周期现象．
2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)
3．掌握终边相同角的含义及其表示．(难点)
4．会用集合表示象限角．(易错点)
1.通过学习周期现象、任意角的概念，象限角的概念，体会数学抽象素养．
2．通过终边相同的角的表示及象限角的表示，培养数学运算素养.
1．周期现象
(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的特征？
[提示] 周而复始，重复出现．
2．角的概念
(1)角的有关概念
(2)角的概念的推广
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角
思考2：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
[提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
3．象限角的概念
(1)前提条件
①角的顶点与原点重合．
②角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)结论
角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
(3)终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°， k∈Z}．
如图所示：
注意以下几点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
思考3：假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
[提示] 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．
1．下列变化是周期现象的是( )
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．随机数表中数的排列
C．某交通路口每小时通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
A [由周期现象的概念知A为周期现象．]
2．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．相差180°整数倍的角为终边相同的角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
D [A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．]
3．－378°是第________象限角．( )
A．一 B．二
C．三 D．四
D [－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．]
4．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．
144°＋(－3)×360° [－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.]
周期现象的判断
【例1】 (1)下列变化中不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．
(1)D [由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.]
(2)解：因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．
1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
1．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．
[解] 观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．
角的概念
【例2】 下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180 °的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为______．
① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；
③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．]
判断角的概念问题的关键与技巧
?1?关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念.?
?2?技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.
2．下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
B [终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，所以C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确．]
象限角的表示
[探究问题]
1．任意角都是象限角吗？为什么？
[提示] 不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角．
2．象限角的表示．
象限角
角的集合表示
第一象限角
________
第二象限角
________
第三象限角
________
第四象限角
________
[提示]
象限角
角的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α【例3】 已知α为第二象限角，问2α，分别为第几象限的角？
[思路探究] 由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．
同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)．
①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第一象限角；
②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．
此时为第三象限角．
综上可知，为第一或第三象限角．
1．(变结论)在本例条件下，求角2α的终边的位置．
[解] ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．(变条件)若角α变为第三象限角，则角是第几象限角？
[解] 如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有“三”的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角．
倍角、分角所在象限的判定思路?
?1?已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.?
?2?已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余 n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.
终边相同的角
[探究问题]
3．在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察这三个角终边之间的位置关系，角的大小关系．
[提示] 如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．
4．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
[提示] 所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．
【例4】 已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[思路探究] 利用终边相同的角的关系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解．
[解] (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
3.(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤ α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
4．(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解] 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β ≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤ β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤ β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
1．终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并， 使结果简捷．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
3．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某同学每天上学的时间是周期现象．( )
(2)第三象限角一定比钝角大．( )
(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．( )
(4)始边相同，终边也相同的角一定相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列现象不是周期现象的是( )
A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
C [A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．]
3．下面各组角中，终边相同的是 ( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
B [因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．]
4．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．
－30° －360° [经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.]
5．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
[解] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
课件50张PPT。第一章 三角函数§1 周期现象
§2 角的概念的推广重复出现 重复 逆时针 顺时针 没有作任何旋转重合 原点 x轴的非负半轴 第几象限角 {β|β＝α＋k×360°， k∈Z} 周期现象的判断 角的概念 象限角的表示 终边相同的角 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
周期现象 角的概念的推广
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
B [由题意知，60分钟后分针仍指在2点处，100分钟后指在2＋＝10点处．]
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 020盆花的颜色为 ( )
A．红 B．黄
C．紫 D．白
D [因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 020÷4＝505，所以第2 020盆花为白色．]
3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是( )
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二象限角或第三象限角
D．第二象限角或第四象限角
D [当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角；当k为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．]
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
C [令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.]
5．与－460°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－260°，k∈Z}
C [由于－460°＝(－2)×360°＋260°，故与－460°角终边相同的角是k·360°＋260°，k∈Z，故选C.]
二、填空题
6．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
150°＋k·360°，k∈Z [∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.]
7．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
82．5° [时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.]
8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角为________．
60°，120°，180°，240°，300° [由题意知，6α＝k·360°，k∈Z，
所以α＝k·60°，k∈Z.
又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.]
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
[解] 如图所示：
10．已知角α是第三象限角，求：
(1)角是第几象限的角；
(2)角2α终边的位置．
[解] (1)因为k·360°＋180°<α(2)因为k·360°＋180°<α所以2k·360°＋360°<2α<2k·360°＋540°，k∈Z，
则无论k取何整数，表示的角的终边都在x轴的上半平面，故2α的终边在x轴的上半平面．
[等级过关练]
1．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°－k·360°，k∈Z
D．β＝α±90°＋k·360°，k∈Z
D [∵α与β的终边互相垂直，故β－α＝±90°＋k·360°，k∈Z，∴β＝α±90°＋k·360°，k∈Z.]
2．如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
D [终边落在y＝x上的角的集合为S1＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，终边落在y＝－x上的角的集合为S2＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，所以终边落在y＝±x上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝180°·k＋45°，k∈Z}∪{α|α＝180°·k＋135°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝90°·k＋45°，k∈Z}．]
3．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
20°，140°，260° [由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°.]
4．探索如图所示呈现的规律，判断2 018至2 020箭头的方向是________．(填序号)
③ [观察题图可知，0到4为一个周期，
则从2 018到2 020对应着2到3到4.]
5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
因为α，β都是锐角，
所以0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
因为α，β都是锐角，
所以－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
