§3 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养．
2．通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养.
1．弧度制
(1)弧度制的定义
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
(2)角度制与弧度制的互化
①弧度数
(ⅰ)正角的弧度数是一个正数；
(ⅱ)负角的弧度数是一个负数；
(ⅲ)零角的弧度数是0；
(ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．
②弧度数的计算
|α|＝.如图：
③角度制与弧度制的换算
④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
π
2π
思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示] 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时， 同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．
2．弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝l·r＝|α|r2
思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
[提示] 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝lr，l＝αr.
1．下列说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小是2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D [根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．]
2．时针经过一小时，时针转过了( )
A． rad B．－ rad
C． rad D．－ rad
B [时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－ rad，故选B.]
3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
D [2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．]
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
C [设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得∴或]
角度与弧度的互化
【例1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
[解] (1)∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝＝×＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.
∴k＝－1或k＝0.
∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.
β2＝－＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°.
∴k＝0或k＝1.
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.
角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· rad.
(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
[解] (1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
用弧度制表示终边相同的角
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
[解] (1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形；
(2)写出区间边界对应的角；
(3)用不等式表示区域范围内的角．
2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．
2．(1)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是( )
A．－6π－ B．－6π＋
C．－8π－ D．－8π＋
(2)在0°～720°范围内，找出与角终边相同的角．
(1)D [因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×＝，
所以－1 125°＝－8π＋.]
(2)解：因为＝4π＋π＝720°＋72°，
所以与角终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角终边相同的角为72°，432°.
弧长公式与面积公式的应用
[探究问题]
1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？
[提示] |α|＝.
2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？
[提示] S＝lr.
【例3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
[思路探究] →
→→
[解] 设扇形的半径为R，弧长为l，
则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，∴R＝1，
∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1．(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角α(0<α<2π)的弧度数．
[解] 设弧长为l，扇形半径为r，由题意得：
解得或(舍)
故α＝＝(rad)，即扇形的圆心角为 rad.
2．(变条件，变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40 cm”．问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？
[解] 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时θ＝＝＝2(rad)．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都
有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.( )
(3)180°等于π弧度．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．－72°化为弧度是( )
A．－ B．－π
C．－ D．－
B [－72°＝－72×＝－π.]
3．－π化为角度为________．
－345° [－π＝－π×＝－345°.]
4．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
[由－π＜－＜π，得－＜k＜.因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝.]
5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
48 [|α|＝＝＝ rad，S＝l·r＝×12×8＝48.]
课件43张PPT。第一章 三角函数§3 弧度制rad 弧度 弧度 正数 负数 0 一一对应关系 角度与弧度的互化 用弧度制表示终边相同的角 弧长公式与面积公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 弧度制
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
A [240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.]
2．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
B [由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过周，×2π＝.]
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
D [∵30°＝，∴α＝2kπ＋，k∈Z.]
4．终边落在直线y＝x上的角α的集合是( )
A.
B.
C.
D.
D [角的终边落在直线y＝x上，即此角的终边为第一、三象限的平分线，故角α的集合为.]
5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是
( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
A [设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，
得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.]
二、填空题
6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
25 [216°＝216×＝，l＝α·r＝·r＝30π，
所以r＝25.]
7．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________．
[答案] π
8．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
[由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.]
三、解答题
9．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)形式并指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°；(3)－20.
[解] (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20<2π.
∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
10．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)；(2)165°.
[解] (1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，
S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
(2)165°＝×165 rad＝π rad.
∴l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)．
S＝l·r＝×π×10＝π(cm2)．
[等级过关练]
1．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是
( )
A B C D
C [当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.]
2.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A.(2－sin 1cos 1)R2
B.R2sin 1cos 1
C.R2
D．(1－sin 1cos 1)R2
D [∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△＝|α|R2－·
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．]
3．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．
2∶3 [如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·2＝，S扇＝a2·＝，
所以＝.]
4．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是________．
∪ [∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－π<α<－π，
当k＝0时，<α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．]
5．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
[解] 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.
由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
