§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)
2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)
3．理解周期函数的定义．(难点)
1.通过学习任意角的正弦、余弦的定义及周期函数的定义，培养数学抽象素养．
2．通过正弦、余弦定义的应用及同角的正弦、余弦函数值间的关系，提升数学运算素养.
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
(1)单位圆的定义
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
通常
表示法
y＝sin x，定义域为全体实数集，值域为[－1,1]
y＝cos x，定义域为全体实数集，值域为[－1,1]
在各
象限
的符号
思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？
[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．
2．周期函数
(1)终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．
①终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(x＋2kπ)＝sin_x(k∈Z)．
②终边相同的角的余弦函数值相等，即
cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)．
(2)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
思考2：由sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sin α等于( )
A. B.
C. D.
C [∵r＝＝5，∴sin α＝.]
2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为
( )
A. B.
C. D.
D [由题意知，角α的终边上一点的坐标为.
∴cos α＝＝.
又α的终边在第四象限．
∴α的最小正值为.]
3．已知sin θ·cos θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
D [∵sin θ·cos θ<0，∴或
∴θ在第二象限或第四象限．]
4．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．无法确定
A [f＝f＝f＝1.]
正弦、余弦函数的定义
【例1】 已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦值和余弦值．
[解] 法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则y＝2x(x>0)．又因为x2＋y2＝1，
所以于是sin α＝y＝，
cos α＝x＝.
法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x>0)，则OP＝＝＝|x|，
又因为x>0，所以OP＝x.
所以sin α＝＝，cos α＝＝.
求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：
?1?利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P?u，v?，则v＝sin α，u＝cos α.
?2?利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设P?x，y?是角α的终边上任意一点，P到原点的距离r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝.
1．若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin α＝________.
[如图，点P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，且r＝－m，
故有sin α＝＝＝.]
判断三角函数值的符号
【例2】 (1)判断sin 340°cos 265°的符号；
(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．
[解] (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，
所以sin 340°＜0，cos 265°＜0.
所以sin 340°cos 265°＞0.
(2)因为sin 2α＞0，
所以2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＜α＜kπ＋(k∈Z)．
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ＜α＜2mπ＋(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，
有2mπ＋π＜α＜2mπ＋(m∈Z)．所以α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为第三象限角．
正、余弦函数符号的确定?
?1?终边在坐标轴上的角：?
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为?－1，0?，故sin α＝0，cos α＝－1.?
?2?终边在各个象限内的角：?
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正.
2．(1)判断的符号；
(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．
[解] (1)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，
∴>0.
(2)∵sin α>0，∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上．
∵cos α<0，∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上．
故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限．
周期函数的定义及其应用
[探究问题]
1．30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？
[提示] 相等．
2．终边相同的角的同名函数值相等吗？为什么？
[提示] 相等．因两角终边相同，其终边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知同名函数值相等．
3．公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
[提示] (1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．
【例3】 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈时，f(x)＝2sin x，求f＋f的值．
[思路探究] 利用周期函数及奇函数的定义将角转化到，再利用特殊角的三角函数求值．
[解] ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f＋f
＝f＋f
＝f＋f
＝－f＋f
＝－2sin ＋2sin
＝－.
1．(变条件)在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f＋f的值．
[解] 由f(x＋π)＝－f(x)知
f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)，
∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f，
又∵f(x)是奇函数，
∴原式＝－2sin ＋2sin ＝－.
2．(变条件、变结论)在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
2π [由f(x＋π)＝得f[(x＋π)＋π]＝＝f(x)，∴f(x＋2π)
＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.]
3．(变条件)把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
[解] ∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(x－π)＝f(x＋π)．
令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)，
∴函数f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
＝2sin ＋2sin
＝＋.
常见周期函数的形式?
周期函数除常见的定义式f?x＋T?＝f?x?外，还有如下四种形式：
?1?f?x＋a?＝－f?x?.?2?f?x＋a?＝.?
?3?f?x－a?＝－.?4?f?x－a?＝f?x＋a?.?
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )
(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．( )
(3)对正弦函数f(x)＝sin x有f＝f，所以是函数f(x)的周期．( )
(4)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f(1)．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.
1 [f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.]
3．使得lg(cos α·sin α)有意义的角α是第________象限角．
一或三 [要使原式有意义，必须cos α·sin α>0，即需cos α与sin α同号，所以α是第一或第三象限角．]
4．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
[解] 因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝.
于是sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝－.
课件43张PPT。第一章 三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性234坐标原点 单位长度 非负半轴5纵坐标v sin α 横坐标u u＝cosα 全体实数 集 [－1,1] 全体实数 集 [－1,1] 67sin x cos x 8非零实数T 任意一个 f(x＋T)＝f(x) T 最小 最小正周期 910111213141516正弦、余弦函数的定义 17181920判断三角函数值的符号 2122232425周期函数的定义及其应用 2627282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值一定相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值一定不等；
③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin ＝sin；对于③，可举出sin>0，但不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝(因为α是第二象限角，已有x<0)，故选B.]
2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( )
A． B．－
C．－ D．－
C [因为sin 30°＝，cos 30°＝.
所以α的终边过点(1，－)，所以r＝＝2，
所以sin α＝＝－，故选C.]
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
B [因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，
所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．]
4．若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是( )
A. B．sin α
C．cos α D．都有意义
A [由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，＝，可知无意义．]
5．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为( )
A． B．或－
C．－ D．与a有关
C [∵a<0，∴r＝＝5|a|＝－5a，
∴cos α＝＝，sin α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝－.]
二、填空题
6．已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．
三 [因为点P(sin α，cos α)在第三象限，则sin α<0且cos α<0，故角α的终边在第三象限．]
7．求值：cos ＋sin＝________.
[原式＝cos＋sin
＝cos ＋sin ＝＋＝.]
8．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.
－2 [∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.]
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)cos ·sin π；
(3)cos 4·cos 5.
[解] (1)∵105°是第二象限角．∴sin 105°>0.
又∵230°是第三象限角．∴cos 230°<0.
∴sin 105°·cos 230°<0.
(2)∵sin π＝0，∴cos π·sin π＝0.
(3)∵4为第三象限角，
∴cos 4<0.又∵5是第四象限角，
∴cos 5>0，∴cos 4·cos 5<0.
10．已知角α的终边过点(3m－9，m＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m的取值范围．
[解] 因为cos α<0，
所以α的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上．
又因为sin α>0，
所以α的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上．
所以α是第二象限角，
即点(3m－9，m＋2)在第二象限．
所以解得－2即m的取值范围是(－2,3).
[等级过关练]
1．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B．
C．－4 D．4
C [cos α＝＝－，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去)．]
2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由sin α·cos α<0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α<0，得cos α3．若α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 3α＝________.
0 [cos 3α＝cos 3＝cos＝cos ＝0.]
4．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
2 [∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∵|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.]
5．已知cos α<0，sin α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin ，cos 的符号．
[解] (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为.
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角．
即的终边落在第一象限或第三象限．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin >0，cos >0；
当是第三象限角时，sin <0，cos <0.
