4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质．
2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
3．掌握诱导公式及其应用．(重点)
1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式提升逻辑推理素养．
2．通过诱导公式的应用提升数学运算素养.
1．正弦函数、余弦函数的基本性质
从单位圆看出正弦函数y＝sin x有以下性质
(1)定义域是R；
(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；
(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z)；
(4)在[0,2π]上的单调性为：在上是单调递增；在上是单调递减；在上是单调递增．
同样，从单位圆也可看出余弦函数y＝cos x的性质．
思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？
[提示] 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
2．诱导公式的推导
(1)诱导公式(－α，π±α)的推导
①在直角坐标系中
α与－α角的终边关于x轴对称；
α与π＋α的终边关于原点对称；
α与π－α的终边关于y轴对称．
②公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；
sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；
sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.
(2)诱导公式的推导
①－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．
②公式
sin＝cos_α，cos＝sin_α
用－α代替α并用前面公式
sin＝cos_α，cos＝－sin α
思考2：设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？
[提示] 它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对应关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( )
A．sin＝－cos α
B．sin(π－α)＝－sin α
C．cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
D [由诱导公式知D正确．]
2．cos 300°＋sin 450°的值是( )
A．－1＋ B．
C．－1－ D．
D [原式＝cos(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝cos(－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝.]
3．cos的值是( )
A．－ B．
C． D．－
D [cos＝cos＝－cos＝－.]
4．y＝sin x，x∈的单调增区间为________，单调减区间为________．
[在单位圆中，当x由－π到时，sin x由0减小到－1，再由－1增大到.所以它的单调增区间为，单调减区间为.]
正弦、余弦函数的性质
【例1】 求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．
(1)y＝sin x，x∈；
(2)y＝cos x，x∈.
[解] (1)由图①可知，y＝sin x在上是增加的，在上是减少的．且当x＝时，y＝sin x取最大值1，当x＝－时，y＝sin x取最小值－.
①
(2)由图②可知，y＝cos x在
[－π，0]上是增加的，在上是减少的．且当x＝－π时取最小值－1，当x＝0时，取最大值1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法
第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；
第二步：作出角的终边与单位圆的交点P(cos x，sin x)；
第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；
第四步：得出结论．
1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值．
(1)y＝－sin x，x∈；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]．
[解] (1)y＝－sin x，x∈的单调递减区间为，单调递增区间为.
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝0，故函数y＝－sin x，x∈的值域为.
(2)y＝cos x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当x＝0时，ymax＝1；当x＝－π或π时，ymin＝－1，故函数y＝cos x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1].
给角求值
【例2】 求下列三角函数式的值：
(1)sin 495°·cos(－675°)；
(2)sin＋cos .
[解] (1)sin 495°·cos(－675°)
＝sin(135°＋360°)·cos 675°
＝sin 135°·cos 315°
＝sin(180°－45°)·cos(360°－45°)
＝sin 45°·cos 45°
＝×＝.
(2)sin＋cos ＝－sin ＋cos
＝－sin＋cos ＝－sin ＋cos
＝－sin－cos ＝sin －cos
＝－＝0.
利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：
可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．
2．求下列三角函数值．
(1)sin·cos；
(2)sin.
[解] (1)sin·cos
＝sin·cos
＝－sin·cos
＝－·
＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin＝.
三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式：
(1)；
(2).
[解] (1)原式＝
＝＝cos α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
三角函数的化简，尽量化为2kπ±α的形式，否则：?
?1?形如kπ±α时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；?
?2?形如π±α时，应分k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2?n∈Z?三种情形讨论.
3．化简下列各式．
(1)；
(2).
[解] (1)原式
＝
＝＝1.
(2)原式
＝
＝
＝＝＝－.
给值求值问题
[探究问题]
1．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？
[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
2．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？
[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．
【例4】 (1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．
(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解．
(1)B [因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝－，又因为α是第四象限角，
所以cos(α－2π)＝cos α＝＝＝.]
(2)解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
1．(变条件，变结论)将例(2)中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
[解] 由题意知cos＝，求cos＋sin2的值．
因为cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝1－cos2＝1－2＝，
所以cos＋sin2＝－＋＝.
2．(变结论)例(2)中的条件不变，求cos－sin2的值．
[解] cos－sin2＝cos
－sin2
＝－cos－sin2＝－－
＝－.
解决条件求值问题的策略?
?1?解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.?
?2?可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0,2π]内的角，再用π±α，＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用－α化为内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )
(2)y＝cos x在[0，π]上是递减的．( )
(3)sin(2π－α)＝sin α.( )
(4)诱导公式中的角α只能是锐角．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则θ所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由sin(θ＋π)＝－sin θ＜0?sin θ＞0，cos(θ－π)＝－cos θ＞0?cos θ＜0，由可知θ是第二象限角．]
3．已知cos(π＋α)＝－，则sin＝________.
[cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
又sin＝cos α＝.]
4．计算：cos·sin.
[解] 原式＝cos·sin
＝cos·sin
＝·
＝·＝.
课件48张PPT。第一章 三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式R 1 －1 [－1,1] 单调递增 单调递减 单调递增 x轴 原点 y轴 －sin α cos α －sin α －cos α sin α －cos α y＝x cos α sin α cos α 正弦、余弦函数的性质 给角求值 三角函数式的化简 给值求值问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．cos 660°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
B [cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°
＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)
＝cos 60°＝.]
2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.
∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，
∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．]
3．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
D [sin＝sin＝sin＝－sin＝－.]
4．若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
A．－ B．－
C． D．±
A [∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin＝－cos α＝－.]
5．下列三角函数中(n∈Z)，与sin数值相同的是( )
①sin；②cos；
③sin；④cos；
⑤sin.
A．①② B．①②③
C．②③⑤ D．①③⑤
C [①中n为偶数时，sin＝－sin；
②中cos＝cos＝sin；
③中sin＝sin；
④中cos＝－cos
＝－sin；
⑤中sin＝sin
＝sin.
故②③⑤正确．]
二、填空题
6．函数y＝2－sin x的最小正周期为________．
2π [因为2－sin(2π＋x)＝2－sin x，所以y＝2－sin x的最小正周期为2π.]
7．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)＝________.
－ [∵cos＋sin(π＋θ)＝－sin θ＋(－sin θ)＝－2sin θ＝－m，∴sin θ＝.
∴cos＋2sin(6π－θ)＝－sin θ－2sin θ＝－3sin θ＝－.]
8．计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________.
0 [原式＝＋
＋
＝＋
＋
＝＋
＋
＝0.]
三、解答题
9．化简下列各式．
(1)sincos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
[解] (1)sincos π
＝－sincos
＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝1.
10．(1)已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a、b的值；
(2)求y＝－2sin x，x∈的最大值与最小值．
[解] (1)当a>0时，解得
当a<0时，解得
∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2.
(2)当x＝－时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝－2.
[等级过关练]
1．已知sin ＝m，则cos 的值等于( )
A．m B．－m
C． D．－
C [cos ＝cos＝－cos ＝－
＝.]
2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 017)等于( )
A．4 B．3
C．－5 D．5
D [f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
f(2 017)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5.]
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
－ [由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－＝－(α为第四象限角)．]
4．计算sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.]
5．已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第四象限角且sin＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－π，求f(α)．
[解] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin＝sin
＝cos α＝，
所以f(α)＝－cos α＝－.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cosπ
＝－cos＝－.
