沪科版数学九年级上册23.2.3解直角三角形及其应用 教学设计
课题
23.2.3解直角三角形及其应用
单元
第23章
学科
数学
年级
九年级上
学习
目标
1、加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。
2、能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。
重点
对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决。
难点
对坡度、坡角、坡面概念的理解。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1、亲爱的同学们，解直角三角形常用关系是什么？如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____， cosA=_____，
tanA=_____。
2、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？
①将实际问题转化为数学问题;
②根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形.
3.观察下面图片
复习上节课问题，老师提问并解答问题，
观看图片，通过设立悬念进入新课。
生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图帮助分析使条理清楚，降低思维难度。
讲授新课
活动探究： 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，怎样设置呢？
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i
例6 如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD//BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1:1.6，斜坡CD的坡度i’=1：2.5,求铁路路基的下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α 和β （精确到1°）的值。
例7 已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),在这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α
求证：
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米)．
注意：
1．解题时首先要读懂题意，把实际问题转化为数学问题。
2．通过作辅助线把实际问题转化为直角三角形问题。
对于生活中存在的解直角三角形的问题，关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？
鼓励学生通过自主探索与交流获得求解。
通过学生自己的观察、比较、总结出坡度与坡角.
写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案
本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系。学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力。
教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
通过中考题，引发学生自主思考，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间
加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。
巩固练习学生独立完成，学生讲评，其他学生相互补充。
课堂深化拓展练习，将比较难的问题、中考考题、放在适当的时候处理，使学生易于接受，提高思维。
作业
必做题:
随堂练习 P80
习题 P129第1、2 题
选做题:习题 P130练习题
学生独立完成
养成独立完成作业的习惯
课堂小结
学生总结
老师对学生的总结点评
鼓励学生谈自己的收获与感受，加深对温故知新的体会，知道“学而时习之”。
板书
23.2.3 解直角三角形及其应用
1、坡度与坡角
2、用直角三角形解决实际问题
课件27张PPT。23.2.3 解直角三角形及其应用 沪科版 九年级上1、解直角三角形常用关系是什么？
2、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？新知导入(1) 三边之间的关系: a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，
cosA=_____，
tanA=_____。 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°c290°新知导入1、解直角三角形常用关系是什么？2、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？①将实际问题转化为数学问题;(命题角度：求某建筑物或飞行器的高度(或宽度)；画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)②根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 新知导入新知导入筑坝修路修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，怎样设置呢？αi= h : l1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。2、坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶3.坡面水平面αi= h : l坡面水平面3、坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值例6 如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD//BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1:1.6，斜坡CD的坡度i’=1：2.5,求铁路路基的下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α 和β （精确到1°）的值。EFβ（单位：m）EFβ（单位：m）解 过点C 作CF⊥AD于点F，得
CF=BE ， EF=BC，∠A=α，∠D=β
∵BE=5.8m，
∴ AE=1.6×5.8=9.28（m）
DF=2.5×5.8=14.5（m）
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6（m）
，得
α≈32° ，β≈22°
答：铁路路基的下底宽为33.6m，
斜坡的坡角分别为32° ，22°。
EFβ（单位：m）例7 已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),在这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α
求证：
yxP2(x2,y2)P1（x1,y1）αO..yxRP2(x2,y2)P1（x1,y1）ααOQ1Q2证明 由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x的增大而增大。
如图，设x1＜x2，则y1 ＜ y2，过点P1 ， P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2 ，
再过点P1作x轴的平行线P1 R交P1 Q2于点R，得 ∠ P2 P1 R= αyxRP2(x2,y2)P1（x1,y1）ααOQ1Q2在Rt△ P2 P1 R中，
∵ P1 ， P2都在直线y=kx+b上，
∴ y1 =kx1 +b ①
y2 =kx2 +b ②
由②- ①，得yxRP2(x2,y2)P1（x1,y1）ααOQ1Q2由②- ①，得
y2 -y1 =k（x2 - x1）
∴
即 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米 ≈ 1.414， ≈1.732)．
） ?
45°30°4米12米ABCEFD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE 中，
在Rt△BCF 中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
注意：
1．解题时首先要读懂题意，把实际问题转化为数学问题。
2．通过作辅助线把实际问题转化为直角三角形问题。
对于生活中存在的解直角三角形的问题，关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。中考链接驶向胜利的彼岸如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝ ∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据： ≈1.414， ≈1.732)中考链接驶向胜利的彼岸解：需要拆除，理由：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米.
在Rt△BCD 中，新坡面DC的坡度为i＝ ∶3，中考链接驶向胜利的彼岸∴tan∠CDB＝ ∶3，
即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD＝10 米，
∴AD＝BD－AB＝10 －10≈7.32(米)
∵3＋7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除课堂总结定义应用解
直
角
三
角
形
及
其
应
用坡度与坡角解直角三角形实际问题板书设计 23.2.3 解直角三角形及其应用
1、坡度与坡角
2、用直角三角形解决实际问题作业布置必做题:
随堂练习 P80
习题 P129第1、2 题
选做题:习题 P130练习题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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