21.3二次函数与一元二次方程教学设计
课题
21.3二次函数与一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
一、知识与技能：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
二、过程与方法
经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
三、情感态度和价值观
在探究作二次函数与一元二次方程之间的内在联系；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
重点
教学重点：
二次函数与一元二次方程的联系．
难点
二次函数与一元二次方程的关系综合解题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
第1课时
回顾旧知，引出问题：
1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：______
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______。
当△﹥0方程根的情况是： _______________；当△=0时，方程 _________________； 当△﹤0时，方程 ___________。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条______，它与x轴的交点有几种可能的情况？
4.一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是
一次方程kx+b=0的解。
那么，二次函数与一元二次方程有什么关系呢？
学生利用已学知识思考并解答问题，根据老师的进一步引导，自然而然思考：二次函数与一元二次方程有什么关系呢？同时对旧知的应用也能激发学生对该问题的思考。
通过联系已学知识的，巩固旧知的应用，自然过渡学生对新知的问题的思考，并能主动思考，从而进入新知学习。
讲授新课
题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.
教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程
探究一
提问：当x为何值时，y=0?
展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
学生用已学知识列表法独立解答，并积极踊跃发言，验证自己的解答结果是否正确。
学生观察图像与列表，思考老师的问题并回答。
通过题目引导学生探究二次函数与一元二次方程的关系，而学生对于简单的题目轻而易举即可解答，增加了自信心的同时，也不知不觉地进入了探究新知的环节。
通过循序渐进的提问与提示，引导学生一步步思考，一步步探索二次函数与一元二次方程的关系。
探究一
【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？
引导并帮学生完善结论：
总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立.
变式：
变式：不画图象，你能说出函数 y=x2+x-6的图象与 x 轴的交点坐标吗？
学生结合上一道习题的解答过程思考，小组讨论解答。
学生通过两道题目的解答，总结出二次函数与一元二次方程的关系。
请一位学生上台解答展示解答过程，其他学生自主解答。
通过启发让学生意识到二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根的关系，随即抛物例题让学生自主解答，进一步学习新知。
学生通过自己解答题目找出规律，并自主归纳总结，加深了对新知的理解，且能培养学生的归纳总结能力、发现规律的能力。
总结新知后及时巩固练习，帮助学生加深理解，增强运用新知解答问题的能力
探究二
探究二：
观察二次函数y=x2-6x+9的图象和二次函数y=x2-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
提问：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?
例：用图象法求一元二次方程x2+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
教师展示两种不同的解答方法。
变式：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x－1= 0 的近似解。
学生运用已经总结的新知识对问题进行解答探究，并积极发言。
学生根据回答问题，延伸总结一般式时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系。
思考例题的解答方法，并比较两种方法的不同。
请一位学生上台解答展示解答过程，其他学生自主解答。
通过新知识的运用开启新的探究，循序渐进地引导学生一步步深入探究二次函数与一元二次方程的关系。
教师通过提问-总结的方式引导学生得出最终结论，让学生在不知不觉中获得新知。
通过例题的解答及时巩固结论，通过两种方法的比较，让学生体会用函数解答方程问题的便捷性。
通过变式练习及时巩固练习，帮助学生加深理解，增强运用新知解答问题的能力
练习
小试牛刀：
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（ ）
2 B．3 C．4 D．5
2.小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论： ①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上； ②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2； ④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2； 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 一如图，抛物线y=x2-3x+k+1与x轴相交于O，A两点．求k的值及点A的坐标。
学生思考并解答问题
通过当堂练习，帮助学生将新知识内化，通过解答问题达到学以致用，及时巩固新知。
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有哪些收获？
通过小结，让学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心内容：二次函数与一元二次方程的关系。
板书
课件19张PPT。第21章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：____________
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = __ 。
当△﹥0方程根的情况是： _________________ ；当△=0时，方程 __________________ ； 当△﹤0时，方程 ____________ 。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ______ ，它与x轴的交点有几种可能的情况？x=-1,x=3b2-4ac有两个不相等的实数根有两个相等的实数根
没有实数根抛物线回顾导入4.一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是
一次方程kx+b=0的解。那么，二次函数与一元二次方程有什么关系呢？xy… -2 -1 0 1 2 3 4 …… 5 0 -3 -4 -3 0 5 …写出二次函数 的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.新课讲授NM当x为何值时，y=0?x=-1, x=3探究一【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？两个，交点（-1,0）与（-2,0）的横坐标是方程的两根一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立.变式：不画图象，你能说出函数 的图象与 x 轴的交点坐标吗？解：当y=0 时，解得：所以,函数 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0）和（2，0）.探究二观察二次函数y=x2-6x+9的图象和二次函数y=x2-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0例：用图象法求一元二次方程x2+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。解：画出函数图像，如图。
由图像可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间。方程x2+2x－1= 0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图像，它们交点A，B的横坐标就是方程x2+2x－1= 0的根。变式：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x－1= 0 的近似解。自己进行画图，得到近似解为
x1 ≈ 0.6，
x2 ≈-1.6通过这节课的学习活动，你有哪些收获？课堂小结两两一一001.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
课堂练习C2.小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论： ①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上； ②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2； ④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2； 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
D3.一如图，抛物线y=x2-3x+k+1与x轴相交于O，A两点．求k的值及点A的坐标。解：将O（0，0）代入y=x2-3x+k+1，得k+1=0．
∴k=-1．
∴y=x2-3x．
令y=0，得x2-3x=0．
∴x1=0，x2=3．∴A（3，0）谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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