人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.6 三角函数模型的简单应用
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.6 三角函数模型的简单应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 735.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:07:27 | ||
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文档简介
第一章 三角函数
1.6 三角函数模型的简单应用
知识
1．三角函数模型的简单应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用.
教材中的例3、例4对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程.
2．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.
这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.
3．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
重点
重点
函数解析式与图象的对应问题以及函数解析式的应用
难点
三角函数建模的应用
易错
不能正确理解各个参数的实际意义
1．函数解析式与图象的对应问题
（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.
【例1】函数的图象是
【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直接得到正确的选项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要.
【例2】函数y＝sin|x|的图象是
【答案】B
【解析】令f(x)＝sin|x|，x∈R，则f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；
又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；
当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B．
【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略
（1）解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
（2）利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ．
其中A由最值确定；
ω由周期确定，而周期由特殊点求得；
φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．
2．函数解析式的应用
（1）已知实际问题的函数解析式解决相关问题,题目一般很容易,只需将具体的值代入计算即可.?
（2）三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.
【例3】如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则该函数的表达式为________．
【答案】y＝10sin(x＋)＋20
【解析】由题意可知，函数的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.
又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.
又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.
3．三角函数在物理中的应用
【例4】弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.?
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次??
（4）每秒内小球能往返振动多少次?
【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系导致错解.
【例5】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin．
（1）作出函数的图象．
（2）当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（4）单摆来回摆动一次需多长时间？
【解析】（1）利用“五点法”可作出其图象．
（2）因为当t＝0时，s＝6sin＝3，
所以此时离开平衡位置3 cm．
（3）离开平衡位置6 cm．
（4）因为T＝＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s．
【名师点睛】三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
4．三角函数模型的应用
三角函数应用模型的三种模式：
一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；
二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；
三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
【例6】已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.
【例7】心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
（3）列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
（4）由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg．
【名师点睛】解三角函数应用问题的基本步骤：
基础训练
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元上下，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b（b>0，ω>0，|φ|<）的模型波动（x为月份），已知3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为
A．f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）
B．f（x）=9sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）
C．f（x）=2x+7（1≤x≤12，x∈N+）
D．f（x）=2sin（x+）+7（1≤x≤12，x∈N+）
2．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是
A． B．
C． D．
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为
A． B．
C．0.5 D．1
4．已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f()的值为
A．? B．
C．? D．
5．如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0,x∈[0,4])的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.求A,ω的值和M,P两点间的距离.
能力提升
6．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象如图所示,则当t=s时,电流强度是
A．?5 A B．5 A
C．5?A D．10 A
7．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+?）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为
A．（1≤x≤12，x∈N*）
B．（1≤x≤12，x∈N*）
C．（1≤x≤12，x∈N*）
D．（1≤x≤12，x∈N*）
8．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能接近表示表中数据间对应关系的函数是
A．
B．
C．
D．
9．设偶函数的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，，则的值为
A． B．
C． D．
10．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为
A．75米 B．85米
C．100米 D．110米
11．估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，以此类推，常数与某地所处的纬度有关.
（1）如在波士顿，，求在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（2）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
12．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数f(x)的解析式;
（2）求方程f(x)?lg x=0的解的个数.
13．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h．
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m?
真题练习
14．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）函数的部分图象大致为
15．（2019年浙江模拟）函数y=sin x2的图象是
A B
C D
参考答案
1
2
3
4
6
7
8
9
10
14
15
A
C
D
A
A
D
A
D
B
D
D
1．【答案】A
【解析】∵3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，解得．∵函数的周期T=2×（7–3）=8，∴，
∴f（x）=2sin（x+φ）+7，∵当x=3时，函数有最大值，∴，即，结合，取k=0，得，∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）．故选A．
2．【答案】C
【解析】本题主要考查函数的图象与性质.
由函数的部分图象可知,函数是偶函数,故排除B;
当时,,故排除D;
当x=1时,对于A选项,=,故排除A,
因此选C．
3．【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数模型的简单应用.
由题意可知，单摆来回摆动一次所需的时间为三角函数的周期，∵，∴．故选D.
5．【解析】设T为函数y=Asin ωx的周期,由题意得,A=2=3,
又T=,∴ω=.
∴y=2sinx.
当x=4时,y=2sin=3,
∴M(4,3).
又点P坐标为(8,0),
∴P,M两点间的距离|MP|==5(km).
【名师点睛】由最高点得到A值,结合函数图象可得周期T,进而求得ω,则M的坐标易得,利用两点间的距离公式可得M,P的距离.
6．【答案】A
【解析】由图象知A=10,?,∴T=,∴ω==100π,∴I=10sin(100πt+φ).又(,10)在图象上,∴100π×+φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<,∴φ=,∴I=10sin(100πt+),当t=s时,I=?5A,故选A．
7．【答案】D
【解析】∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，∴A=2，B=7，∵函数的周期T=2（7–3）=8，∴由T=，得ω=，∵当x=3时，函数有最大值，∴3ω+φ=+2kπ，即φ=–+2kπ，∵|φ|<，取k=0，得
φ=–，∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N*），故选D．
9．【答案】D
【解析】本题主要考查函数解析式的求法.
∵△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，，∴
由图知，∵，∴，
∵为偶函数，且，∴，
∴函数的解析式为，∴.
故本题选D．
10．【答案】B
【解析】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A>0，ω>0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110–50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又∵f（0）=110–100=10，即sinφ=–1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（7）=50sin（×7+）+60=85．故选B．
11．【解析】（1）当时，，
当白昼时间最长时，取得最大值，即，
此时，即6月20日(闰年除外) 白昼时间最长；
当，即时，取得最小值，也就是12月20日白昼最短.
（2）令，即，
此时，由于，所以在波士顿一年中有243天的白昼时间超过10.5小时.
【名师点睛】本题考查了三角函数的最值以及不等式的实际应用问题.在解三角不等式时一定注意变量的范围，可以借助于图象来解决.
12．【解析】（1）由题图,知A=2,
由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=,
又|φ|<,
所以φ=,
易知点(,0)是五点作图法中的第五点,
所以ω+=2π,
所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).
（2）在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图.
因为f(x)的最大值为2,
所以令lg x=2,得x=100,
令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).
而+31π>100,且+30π+<100,
所以在区间(0,100]内有31个形如[+kπ,+kπ](k∈Z,0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在[,100]上有2×31=62(个)交点.
另外,两函数的图象在(0,)上还有一个交点,
所以方程f(x)?lg x=0共有63个实数解.
13．【解析】（1）依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2．
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2．
（2）t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
（3）令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12．
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m．
15．【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.
【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：
（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；
（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.
1.6 三角函数模型的简单应用
知识
1．三角函数模型的简单应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用.
教材中的例3、例4对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程.
2．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.
这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.
3．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
重点
重点
函数解析式与图象的对应问题以及函数解析式的应用
难点
三角函数建模的应用
易错
不能正确理解各个参数的实际意义
1．函数解析式与图象的对应问题
（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.
【例1】函数的图象是
【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直接得到正确的选项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要.
【例2】函数y＝sin|x|的图象是
【答案】B
【解析】令f(x)＝sin|x|，x∈R，则f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；
又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；
当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B．
【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略
（1）解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
（2）利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ．
其中A由最值确定；
ω由周期确定，而周期由特殊点求得；
φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．
2．函数解析式的应用
（1）已知实际问题的函数解析式解决相关问题,题目一般很容易,只需将具体的值代入计算即可.?
（2）三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.
【例3】如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则该函数的表达式为________．
【答案】y＝10sin(x＋)＋20
【解析】由题意可知，函数的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.
又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.
又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.
3．三角函数在物理中的应用
【例4】弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.?
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次??
（4）每秒内小球能往返振动多少次?
【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系导致错解.
【例5】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin．
（1）作出函数的图象．
（2）当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（4）单摆来回摆动一次需多长时间？
【解析】（1）利用“五点法”可作出其图象．
（2）因为当t＝0时，s＝6sin＝3，
所以此时离开平衡位置3 cm．
（3）离开平衡位置6 cm．
（4）因为T＝＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s．
【名师点睛】三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
4．三角函数模型的应用
三角函数应用模型的三种模式：
一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；
二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；
三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
【例6】已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.
【例7】心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
（3）列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
（4）由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg．
【名师点睛】解三角函数应用问题的基本步骤：
基础训练
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元上下，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b（b>0，ω>0，|φ|<）的模型波动（x为月份），已知3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为
A．f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）
B．f（x）=9sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）
C．f（x）=2x+7（1≤x≤12，x∈N+）
D．f（x）=2sin（x+）+7（1≤x≤12，x∈N+）
2．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是
A． B．
C． D．
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为
A． B．
C．0.5 D．1
4．已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f()的值为
A．? B．
C．? D．
5．如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0,x∈[0,4])的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.求A,ω的值和M,P两点间的距离.
能力提升
6．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象如图所示,则当t=s时,电流强度是
A．?5 A B．5 A
C．5?A D．10 A
7．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+?）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为
A．（1≤x≤12，x∈N*）
B．（1≤x≤12，x∈N*）
C．（1≤x≤12，x∈N*）
D．（1≤x≤12，x∈N*）
8．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能接近表示表中数据间对应关系的函数是
A．
B．
C．
D．
9．设偶函数的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，，则的值为
A． B．
C． D．
10．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为
A．75米 B．85米
C．100米 D．110米
11．估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，以此类推，常数与某地所处的纬度有关.
（1）如在波士顿，，求在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（2）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
12．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数f(x)的解析式;
（2）求方程f(x)?lg x=0的解的个数.
13．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h．
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m?
真题练习
14．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）函数的部分图象大致为
15．（2019年浙江模拟）函数y=sin x2的图象是
A B
C D
参考答案
1
2
3
4
6
7
8
9
10
14
15
A
C
D
A
A
D
A
D
B
D
D
1．【答案】A
【解析】∵3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，解得．∵函数的周期T=2×（7–3）=8，∴，
∴f（x）=2sin（x+φ）+7，∵当x=3时，函数有最大值，∴，即，结合，取k=0，得，∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N+）．故选A．
2．【答案】C
【解析】本题主要考查函数的图象与性质.
由函数的部分图象可知,函数是偶函数,故排除B;
当时,,故排除D;
当x=1时,对于A选项,=,故排除A,
因此选C．
3．【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数模型的简单应用.
由题意可知，单摆来回摆动一次所需的时间为三角函数的周期，∵，∴．故选D.
5．【解析】设T为函数y=Asin ωx的周期,由题意得,A=2=3,
又T=,∴ω=.
∴y=2sinx.
当x=4时,y=2sin=3,
∴M(4,3).
又点P坐标为(8,0),
∴P,M两点间的距离|MP|==5(km).
【名师点睛】由最高点得到A值,结合函数图象可得周期T,进而求得ω,则M的坐标易得,利用两点间的距离公式可得M,P的距离.
6．【答案】A
【解析】由图象知A=10,?,∴T=,∴ω==100π,∴I=10sin(100πt+φ).又(,10)在图象上,∴100π×+φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<,∴φ=,∴I=10sin(100πt+),当t=s时,I=?5A,故选A．
7．【答案】D
【解析】∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，∴A=2，B=7，∵函数的周期T=2（7–3）=8，∴由T=，得ω=，∵当x=3时，函数有最大值，∴3ω+φ=+2kπ，即φ=–+2kπ，∵|φ|<，取k=0，得
φ=–，∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x–）+7（1≤x≤12，x∈N*），故选D．
9．【答案】D
【解析】本题主要考查函数解析式的求法.
∵△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，，∴
由图知，∵，∴，
∵为偶函数，且，∴，
∴函数的解析式为，∴.
故本题选D．
10．【答案】B
【解析】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A>0，ω>0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110–50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又∵f（0）=110–100=10，即sinφ=–1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（7）=50sin（×7+）+60=85．故选B．
11．【解析】（1）当时，，
当白昼时间最长时，取得最大值，即，
此时，即6月20日(闰年除外) 白昼时间最长；
当，即时，取得最小值，也就是12月20日白昼最短.
（2）令，即，
此时，由于，所以在波士顿一年中有243天的白昼时间超过10.5小时.
【名师点睛】本题考查了三角函数的最值以及不等式的实际应用问题.在解三角不等式时一定注意变量的范围，可以借助于图象来解决.
12．【解析】（1）由题图,知A=2,
由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=,
又|φ|<,
所以φ=,
易知点(,0)是五点作图法中的第五点,
所以ω+=2π,
所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).
（2）在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图.
因为f(x)的最大值为2,
所以令lg x=2,得x=100,
令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).
而+31π>100,且+30π+<100,
所以在区间(0,100]内有31个形如[+kπ,+kπ](k∈Z,0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在[,100]上有2×31=62(个)交点.
另外,两函数的图象在(0,)上还有一个交点,
所以方程f(x)?lg x=0共有63个实数解.
13．【解析】（1）依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2．
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2．
（2）t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
（3）令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12．
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m．
15．【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.
【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：
（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；
（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.