人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
知识
1．向量的概念
既有大小又有__________的量叫做向量．
只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．
数量可进行代数运算，向量不能比较大小．
大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征．
温馨提示：
（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度．记作__________．
（2）零向量：长度为0的向量．记作__________．的方向是__________．
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做__________．
2．向量的表示法
（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的__________，箭头所指的方向表示向量的__________．
（2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．
3．相等向量和共线向量
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做__________．若向量、相等，则记作．
（2）共线向量：方向__________的__________向量叫做平行向量，也叫__________．向量、平行，记作．规定：零向量与__________平行，即对任一向量，都有．
4．平面向量和空间向量
向量是既有大小又有方向的量，向量的引入实现了几何问题代数化．使得许多复杂问题得以迎刃而解，其实高中阶段，我们学习的向量主要有平面向量与空间向量，它们之间有着许多类似之处，现在我们已经学习了平面向量的有关知识，我们可以类比空间向量的有关知识．
类比点
平面向量
空间向量
定义
在平面中，既有大小又有方向的量
在空间中，具有大小和方向的量
几何表示法
用有向线段表示
用有向线段表示
字母表示法
用小写字母表示或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母来表示
相等向量
长度相等并且方向相同的平面向量
长度相等并且方向相同的空间向量
共线向量
方向相同或相反的非零平面向量
方向相同或相反的非零空间向量
空间向量往往是解立体几何的好工具，利用向量的加、减、乘可以表示很多几何意义，尤其是建立了空间坐标系之后，可以用向量求角度或证垂直等，而平面向量有时能单独出题，这相比较于空间向量，则很少单独考査．
知识参考答案：
1．方向 （1） （2），任意的 （3）单位向量
2．（1）大小 方向
3．（1）相等向量 （2）相同或相反 非零 共线向量 任一向量
重点
重点
1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．
2．会区分平行向量、相等向量和共线向量．
难点
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．
易错
会区分平行向量、相等向量和共线向量．
1．向量的有关概念
（1）向量的模
①用有向线段表示向量时，向量的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量的模，记作．
②的取值范围为[0，+）．
③向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“>”“<”连接，但向量的模是数量，可以比较大．
（2）零向量
零向量是从长度这个角度进行定义的，不涉及方向．因此，零向量的方向不确定．
（3）单位向量
模长为1的向量，叫单位向量，单位向量a仅具备|a|=1，方向由具体的向量确定．
【例1】下列说法正确的是
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个零向量方向相同
【答案】C
【解析】零向量的长度为0，方向不确定，故A，B，D错误．
【名师点睛】零向量是特殊向量，只是限制了向量的模为0，但方向不确定．
2．向量的表示法
（1）几何表示：向量一般用带箭头的有向线段表示，如图中的向量．
（2）字母表示：向量用起点和终点的字母表示时，起点在前终点在后，上方的箭头不能丢掉，如．
（3）向量与有向线段的区别和联系：
①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
【例2】已知圆心为O的上有三点A、B、C，则向量、、是
A．有相同起点的相等向量 B．长度为1的向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
【答案】C
【解析】圆的半径，不一定有r=1，故选C．
【名师点睛】用有向线段表示向量的步骤：
3．相等向量和共线向量
（1）共线向量（也称平行向量）
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．向量中的共线包含基线平行和重合两种情况．
（2）相等向量
①用有向线段表示向量时，向量与有向线段的起点位置没有关系，即同向且等长的有向线段都表示同一向量．因此，我们用有向线段表示向量时，可以根据题意选择合适的起点．
②用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定要注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相等，方向相反的两个向量．
③如图，虽然下列向量的起点与终点不同，但表示同一向量．由此可知，向量是可以自由平移的．
【例3】 下面命题说法正确的个数是
（1）向量、共线，向量、共线，则与也共线；
（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；
（3）向量与不共线，则与都是非零向量；
（4）有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【例4】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】C
【答案】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C．
【名师点睛】共线向量和相等向量的判断及应用
1．利用向量相等可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的直线无公共点．用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的直线无公共点．
2．三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简便得多用向量法证明三点共线的常用方法是：
（1）证明由三点中任意两点构造的两个不同向量平行；
（2）说明平行的两向量有公共点．
【例5】 如图，在平行四边形中，是两对角线、的交点，设点集，向量集合．试求集合中元素的个数．
【错解】由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，．
因此集合中共有20个元素．
【错解辨析】由于方向相同、长度相等的有向线段表示同一向量，应注意与，与，与，与，与，与，与，与在集合中分别只能算作一个元素．
【正解】由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即，，，，，，，，又因为集合中元素具有互异性，故集合中的元素共有12个．
【名师点睛】平曲向量的实际背景及概念是向量的基础内容，是高中数学从“数”到“形”的转折点，单独考査的情况并不多见，多与几何知识综合考査，难度不大，多以选择题或填空题出现，解决此类问题的关键是要把握住图形的特点，能用“数”解“形”，实现两者完美结合．
基础训练
1．下列命题正确的是
A．若a、b都是单位向量，则a=b
B．若，则A、B、C、D四点构成平行四边形
C．若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D．与是两平行向量
2．下列命题正确的是
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题正确的是
A．若a∥b，且b∥c，则a∥c
B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
C．向量的长度与向量的长度相等，且它们是始点、终点相反的向量
D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
5．下列说法正确的是
①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上；
②向量a与b平行，且|a|=|b|≠0，则a+b=0或a?b=0；
③向量长度与向量的长度相等；
④单位向量都相等．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
6．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是__________．
7．如图，是的边上的高，是边上的中线，问线段、是否可以表示向量．
8．如图，正方体的棱长为1，求向量的模、的模以及的模．
能力提升
9．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
10．下面有5个命题：
①单位向量的模都相等．
②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．
③若a与b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b．
④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．
⑤对任意非零向量a，b必有|a+b|≤|a|+|b|．
其中正确的命题序号是
A．①③⑤ B．④⑤ C．①④⑤ D．②④
11．下列命题正确的是
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．单位向量都相等
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．共线向量一定在同一直线上
12．下面命题说法正确的个数是
（1）向量、共线，向量、共线，则与也共线；
（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；
（3）向量与不共线，则与都是非零向量；
（4）有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．若，且，则四边形的形状为____________．
14．已知、、是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则____________．
15．已知在边长为2的菱形中，，则____________．
16．如图所示，已知，，，，，点是的对角线交点，且，，．
（1）写出图中与相等的向量；
（2）写出图中与相等的向量；
（3）写出图中与相等的向量．
17．如图，已知在四边形中，、分别是，的中点，又．求证：．
参考答案
1
2
3
4
5
9
10
11
12
D
B
C
C
D
C
C
C
A
1．【答案】D
【解析】A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B，A、B、C、D四点可能共线，故B不对；C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D，因和方向相反，是平行向量，故D对．故选D．
4．【答案】C
【解析】A，当时，由于0向量和任何向量都是共线向量，则a与c不一定是共线向量，故A不对；B，由相等向量知，起点相同则终点一定相同，故B不对；C，由相反向量的定义知，C对；D，因∥，则直线AB与直线CD平行或重合，故D不对．故选C．
5．【答案】D
【解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错，对于②，∵|a|=|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b的方向相同或相反，∵a+b=0或a?b=0；对于③，向量与向量方向相反，但长度相等；对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．故选D．
6．【答案】①②③⑤⑥
【解析】∵平行向量即为共线向量其定义是方向相同或相反；相等向量的定义是模相等、方向相同；平行于零向量的两个向量不一定是共线向量，故不正确的命题有：①②③⑤⑥．
7．【答案】不能表示向量．
【解析】辨别某个量是不是向量，就是要看这个量是否具有“大小”和“方向”两个要素．具有这两个要素的量是向量，否则，这个量不是向量．
8．【答案】，，
【解析】∵正方体的棱长为1，
∴，
，
．
11．【答案】C
【解析】在A中，当b=0时，a与c不一定共线，故A错误；在B中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B错误；在C中，由零向量与任意向量都共线，得到向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故C正确；在D中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故D错误．故选C．
12．【答案】A
【解析】对于（1），由于零向量与任意向量共线，因此（1）不正确；对于（2），若能注意到向量都是自由向量，则两个相等向量可以在同一直线上，故（2）不正确；对于（4），向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故（4）不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，否则，不妨设为零向量，则，与、不共线矛盾，从而（3）正确．
13．【答案】梯形
【解析】由题意知四边形的一组对边，，故四边形为梯形．
14．【答案】
【解析】∵、、不共线，∴与不共线，又∵与、都共线，∴．
15．【答案】
【解析】易知，且，设与交于点，则．在中，易得，∴．
17．【答案】证明详见解析．
【解析】∵，∴且．
∴四边形. 为平行四边形．从而，又、分别是、的中点，于是，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．∴．