人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2.1、2.2.2 向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2.1、2.2.2 向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 777.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:11:52 | ||
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文档简介
第二章 平面向量
2.2.1、2.2.2 向量加法运算及其几何意义、
向量减法运算及其几何意义
知识
1．向量的加法
（1）向量的加法
求两个向量和的运算，叫做__________．
（2）向量加法的三角形法则
如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的__________．
温馨提示：当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形．
（3）向量加法的平行四边形法则
如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的__________．
温馨提示：若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的__________指向末向量的__________的向量就是它们的和，即，如图．
（4）和向量的模与原向量之间的关系
一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
（5）向量加法的运算律
交换律：；
结合律：．
注意：
①当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；
②当、共线时，交换律和结合律也成立．
（6）向量求和的多边形法则
由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量，，，，在平面上任选一点，作，，，，则．
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
（7）向量加法的实际应用
向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用．
2．向量的减法
（1）相反向量
我们把与向量长度__________、方向__________的向量，叫做的相反向量，记作．
规定零向量的相反向量仍为__________，且①；②；
若，互为相反向量，则，，．
（2）向量减法的定义
向量加上向量的__________，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
3．向量减法的几何意义
（1）非零共线向量，的差；
①若，反向，则与同向，且．
②若，同向，
（ⅰ）若，则与同向，且；
（ⅱ）若，则与反向，且；
（ⅲ）若，则．
其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）．
（2）非零不共线向量，的差：
①如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
②如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则
从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则．
减法的三角形法则的作法：在平面内取一点，作，，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（，不共线）和图（2）、（3）（，共线）所示．
减法的平行四边形法则的作法：
当，不共线时．如图（1），在平面内任取一点，作，，则由向量加法的平行四边形法则可得，这是向量减法的平行四边形法则．
若，同向共线，如图（2）所示；
若，异向共线．如图（3）所示．
5．向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“－”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．
解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
知识参考答案：
1．（1）向量的加法 （2）三角形法则 （3）平行四边形法则 起点 终点
2．（1）相等 相反 零向量 （2）相反向量
重点
重点
1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和．
2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
3．掌握向量减法的概念．
4．掌握相反向量．
难点
2．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的．
2．掌握向量加、减法的几何意义．
易错
向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．
1．向量加法运算及其几何意义
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义．
【例1】如图，在矩形ABCD中，=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在矩形ABCD中，，则++，故选B．
【名师点睛】
（1）向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．
（2）|a+b|≤|a|+|b|．
2．向量加法的运算律
（1）向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律．
（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行．例如，
（a+b）+（c+d）=（b+d）+（a+c），a+b+c+d+e=[d+（a+c）]+（b+e）．
【例2】向量化简后等于
A． B． C． D．
3．向量的減法运算及其几何意义
（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．
（2）以向量AB=a，A6=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC=a+b，BD=b–a，DB=a–b，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解．
【例3】在△ABC中，，，则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】=–=，故选B．
【例4】已知，则的取值范围是__________．
【答案】[3，13]
【解析】∵，∴=||，∴≤≤，即3≤≤13．故答案为：[3，13]．
【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或的差模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键．
|a–b|、|a|–|b|、|a|+|b|三者的大小关系
（1）当向量a与b共线时，
当两非零向量a与b同向时，|a–b|=|a|–|b|<|a|+|b|；
当两非零向量a与b反向时，|a–b|=|a|+|b|>|a|–|b|；
当a与b中至少有一个为零向量时，|a–b|=|a|–|b|=|a|+|b|．
（2）当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC=a，
AB=b，则BC=AC–AB=a–b，根据三角形中任意两边之差总小于
第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|–|b||<|a–b|<|a|+|b|．
综合可知，对任意的向量a与b都有||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|．
只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时||a|–|b||≤|a–b|中的等号成立；
当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时|a–b|≤|a|+|b|中的等号成立．
4．向量加、减法的综合应用
向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化．
【例5】在平行四边形ABCD中，等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴
+，故选A．
【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题．
基础训练
1．在ABCD中，等于
A． B．
C． D．
2．E，F分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，则+=
A． B．
C． D．
3．=
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若，b，则=
A．a B．a+b C． D．
5．在平行四边形ABCD中，=
A．0 B．0 C．2 D．2
6．在平行四边形ABCD中，++=
A． B． C． D．
7．下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
8．化简=
A． B． C． D．0
9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．+++=0 B．++=0
C．+++=0 D．++=0
10．化简：（+）+（）=__________．
11．++__________．
12．（）+（）=__________．
13．++__________．
14．向量加法的交换律__________；向量加法的结合律为__________．
15．在平行四边形ABCD中，化简__________．
16．不共线的向量a、b满足__________时，使得a+b平分a，b间的夹角．
能力提升
17．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量共线的有
①（+）+；②（+）+；③（+）+；④（+）+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
A． B．+
C．+ D．+
19．如图，点M是△ABC的重心，则为
A．0 B．4 C．4 D．4
20．设a，b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是
A．|a+b|≤|a|+|b| B．|a|–|b|≤|a+b| C．|a|–|b|≤|a|+|b| D．|a|≤|a+b|
21．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则
A．s>|a| B．s<|a| C．s=|a| D．s与|a|不能比大小
22．如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则+=
A．0 B． C． D．
23．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
24．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是
A．++ B．++
C．++ D．++
25．设P是△ABC所在平面内的一点，，则
A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确
26．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
27．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为__________ m/s．
28．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成______°角的方向行驶．
29．已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则|+|=__________．
30．给出下面四个结论：
①若线段AC=AB+BC，则向量+；
②若向量+，则线段AC=AB+BC；
③若向量与共线，则线段AC=AB+BC；
④若向量与反向共线，则||=AB+BC．
其中正确的结论有__________．
31．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．
32．某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳．
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
33．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：
方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；
方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．
若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．
真题练习
34．（2019?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B．2 C．3 D．4
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
17
A
B
B
D
B
D
D
D
B
D
18
19
20
21
22
23
24
25
26
34
C
C
D
A
A
D
B
A
B
D
1．【答案】A
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴
+，故选A．
3．【答案】B
【解析】++，故选B．
4．【答案】D
【解析】，故选D．
5．【答案】B
【解析】+，故选B．
6．【答案】D
【解析】画出图形，如图所示．++=（+）+=+=+=．故选D．
7．【答案】D
【解析】A，，不正确；B，，因此不正确；C，+，不正确；D，，正确．故选D．
8．【答案】D
【解析】=（+）–（+）=0，故选D．
9．【答案】B
【解析】画出图形，如图所示，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴，，
对于A，+++=++=++=；
对于B，++++（）=+==0；
对于C，+++=+++=+=2；
对于D，++=++=++=．故选B．
10．【答案】0
【解析】∵+，，∴（+）+（）=+0，故答案为：0．
11．【答案】
【解析】++．故答案为：．
12．【答案】
【解析】（）+====．故答案为：．
15．【答案】
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴+，故答案为：．
16．【答案】|a|=|b|
【解析】作，，以OA和OB为邻边作平行四边形OABC，由图和向量加法的四边形法则得：+b，∴当|a|=|b|时，满足条件．故答案为：|a|=|b|．
17．【答案】D
【解析】由向量的运算可得
①（+）+，与向量的共线；
②（+）+，与向量的共线；
③（+）+，与向量的共线；
④（+）+，与向量的共线．故选D．
18．【答案】C
【解析】由平行四边形的性质，可得，选项A正确；由向量加法的平行四边形法则，可得，选项B正确；∵，∴选项D正确；∵，∴选项C错误．故选C．
19．【答案】C
【解析】设AB的中点为F，∵点M是△ABC的重心，∴．故选C．
20．【答案】D
【解析】由向量模的不等关系可得：|a|–|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；|a+b|≤|a|+|b|故A恒成立；|a|–|b|≤|a+b|故B恒成立；|a|–|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，故C恒成立．令a=（2，0），b=（–2，0），则|a|=2，|a+b|=0，则D不成立．故选D．
21．【答案】A
【解析】由三角形ABC中，两边之和大于第三边，s=，得．故选A．
22．【答案】A
【解析】∵D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，故四边形ADEF为平行四边形，且EF=BE，故+===0，故选A．
23．【答案】D
【解析】△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，∴（+）=+，∴A错误；+=2，∴B错误；+++，∴C错误；，∴D正确．故选D．
24．【答案】B
【解析】∵，，∴，∴．故选B．
25．【答案】A
【解析】如图，取AC中点D，则；∴；∴D和P重合；∴P，A，C三点共线．故选A．
26．【答案】B
【解析】∵，∴，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比=，故选B．
29．【答案】2
【解析】在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，∵|+|2=||2+||2+2||?||cos∠DAB=
4+4+2×2×2×=12，∴|+|=|+|=2，故答案为：2．
30．【答案】①④
【解析】①若线段AC=AB+BC，可得三点A，B，C共线，则向量+，正确；②若向量+，则可能线段AC=BC–AC，因此不正确；③若向量与共线，则可能线段AC=BC–AB；④若向量与反向共线，则||=AB+BC，正确．其中正确的结论有①④．故答案为：①④．
31．【解析】如图，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴+0，+0，
又∵+++0，
∴++，①
同理++，②
由①+②得，2++++++．
∴．
32．【答案】（1）他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h；
（2）他必须沿与水流方向成90°+θ（锐角θ满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）．
【解析】（1）如图①，由于V实=V水+V人，
∴|V实|=（km/h），
又tanθ=，
∴θ=60°，
∴他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h．
（2）如图②，解直角三角形可得|v实|=（km/h），
又tanθ=，
∴他必须沿与水流方向成90°+θ（锐角θ满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）．
33．【答案】应选择方案一，理由详见解析．
【解析】如图，过A作AD垂直BC交于D，
根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，
设CD为x公里，则有AD=，
由于tan15°=tan（45°–30°）
=，
故AD==（2）x，
∵BC=10公里，∠BAD=45°，
∴BD=AD，
即（2）x=x+10，
解得x=CD=，
从而AD=（2）×（）=5+，
AC==10≈14.14，
AB=（5+）=≈19.32，
下面分别计算两种方案所要花费的时间：
方案一：≈≈0.4023（时）；
方案二：≈0.4293（时）；
显然选择方案一．
34．【答案】D
【解析】法一：考虑用特殊值法去做．∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，
∴=2=4，故选D．
法二：由平行四边形的性质可得：点M是对角线的中点，∴=2，=2，
∴=4，故选D．
法三：由已知得：点M是对角线的中点，∴=，
=，=，=，
∴=4=4，故选D．
2.2.1、2.2.2 向量加法运算及其几何意义、
向量减法运算及其几何意义
知识
1．向量的加法
（1）向量的加法
求两个向量和的运算，叫做__________．
（2）向量加法的三角形法则
如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的__________．
温馨提示：当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形．
（3）向量加法的平行四边形法则
如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的__________．
温馨提示：若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的__________指向末向量的__________的向量就是它们的和，即，如图．
（4）和向量的模与原向量之间的关系
一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
（5）向量加法的运算律
交换律：；
结合律：．
注意：
①当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；
②当、共线时，交换律和结合律也成立．
（6）向量求和的多边形法则
由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量，，，，在平面上任选一点，作，，，，则．
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
（7）向量加法的实际应用
向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用．
2．向量的减法
（1）相反向量
我们把与向量长度__________、方向__________的向量，叫做的相反向量，记作．
规定零向量的相反向量仍为__________，且①；②；
若，互为相反向量，则，，．
（2）向量减法的定义
向量加上向量的__________，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
3．向量减法的几何意义
（1）非零共线向量，的差；
①若，反向，则与同向，且．
②若，同向，
（ⅰ）若，则与同向，且；
（ⅱ）若，则与反向，且；
（ⅲ）若，则．
其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）．
（2）非零不共线向量，的差：
①如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
②如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则
从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则．
减法的三角形法则的作法：在平面内取一点，作，，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（，不共线）和图（2）、（3）（，共线）所示．
减法的平行四边形法则的作法：
当，不共线时．如图（1），在平面内任取一点，作，，则由向量加法的平行四边形法则可得，这是向量减法的平行四边形法则．
若，同向共线，如图（2）所示；
若，异向共线．如图（3）所示．
5．向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“－”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．
解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
知识参考答案：
1．（1）向量的加法 （2）三角形法则 （3）平行四边形法则 起点 终点
2．（1）相等 相反 零向量 （2）相反向量
重点
重点
1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和．
2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
3．掌握向量减法的概念．
4．掌握相反向量．
难点
2．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的．
2．掌握向量加、减法的几何意义．
易错
向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．
1．向量加法运算及其几何意义
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义．
【例1】如图，在矩形ABCD中，=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在矩形ABCD中，，则++，故选B．
【名师点睛】
（1）向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．
（2）|a+b|≤|a|+|b|．
2．向量加法的运算律
（1）向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律．
（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行．例如，
（a+b）+（c+d）=（b+d）+（a+c），a+b+c+d+e=[d+（a+c）]+（b+e）．
【例2】向量化简后等于
A． B． C． D．
3．向量的減法运算及其几何意义
（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．
（2）以向量AB=a，A6=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC=a+b，BD=b–a，DB=a–b，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解．
【例3】在△ABC中，，，则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】=–=，故选B．
【例4】已知，则的取值范围是__________．
【答案】[3，13]
【解析】∵，∴=||，∴≤≤，即3≤≤13．故答案为：[3，13]．
【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或的差模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键．
|a–b|、|a|–|b|、|a|+|b|三者的大小关系
（1）当向量a与b共线时，
当两非零向量a与b同向时，|a–b|=|a|–|b|<|a|+|b|；
当两非零向量a与b反向时，|a–b|=|a|+|b|>|a|–|b|；
当a与b中至少有一个为零向量时，|a–b|=|a|–|b|=|a|+|b|．
（2）当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC=a，
AB=b，则BC=AC–AB=a–b，根据三角形中任意两边之差总小于
第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|–|b||<|a–b|<|a|+|b|．
综合可知，对任意的向量a与b都有||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|．
只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时||a|–|b||≤|a–b|中的等号成立；
当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时|a–b|≤|a|+|b|中的等号成立．
4．向量加、减法的综合应用
向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化．
【例5】在平行四边形ABCD中，等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴
+，故选A．
【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题．
基础训练
1．在ABCD中，等于
A． B．
C． D．
2．E，F分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，则+=
A． B．
C． D．
3．=
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若，b，则=
A．a B．a+b C． D．
5．在平行四边形ABCD中，=
A．0 B．0 C．2 D．2
6．在平行四边形ABCD中，++=
A． B． C． D．
7．下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
8．化简=
A． B． C． D．0
9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是
A．+++=0 B．++=0
C．+++=0 D．++=0
10．化简：（+）+（）=__________．
11．++__________．
12．（）+（）=__________．
13．++__________．
14．向量加法的交换律__________；向量加法的结合律为__________．
15．在平行四边形ABCD中，化简__________．
16．不共线的向量a、b满足__________时，使得a+b平分a，b间的夹角．
能力提升
17．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量共线的有
①（+）+；②（+）+；③（+）+；④（+）+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
A． B．+
C．+ D．+
19．如图，点M是△ABC的重心，则为
A．0 B．4 C．4 D．4
20．设a，b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是
A．|a+b|≤|a|+|b| B．|a|–|b|≤|a+b| C．|a|–|b|≤|a|+|b| D．|a|≤|a+b|
21．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则
A．s>|a| B．s<|a| C．s=|a| D．s与|a|不能比大小
22．如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则+=
A．0 B． C． D．
23．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
24．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是
A．++ B．++
C．++ D．++
25．设P是△ABC所在平面内的一点，，则
A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确
26．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
27．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为__________ m/s．
28．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成______°角的方向行驶．
29．已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则|+|=__________．
30．给出下面四个结论：
①若线段AC=AB+BC，则向量+；
②若向量+，则线段AC=AB+BC；
③若向量与共线，则线段AC=AB+BC；
④若向量与反向共线，则||=AB+BC．
其中正确的结论有__________．
31．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．
32．某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳．
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
33．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：
方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；
方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．
若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．
真题练习
34．（2019?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B．2 C．3 D．4
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
17
A
B
B
D
B
D
D
D
B
D
18
19
20
21
22
23
24
25
26
34
C
C
D
A
A
D
B
A
B
D
1．【答案】A
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴
+，故选A．
3．【答案】B
【解析】++，故选B．
4．【答案】D
【解析】，故选D．
5．【答案】B
【解析】+，故选B．
6．【答案】D
【解析】画出图形，如图所示．++=（+）+=+=+=．故选D．
7．【答案】D
【解析】A，，不正确；B，，因此不正确；C，+，不正确；D，，正确．故选D．
8．【答案】D
【解析】=（+）–（+）=0，故选D．
9．【答案】B
【解析】画出图形，如图所示，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴，，
对于A，+++=++=++=；
对于B，++++（）=+==0；
对于C，+++=+++=+=2；
对于D，++=++=++=．故选B．
10．【答案】0
【解析】∵+，，∴（+）+（）=+0，故答案为：0．
11．【答案】
【解析】++．故答案为：．
12．【答案】
【解析】（）+====．故答案为：．
15．【答案】
【解析】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴，∴+，故答案为：．
16．【答案】|a|=|b|
【解析】作，，以OA和OB为邻边作平行四边形OABC，由图和向量加法的四边形法则得：+b，∴当|a|=|b|时，满足条件．故答案为：|a|=|b|．
17．【答案】D
【解析】由向量的运算可得
①（+）+，与向量的共线；
②（+）+，与向量的共线；
③（+）+，与向量的共线；
④（+）+，与向量的共线．故选D．
18．【答案】C
【解析】由平行四边形的性质，可得，选项A正确；由向量加法的平行四边形法则，可得，选项B正确；∵，∴选项D正确；∵，∴选项C错误．故选C．
19．【答案】C
【解析】设AB的中点为F，∵点M是△ABC的重心，∴．故选C．
20．【答案】D
【解析】由向量模的不等关系可得：|a|–|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；|a+b|≤|a|+|b|故A恒成立；|a|–|b|≤|a+b|故B恒成立；|a|–|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，故C恒成立．令a=（2，0），b=（–2，0），则|a|=2，|a+b|=0，则D不成立．故选D．
21．【答案】A
【解析】由三角形ABC中，两边之和大于第三边，s=，得．故选A．
22．【答案】A
【解析】∵D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，故四边形ADEF为平行四边形，且EF=BE，故+===0，故选A．
23．【答案】D
【解析】△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，∴（+）=+，∴A错误；+=2，∴B错误；+++，∴C错误；，∴D正确．故选D．
24．【答案】B
【解析】∵，，∴，∴．故选B．
25．【答案】A
【解析】如图，取AC中点D，则；∴；∴D和P重合；∴P，A，C三点共线．故选A．
26．【答案】B
【解析】∵，∴，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比=，故选B．
29．【答案】2
【解析】在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，∵|+|2=||2+||2+2||?||cos∠DAB=
4+4+2×2×2×=12，∴|+|=|+|=2，故答案为：2．
30．【答案】①④
【解析】①若线段AC=AB+BC，可得三点A，B，C共线，则向量+，正确；②若向量+，则可能线段AC=BC–AC，因此不正确；③若向量与共线，则可能线段AC=BC–AB；④若向量与反向共线，则||=AB+BC，正确．其中正确的结论有①④．故答案为：①④．
31．【解析】如图，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴+0，+0，
又∵+++0，
∴++，①
同理++，②
由①+②得，2++++++．
∴．
32．【答案】（1）他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h；
（2）他必须沿与水流方向成90°+θ（锐角θ满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）．
【解析】（1）如图①，由于V实=V水+V人，
∴|V实|=（km/h），
又tanθ=，
∴θ=60°，
∴他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h．
（2）如图②，解直角三角形可得|v实|=（km/h），
又tanθ=，
∴他必须沿与水流方向成90°+θ（锐角θ满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）．
33．【答案】应选择方案一，理由详见解析．
【解析】如图，过A作AD垂直BC交于D，
根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，
设CD为x公里，则有AD=，
由于tan15°=tan（45°–30°）
=，
故AD==（2）x，
∵BC=10公里，∠BAD=45°，
∴BD=AD，
即（2）x=x+10，
解得x=CD=，
从而AD=（2）×（）=5+，
AC==10≈14.14，
AB=（5+）=≈19.32，
下面分别计算两种方案所要花费的时间：
方案一：≈≈0.4023（时）；
方案二：≈0.4293（时）；
显然选择方案一．
34．【答案】D
【解析】法一：考虑用特殊值法去做．∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，
∴=2=4，故选D．
法二：由平行四边形的性质可得：点M是对角线的中点，∴=2，=2，
∴=4，故选D．
法三：由已知得：点M是对角线的中点，∴=，
=，=，=，
∴=4=4，故选D．