人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

第二章 平面向量
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识
1．向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做___________，记作___________．它的长度和方向规定如下：
（1）；
（2）时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，．
温馨提示：（1）对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
（2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
2．向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
①结合律：___________；
②第一分配律：___________；
③第二分配律：___________．
3．向量共线定理
（1）内容：
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使___________．
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．
特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
知识参考答案：
1．向量的数乘
2．①；②；③．
3．
重点
重点
1．掌握向量数乘的定义．
2．了解向量数乘的运算律．
3．理解向量数乘的几何意义．
难点
掌握向量共线定理．
易错
能熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用．
1．“姐妹式”巧解向量问题
我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的起点）（如下例1中的图）．解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段（直线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比．两次应用上述结论得到一对“姐妹式”，“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设而不求整体消元，则问题可迎刃而解．
【例1】如图，在△AOB的边，上分别有，，已知，，连接，，设它们交点为，若，，试用，表示．
【答案】
【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明等问题时有着广泛的应用．
2．用向量证明三线共点与三点共线问题
实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算律时，应联想数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向量，化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项．
【例2】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线．
【答案】证明详见解析．
【解析】设，，
∴，
=3，
∴，
又，有公共点M，
∴M，N，C三点共线．
【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法．用解释；用解释或与共线．证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等．把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题．
基础训练
1．已知在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量=
A．+ B．–
C．–+ D．
2．已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则=
A．+ B．+
C．+ D．+
3．在△ABC中，若点D满足，则=
A． B．
C． D．
4．已知向量a，b，那么等于
A． B．a–4b
C．a D．b
5．已知M为△ABC的边AB的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，若，则λ的值为
A．2 B．1
C． D．4
6．在梯形ABCD中，=3，则等于
A．–+ B．–+
C．–+ D．–
7．设D为△ABC所在平面内一点，=4，则
A．=–+ B．=–+
C．+ D．
8．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于
A． B．
C． D．
9．如图，已知△ABC，=3，，，则=
A．+ B．+
C．+ D．+
10．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=___________．
11．已知，若=λ，则λ等于___________．
能力提升
12．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5+3，则△ABM与△ABC的面积比为
A． B．
C． D．
13．△ABC中，，，若，则m+n=
A． B．
C． D．1
14．在△ABC中，O为其内部一点，且满足0，则△AOB和△AOC的面积比是
A．3∶4 B．3∶2
C．1∶1 D．1∶3
15．在梯形ABCD中，，则等于
A． B．
C． D．
16．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=
A． B．
C． D．
17．在△ABC中，，AB=4，AD=AC=3，则BC=__________．
18．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．
（1）若点O满足，求证：；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．
19．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，．
（1）用a，b表示；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用a，b表示．
真题练习
20．（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A． B．
C．+ D．+
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
13
14
15
16
20
C
C
D
C
A
A
B
A
C
C
B
D
D
B
A
1．【答案】C
【解析】如图所示，∵点E为CD的中点，CD∥AB，∴=2，∴，，∴=–+，故选C．
4．【答案】C
【解析】=．故选C．
5．【答案】A
【解析】由题意满足，可得四边形PACB是平行四边形，又M为△ABC的边AB的中点，∴PC=2PM，，∴λ=2．故选A．
6．【答案】A
【解析】∵在梯形ABCD中，=3，∴+，故选A．
7．【答案】B
【解析】++++=–+．故选B．
8．【答案】A
【解析】∵D是△ABC的边AB的中点，∴（+）．∵，∴（
）=–+．故选A．
9．【答案】C
【解析】．故选C．
10．【答案】
【解析】如图所示，点P在线段AB上，且，∴；又，∴λ=．故答案为：．
11．【答案】
【解析】作线段P1P，延长P1P至P2，如图，假设PP2=3，∵，∴P1P=2．∴=–．故答案为：–．
12．【答案】C
【解析】因为D是AB中点，所以，
设h1，h2分别是三角形ABM，三角形的ABC的AB边上的高，且在三角形ADM中，
可得++①，
又在三角形ABC中，+②，
且由已知条件5+3③，
把①②代入③得：+5=+3（+），
整理可得：10=3+6=3+3④，
因为D是三角形ABC边AB的中点，所以（+），即+=2⑤，
把⑤代入④可得10=6，则得，
所以=||=．故选C．
13．【答案】B
【解析】∵，，∴，?，
∵，∴，∴，∴．∴．故选B．
14．【答案】D
【解析】根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=–3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得，，S△AOB+S△BOC=S△ABC，又由S△AOB=S△BOC，则S△AOB=S△ABC，则．故选D．
15．【答案】D
【解析】∵，∴AB=3CD，过D作DE∥BC交AB于E，则AE=AB，
∴=–．故选D．
17．【答案】
【解析】由，得D是BC的三等分点，设BD=x，则DC=2x，在△ADC中，由余弦定理可得cosC=，在△ABC中，由余弦定理可得cosC=，∴，解得x=，∴BC=3x=，故答案为：．
18．【答案】（1）证明详见解析；（2）12．
【解析】（1）∵D为BC边中点，
∴．
∴由得，，
∴．
（2）如图，根据条件，得：
==0，
∴，∴DE=3DO，
又AB=2DE，
∴AB=6DO，
∴S△ABC=6S△BOC=12，
即△ABC的面积为12．
19．【答案】答案详见解析．
20．【答案】A
【解析】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，=×（+）=，故选A．