人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 498.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:10:59 | ||
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文档简介
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
知识
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，__________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__________．
（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；
（3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．
2．两个向量的夹角
（1）向量夹角的几何表示
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a，b，作=a，=b，则__________为a与b的夹角．
（2）夹角范围
①向量的夹角是针对非零向量定义的；
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是__________和；
③当两向量方向相同时，夹角为__________，当方向相反时，夹角为__________．
3．平面向量运算的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
（2）向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．这两个互相垂直的向量称为__________．
4．平面向量运算的坐标运算
运算
坐标表示
和（差）
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．
数乘
已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
（1）相等的向量坐标相同；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关．
5．平面向量共线的坐标表示
（1）如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为__________．
a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0．
运用两向量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行；
（2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解；
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为
（x2–x1）（y3–y1）–（x3–x1）（y2–y1）=0，
或（x2–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y2–y1），
或（x3–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y3–y1）．
利用向量解决三点共线问题的思路：
先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
6．利用坐标解决几何问题
（1）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
（3）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相同．
（4）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（5）图形中的几何关系要转化为代数的坐标运算．
知识参考答案：
1．不共线 基底 2．（1）∠AOB （2）②[0，π] ③0 π
3．（2）正交分解 正交基底 5．x1y2–x2y1=0
重点
重点
1．了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量的基本定理．
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．
3．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算．
难点
掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标来进行向量的运算奠定基础．
易错
了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）基底的理解：
①平面内的任何两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底；
②基底一旦确定，平面内任一向量用该基底表示的形式是唯一的．
（2）平面向量基本定理的作用：
由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，平面内的任一向量都可用这一组基底表示出来．但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底．
【例1】设D为△ABC所在平面内一点，=3，则
A．=–+ B．=–
C．=+ D．=–
【名师点睛】利用平面向量基本定理解题的策略：
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
2．平面向量运算的坐标运算
（1）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算（直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数分别乘向量相应坐标的积）；
（2）在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；
（3）求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）；λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
【例2】已知A（1，4），B（–3，2），向量=（2，4），D为AC的中点，则=
A．（1，3） B．（3，3） C．（–3，–3） D．（–1，–3）
【答案】B
【解析】（1）设C（x，y），则=（x+3，y–2）=（2，4），所以解得即C（–1，6）．
由D为AC的中点可得点D的坐标为（0，5），所以=（0+3，5–2）=（3，3）．
【例3】已知平面向量a=（1，1），b=（1，–1），则向量a–b=
A．（–2，–1） B．（–2，1）
C．（–1，0） D．（–1，2）
【答案】D
【解析】a=（，），b=（，–），故a–b=（–1，2）．
【名师点睛】
（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
3．向量坐标运算的应用
（1）已知两向量共线，求点或向量的坐标；
（2）证明或判定三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
【例4】已知a=（1，1），b=（x，1），n=a+2b，v=2a–b．
（1）若n=3v，求x；
（2）若n∥v，并说明此时两向量方向相同还是相反．
【答案】（1）x=1．（2）方向相同．
【解析】∵a=（1，1），b=（x，1），
∴n=a+2b=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3），
v=2a–b=（2，2）–（x，1）=（2–x，1）．
（1）∵n=3v，
∴（2x+1，3）=3（2–x，1），
解得x=1．
（2）∵n∥v，∴2x+1=3（2–x），∴x=1．
此时，n=（3，3），v=（1，1），
∵n=3v，∴n与v方向相同．
【名师点睛】平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题解决，这是数形结合思想的重要体现利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键．
基础训练
1．已知（3，6），点B的坐标为（2，3），则点A的坐标为
A．（–1，–3） B．（–3，–1）
C．（1，3） D．（5，9）
2．已知向量a=（sinα，cosα），b=（cosβ，sinβ），且a∥b，则α+β等于
A．0° B．90°
C．135° D．180°
3．若=（2，3），=（–4，–5），则=
A．（2，2） B．（–2，–2）
C．（–4，–6） D．（4，6）
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点．若，，则
A． B．
C． D．
5．已知点D是△ABC所在平面内的一点，且，设，则λ–μ=
A．–6 B．6
C．–3 D．3
6．在△ABC中，D是AB边上一点，若=3，，则的值为
A． B．
C．2 D．3
7．已知向量a=（–3，4），则下列能使成立的一组向量，是
A．（0，0），（–1，2） B．（–1，3），（2，–6）
C．（–1，2），（3，–1） D．（–，1），（1，–2）
8．已知向量，，则=
A．10 B．
C． D．2
9．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量a=（–1，–1）平移后得到为
A．（1，2） B．（2，3）
C．（3，4） D．（4，7）
10．已知向量a=（4，–1），b=（2，m），且a∥（a+b），则m=
A． B．
C．2 D．–2
11．点E在平行四边形ABCD的边CD上，且CE=2DE，若，则λ+μ=__________．
12．设、是两个不共线向量，+λ（λ∈R），a=2，若a、b共线，则λ=__________．
13．已知a=（3，–1），b=（1，2），，则c的坐标是__________．
14．若=（4，8），=（–7，–2），则__________．
15．已知A（4，1），B（1，–），C（x，–），若A、B、C共线，求x．
16．已知三点A（1，–1），B（4，2m），C（2m，0）共线，求m的值．
17．已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标．
（1）a=（–2，1），A（0，0）；
（2）a=（1，3），A（–1，5）；
（3）a=（–2，–5），A（3，7）．
18．已知+2，=3–2，求a+b，与3a–2b．
能力提升
19．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=
A． B．2
C． D．
20．已知△ABC，=2，若+，则λ=
A．1 B．2
C．3 D．4
21．设向量a=（x，–4），b=（1，–x），若向量a与b同向，则x=
A．–2 B．2
C．±2 D．0
22．已知a=（1，2），b=（x，1），若a与共线，则实数x=__________．
23．在△ABC中，=4，E是AB的中点，记，，若=λ1a+λ2b，则λ1+λ2=__________．
24．在△OAB中，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，若（m，n∈R），则n–m=__________．
25．已知M是△ABC的边BC上的中点，若，，则=__________．
26．如图，在△OAB中，A是边BC的中点，，DC和OA交于点E，设，．
（1）用a和b表示向量，；
（2）若，求实数λ的值．
27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
28．已知e1=（1，2），e2=（–2，3），a=（–1，2），试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1+λ2e2的形式．
29．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，．
真题练习
30．（2018?新课标Ⅲ）已知向量a=（1，2），b=（2，–2），c=（1，λ）．若c∥（2a+b），则λ=__________．
31．（2019?山东）已知向量a=（2，6），b=（–1，λ），若a∥b，则λ=__________．
32．（2019?新课标Ⅱ）已知向量a=（m，4），b=（3，–2），且a∥b，则m=__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19
20
21
A
B
B
C
C
A
C
C
B
B
D
C
B
3．【答案】B
【解析】∵=（2，3），=（–4，–5），∴+=（2–4，3–5）=（–2，–2）．故选B．
4．【答案】C
【解析】如图所示：∵，，∴++，∴+=+，故选C．
5．【答案】C
【解析】∵，∴C是BD的中点，∴=
–+2．∴λ=–1，μ=2，∴λ–μ=–3．故选C．
6．【答案】A
【解析】∵=3，∴，+++，又，∴，故选A．
7．【答案】C
【解析】作为基底不共线即可，（0，0），（–1，2）共线；（–1，3），（2，–6）共线；（–1，2），（3，–1）不共线；（–，1），（1，–2）共线．故选C．
8．【答案】C
【解析】，∴=2（2，2）–（5，3）=（–1，1），∴．故选C．
11．【答案】
【解析】如图，∵CE=2DE，∴，∴++，∴λ=–，μ=1，∴，故答案为：．
12．【答案】–
【解析】由向量共线定理知，存在实数k，满足，即=2k–k，由向量相等的定义可得，解得，故答案为：–．
13．【答案】（10，6）
【解析】∵=2（3，–1）+4（1，2）=（6，–2）+（4，8）=（10，6）．故答案为：（10，6）．
14．【答案】
【解析】∵=（4，8），=（–7，–2），∴=（–11，–10），∴．故答案为：．
15．【解析】∵=（–3，–），=（x–1，–1），
又∵∥，∴根据两个向量共线的充要条件得–（x–1）=3，解得x=–1．
16．【解析】∵A、B、C三点共线，∴向量、共线，
∵=（3，2m+1），=（2m–4，–2m），
∴，解得：m=±1．
18．【解析】∵+2，=3–2，
∴a+b=（+2）+（3–2）=4，
a–b=（+2）–（3–2）=–2+4，
3a–2b=3（+2）–2（3–2）=（3+6）–（6–4）=–3+10．
19．【答案】D
【解析】∵，，．∴，∴?，则λ+μ=．故选D．
20．【答案】C
【解析】∵=2，=3=3（），∴+3–3=3–2．
∴λ=3，μ=–2．故选C．
21．【答案】B
【解析】若向量a与b同向，则x2=4，解得x=±2，当x=2时，a=（2，–4），b=（1，–2），方向相同，当x=–2时，a=（–2，–4），b=（1，2），方向相反，故选B．
22．【答案】
【解析】∵a=（1，2），b=（x，1），∴，又a与共线，∴1×1–2×（1–x）=0，得x=．故答案为：．
23．【答案】
【解析】如图所示，∵，．∴=，与
=λ1a+λ2b比较，可得λ1=，λ2=．∴λ1+λ2==–．故答案为：．
24．【答案】1
【解析】设，，由===，
∵，∴m=–，n=．∴n–m=+=1，故答案为1．
25．【答案】–（）
【解析】如图，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，由向量加法的平行四边形法则，得+．由M是△ABC的边BC上的中点知，M为AD的中点．所以=2，故=–=
–（）．故答案为：–（）．
27．【解析】设=（x，y）–（2，3）=（x–2，y–3），
=（x，y）–（2，3）=（x–2，y–3）=（3+5λ，1+7λ），
∵，∴（x–2，y–3）=（3+5λ，1+7λ），
∴，∴，
∵P在第三象限内，∴，∴，∴λ<–1，即λ<–1时，P点在第三象限．
28．【解析】设a=λ1e1+λ2e2=λ1（1，2）+λ2（–2，3）=（λ1–2λ2，2λ1+3λ2），则
，解得，∴．
29．【解析】解法一：设=x，=y，则=x，=–y．
由+=，+=，得
①+②×（–2），得x–2x=e1–2e2，即x=–（e1–2e2）=–e1+e2，所以=–e1+e2．
同理可得y=（–2e1+e2），即=–e1+e2．
解法二：如图所示，延长BC，AL，设相交于点E，则△DLA≌△CLE，
从而=2，=，=．
由=–，得=2e2–e1，即=（2e2–e1）=–e1+e2．同理可得=–e1+e2．
30．【答案】
【解析】∵向量a=（1，2），b=（2，–2），∴=（4，2），∵c=（1，λ），c∥（2a+b），∴，解得λ=．故答案为：．
31．【答案】–3
【解析】∵a∥b，∴–6–2λ=0，解得λ=–3．故答案为：–3．
32．【答案】–6
【解析】向量a=（m，4），b=（3，–2），且a∥b，可得12=–2m，解得m=–6．故答案为：–6．
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
知识
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，__________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__________．
（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；
（3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．
2．两个向量的夹角
（1）向量夹角的几何表示
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a，b，作=a，=b，则__________为a与b的夹角．
（2）夹角范围
①向量的夹角是针对非零向量定义的；
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是__________和；
③当两向量方向相同时，夹角为__________，当方向相反时，夹角为__________．
3．平面向量运算的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
（2）向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．这两个互相垂直的向量称为__________．
4．平面向量运算的坐标运算
运算
坐标表示
和（差）
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．
数乘
已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
（1）相等的向量坐标相同；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关．
5．平面向量共线的坐标表示
（1）如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为__________．
a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0．
运用两向量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行；
（2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解；
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为
（x2–x1）（y3–y1）–（x3–x1）（y2–y1）=0，
或（x2–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y2–y1），
或（x3–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y3–y1）．
利用向量解决三点共线问题的思路：
先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
6．利用坐标解决几何问题
（1）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
（3）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相同．
（4）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（5）图形中的几何关系要转化为代数的坐标运算．
知识参考答案：
1．不共线 基底 2．（1）∠AOB （2）②[0，π] ③0 π
3．（2）正交分解 正交基底 5．x1y2–x2y1=0
重点
重点
1．了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量的基本定理．
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．
3．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算．
难点
掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标来进行向量的运算奠定基础．
易错
了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）基底的理解：
①平面内的任何两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底；
②基底一旦确定，平面内任一向量用该基底表示的形式是唯一的．
（2）平面向量基本定理的作用：
由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，平面内的任一向量都可用这一组基底表示出来．但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底．
【例1】设D为△ABC所在平面内一点，=3，则
A．=–+ B．=–
C．=+ D．=–
【名师点睛】利用平面向量基本定理解题的策略：
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
2．平面向量运算的坐标运算
（1）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算（直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数分别乘向量相应坐标的积）；
（2）在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；
（3）求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）；λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
【例2】已知A（1，4），B（–3，2），向量=（2，4），D为AC的中点，则=
A．（1，3） B．（3，3） C．（–3，–3） D．（–1，–3）
【答案】B
【解析】（1）设C（x，y），则=（x+3，y–2）=（2，4），所以解得即C（–1，6）．
由D为AC的中点可得点D的坐标为（0，5），所以=（0+3，5–2）=（3，3）．
【例3】已知平面向量a=（1，1），b=（1，–1），则向量a–b=
A．（–2，–1） B．（–2，1）
C．（–1，0） D．（–1，2）
【答案】D
【解析】a=（，），b=（，–），故a–b=（–1，2）．
【名师点睛】
（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
3．向量坐标运算的应用
（1）已知两向量共线，求点或向量的坐标；
（2）证明或判定三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
【例4】已知a=（1，1），b=（x，1），n=a+2b，v=2a–b．
（1）若n=3v，求x；
（2）若n∥v，并说明此时两向量方向相同还是相反．
【答案】（1）x=1．（2）方向相同．
【解析】∵a=（1，1），b=（x，1），
∴n=a+2b=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3），
v=2a–b=（2，2）–（x，1）=（2–x，1）．
（1）∵n=3v，
∴（2x+1，3）=3（2–x，1），
解得x=1．
（2）∵n∥v，∴2x+1=3（2–x），∴x=1．
此时，n=（3，3），v=（1，1），
∵n=3v，∴n与v方向相同．
【名师点睛】平面向量用坐标表示可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题解决，这是数形结合思想的重要体现利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键．
基础训练
1．已知（3，6），点B的坐标为（2，3），则点A的坐标为
A．（–1，–3） B．（–3，–1）
C．（1，3） D．（5，9）
2．已知向量a=（sinα，cosα），b=（cosβ，sinβ），且a∥b，则α+β等于
A．0° B．90°
C．135° D．180°
3．若=（2，3），=（–4，–5），则=
A．（2，2） B．（–2，–2）
C．（–4，–6） D．（4，6）
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点．若，，则
A． B．
C． D．
5．已知点D是△ABC所在平面内的一点，且，设，则λ–μ=
A．–6 B．6
C．–3 D．3
6．在△ABC中，D是AB边上一点，若=3，，则的值为
A． B．
C．2 D．3
7．已知向量a=（–3，4），则下列能使成立的一组向量，是
A．（0，0），（–1，2） B．（–1，3），（2，–6）
C．（–1，2），（3，–1） D．（–，1），（1，–2）
8．已知向量，，则=
A．10 B．
C． D．2
9．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量a=（–1，–1）平移后得到为
A．（1，2） B．（2，3）
C．（3，4） D．（4，7）
10．已知向量a=（4，–1），b=（2，m），且a∥（a+b），则m=
A． B．
C．2 D．–2
11．点E在平行四边形ABCD的边CD上，且CE=2DE，若，则λ+μ=__________．
12．设、是两个不共线向量，+λ（λ∈R），a=2，若a、b共线，则λ=__________．
13．已知a=（3，–1），b=（1，2），，则c的坐标是__________．
14．若=（4，8），=（–7，–2），则__________．
15．已知A（4，1），B（1，–），C（x，–），若A、B、C共线，求x．
16．已知三点A（1，–1），B（4，2m），C（2m，0）共线，求m的值．
17．已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标．
（1）a=（–2，1），A（0，0）；
（2）a=（1，3），A（–1，5）；
（3）a=（–2，–5），A（3，7）．
18．已知+2，=3–2，求a+b，与3a–2b．
能力提升
19．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=
A． B．2
C． D．
20．已知△ABC，=2，若+，则λ=
A．1 B．2
C．3 D．4
21．设向量a=（x，–4），b=（1，–x），若向量a与b同向，则x=
A．–2 B．2
C．±2 D．0
22．已知a=（1，2），b=（x，1），若a与共线，则实数x=__________．
23．在△ABC中，=4，E是AB的中点，记，，若=λ1a+λ2b，则λ1+λ2=__________．
24．在△OAB中，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，若（m，n∈R），则n–m=__________．
25．已知M是△ABC的边BC上的中点，若，，则=__________．
26．如图，在△OAB中，A是边BC的中点，，DC和OA交于点E，设，．
（1）用a和b表示向量，；
（2）若，求实数λ的值．
27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
28．已知e1=（1，2），e2=（–2，3），a=（–1，2），试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1+λ2e2的形式．
29．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，．
真题练习
30．（2018?新课标Ⅲ）已知向量a=（1，2），b=（2，–2），c=（1，λ）．若c∥（2a+b），则λ=__________．
31．（2019?山东）已知向量a=（2，6），b=（–1，λ），若a∥b，则λ=__________．
32．（2019?新课标Ⅱ）已知向量a=（m，4），b=（3，–2），且a∥b，则m=__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19
20
21
A
B
B
C
C
A
C
C
B
B
D
C
B
3．【答案】B
【解析】∵=（2，3），=（–4，–5），∴+=（2–4，3–5）=（–2，–2）．故选B．
4．【答案】C
【解析】如图所示：∵，，∴++，∴+=+，故选C．
5．【答案】C
【解析】∵，∴C是BD的中点，∴=
–+2．∴λ=–1，μ=2，∴λ–μ=–3．故选C．
6．【答案】A
【解析】∵=3，∴，+++，又，∴，故选A．
7．【答案】C
【解析】作为基底不共线即可，（0，0），（–1，2）共线；（–1，3），（2，–6）共线；（–1，2），（3，–1）不共线；（–，1），（1，–2）共线．故选C．
8．【答案】C
【解析】，∴=2（2，2）–（5，3）=（–1，1），∴．故选C．
11．【答案】
【解析】如图，∵CE=2DE，∴，∴++，∴λ=–，μ=1，∴，故答案为：．
12．【答案】–
【解析】由向量共线定理知，存在实数k，满足，即=2k–k，由向量相等的定义可得，解得，故答案为：–．
13．【答案】（10，6）
【解析】∵=2（3，–1）+4（1，2）=（6，–2）+（4，8）=（10，6）．故答案为：（10，6）．
14．【答案】
【解析】∵=（4，8），=（–7，–2），∴=（–11，–10），∴．故答案为：．
15．【解析】∵=（–3，–），=（x–1，–1），
又∵∥，∴根据两个向量共线的充要条件得–（x–1）=3，解得x=–1．
16．【解析】∵A、B、C三点共线，∴向量、共线，
∵=（3，2m+1），=（2m–4，–2m），
∴，解得：m=±1．
18．【解析】∵+2，=3–2，
∴a+b=（+2）+（3–2）=4，
a–b=（+2）–（3–2）=–2+4，
3a–2b=3（+2）–2（3–2）=（3+6）–（6–4）=–3+10．
19．【答案】D
【解析】∵，，．∴，∴?，则λ+μ=．故选D．
20．【答案】C
【解析】∵=2，=3=3（），∴+3–3=3–2．
∴λ=3，μ=–2．故选C．
21．【答案】B
【解析】若向量a与b同向，则x2=4，解得x=±2，当x=2时，a=（2，–4），b=（1，–2），方向相同，当x=–2时，a=（–2，–4），b=（1，2），方向相反，故选B．
22．【答案】
【解析】∵a=（1，2），b=（x，1），∴，又a与共线，∴1×1–2×（1–x）=0，得x=．故答案为：．
23．【答案】
【解析】如图所示，∵，．∴=，与
=λ1a+λ2b比较，可得λ1=，λ2=．∴λ1+λ2==–．故答案为：．
24．【答案】1
【解析】设，，由===，
∵，∴m=–，n=．∴n–m=+=1，故答案为1．
25．【答案】–（）
【解析】如图，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，由向量加法的平行四边形法则，得+．由M是△ABC的边BC上的中点知，M为AD的中点．所以=2，故=–=
–（）．故答案为：–（）．
27．【解析】设=（x，y）–（2，3）=（x–2，y–3），
=（x，y）–（2，3）=（x–2，y–3）=（3+5λ，1+7λ），
∵，∴（x–2，y–3）=（3+5λ，1+7λ），
∴，∴，
∵P在第三象限内，∴，∴，∴λ<–1，即λ<–1时，P点在第三象限．
28．【解析】设a=λ1e1+λ2e2=λ1（1，2）+λ2（–2，3）=（λ1–2λ2，2λ1+3λ2），则
，解得，∴．
29．【解析】解法一：设=x，=y，则=x，=–y．
由+=，+=，得
①+②×（–2），得x–2x=e1–2e2，即x=–（e1–2e2）=–e1+e2，所以=–e1+e2．
同理可得y=（–2e1+e2），即=–e1+e2．
解法二：如图所示，延长BC，AL，设相交于点E，则△DLA≌△CLE，
从而=2，=，=．
由=–，得=2e2–e1，即=（2e2–e1）=–e1+e2．同理可得=–e1+e2．
30．【答案】
【解析】∵向量a=（1，2），b=（2，–2），∴=（4，2），∵c=（1，λ），c∥（2a+b），∴，解得λ=．故答案为：．
31．【答案】–3
【解析】∵a∥b，∴–6–2λ=0，解得λ=–3．故答案为：–3．
32．【答案】–6
【解析】向量a=（m，4），b=（3，–2），且a∥b，可得12=–2m，解得m=–6．故答案为：–6．