人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.4 平面向量的数量积
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.4 平面向量的数量积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 546.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:11:32 | ||
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文档简介
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
知识
一、平面向量数量积的物理背景及其含义
1．平面向量数量积的物理背景
物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个______________也可以进行运算．
2．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的______________(inner product)(或内积)，记作，即______________，其中θ是与的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的______________(projection)．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中___________，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的______________．
3．平面向量数量积的性质与运算律
（1）平面向量数量积的性质
由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有：
①______________；
②或；
③当与同向时，；当与反向时，______________；
④，其中是非零向量与的夹角；
⑤，当且仅当向量共线，即时等号成立．
（2）平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：
已知向量和实数，则
①交换律：；
②数乘结合律：______________；
③分配律：．?
（3）两个结论
①；
②______________．
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量．由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有
，由于为正交单位向量，故，，从而
．即____________，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的____________．
2．平面向量的模的坐标表示
（1）平面向量的模的坐标公式
若向量，由于，所以______________．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）平面内两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是______________．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
3．平面向量垂直的坐标表示
已知非零向量，则______________．
4．平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则______________．
知识参考答案：
一、1．矢量
2．（1）数量积 （2）投影 （3）乘积
3．（1） （2） （3）
二、1． 和 2．（1） （2）
3． 4．
重点
重点
向量的数量积、模、夹角．
难点
数量积的综合应用．
易错
对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误．
1．平面向量数量积的概念
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．
【例1】下列判断：
①，则； ②已知是三个非零向量，若，则；
③共线； ④；
⑤； ⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角；
⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长．
其中正确的是 ．
【答案】①②
【名师点睛】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
2．求向量的数量积、投影、模、夹角
（1）向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角，记作．
②范围：夹角θ的范围是[0，180°]．
当θ=0°时，两向量a，b共线且同向；
当θ=90°时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ=180°时，两向量a，b共线但反向．
③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
（2）向量的投影
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）向量的模
若向量，则；
若点，则．
【例2】（1）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1－2e2，则|a|=________．
（2）已知，则向量在方向上的投影为________．
（3）若，且，则向量与的夹角为________．
（4）已知，与的夹角为120°，则________．
【答案】（1）3；（2）；（3）120°；（4）．
【解析】（1）因为a2=(3e1?2e2)2=9?2×3×2×cos α＋4=9，所以|a|=3．
（2）因为，所以在方向上的投影为．
（3）由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．
（4）．
【名师点睛】
（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角．
（2）求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
3．平面向量的坐标运算
（1）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
这就是说，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
【例3】（1）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=________．
（2）已知向量a=(m，4)，b=(3，?2)，且a∥b，则m=________．
（3）已知向量 ， 则________．
（4）设平面向量，若，则等于________．
【答案】（1）；（2）；（3）30°；（4）．
【名师点睛】
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
4．平面向量数量积的综合应用
【例4】已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(?1，4)．
（1）求证：AB⊥AD;
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
【答案】（1）答案详见解析；（2），．
【解析】（1）∵A(2，1)，B(3，2)，D(?1，4)，
∴．
则，
∴，即AB⊥AD．?
（2）∵，四边形ABCD为矩形，
∴．?
设C点的坐标为(x，y)，则，从而有，即，
∴C点的坐标为．?
又，，?
∴矩形ABCD的对角线的长度为．
【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题，常见的题型有：
（1）求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．
（2）证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可．
（3）求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．
5．对向量的夹角理解不正确致误
【例5】已知中，，则 ．
【错解】如图，因为，
所以．
【正解】因为，，
所以．
【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量的起点不相同，所以它们的夹角并非角C．如上图所示，其夹角应该是角C的补角，即=120°．
【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点)．
6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误
【例6】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．
【错解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
【正解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得．
应该排除反向的情形，即排除，
于是实数λ的取值范围为．
【错因分析】与的夹角为钝角并不等价于，等价于与的夹角为钝角或180°．事实上，由与的夹角θ为钝角应得出．
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，;当夹角为180°时，，这是容易忽略的地方．
基础训练
1．已知平面向量a=（1，1），b=（x，–3），且a⊥b，则|2a+b|=
A． B．
C． D．
2．已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为
A．–1 B．1
C． D．
3．若|a|=|b|=|a?b|，则b与a+b的夹角为
A．30° B．60°
C．150° D．120°
4．设|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|等于
A．37 B．13
C． D．
5．已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于
A．150° B．90°
C．60° D．30°
6．若向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，则||=
A．2 B．3
C．4 D．5
7．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a–3b|=
A．2 B．
C． D．
能力提升
8．已知向量=（1，1），=（2，3），则下列向量中与垂直的是
A．a=（3，6） B．b=（8，–6）
C．c=（6，8） D．d=（–6，3）
9．已知向量a=（1，x），b=（2x+3，–x）（x∈R）．
（1）若a⊥b，求x的值；
（2）若a∥b，求|a–b|．
10．在直角△ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值．
11．已知向量a=（λ，–2），b=（–3，5），若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围．
真题练习
12．（2018?新课标Ⅱ）已知向量a，b满足|a|=1，a·b=–1，则a?（2a–b）=
A．4 B．3
C．2 D．0
13．（2019?浙江模拟）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足–4e?b+3=0，则|a–b|的最小值是
A．–1 B．+1
C．2 D．2–
14．（2019?天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B．
C． D．3
15．（2018?新课标Ⅱ）设非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|则
A．a⊥b B．|a|=|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
16．（2019?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
A．30° B．45°
C．60° D．120°
17．（2019?新课标Ⅱ）已知向量a=（1，m），b=（3，–2），且（a+b）⊥b，则m=
A．–8 B．–6
C．6 D．8
18．（2019?山东模拟）已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos=．若n⊥（tm+n），则实数t的值为
A．4 B．–4
C． D．–
19．（2019?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（–1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为___________．
20．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为___________．
21．（2018?北京）设向量a=（1，0），b=（–1，m）．若a⊥（m），则m=___________．
22．（2019?成都模拟）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=__________．
23．（2019?山东模拟）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
12
13
14
15
16
17
18
A
B
B
C
C
C
D
D
B
A
A
A
A
D
B
1．【答案】A
【解析】∵平面向量a=（1，1），b=（x，–3），且a⊥b，∴a·b=x–3=0，解得x=3，2a+b=（5，–1），|2a+b|=．故选A．
2．【答案】B
【解析】设向量与a的夹角为θ，则：cosθ=，∴在向量a上的投影为：．故选B．
3．【答案】B
【解析】∵|a|=|b|=|a+b|，∴由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等，∴夹角是，故选B．
4．【答案】C
【解析】∵|a|=4，|b|=3，夹角为60°，∴+2a?b+=42+2×4×3×cos60°+32=37，∴|a+b|=．故选C．
6．【答案】C
【解析】向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，可得a?b=4×1×cos=4×=2，则||===4，故选C．
7．【答案】D
【解析】∵a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，∴，∴|a–3b|=，故选D．
8．【答案】D
【解析】根据题意，向量=（1，1），=（2，3），则=（1，2）．对于A，a=（3，6），a?=1×3+2×6=15≠0，即a与不垂直，A不符合题意；对于B，a=（8，–6），a?=1×8+2×（–6）=–4≠0，即a与不垂直，B不符合题意；对于C，a=（6，8），a?=1×6+2×8=22≠0，即a与不垂直，C不符合题意；对于D，a=（–6，3），a?=1×（–6）+2×3=0，即a与垂直，D符合题意．故选D．
9．【解析】（1）∵a⊥b，∴a·b=2x+3–x2=0，解得x=–1，3．
（2）∵a∥b，∴x（2x+3）+x=0，解得x=0，–2．
x=0时，a=（1，0），b=（3，0），a–b=（–2，0），则|a–b|=2．
x=–2时，a=（1，–2），b=（–1，2），a–b=（2，–4），则|a–b|==2．
10．【解析】∵=（2，3），=（1，k），
∴=（–1，k–3）．
若A为直角，则?=2+3k=0，解得k=–．
若B为直角，则?=–2+3（k–3）=0，解得k=．
若C为直角，则?=–1+k（k–3）=0，解得k=．
综上可得，k=–或或．
11．【解析】由题意可得a与b不共线且<0，
∴，且–3λ–10<0，
求得λ≠且λ>–，
即λ的取值范围为{λ|λ>–，且λ≠}．
12．【答案】B
【解析】向量a，b满足|a|=1，a·b=–1，则a?（2）=2=2+1=3，故选B．
13．【答案】A
【解析】由–4e?b+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为，则a的终点在不含端点O的两条射线y=（x>0）上．不妨以y=为例，则|a–b|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选A．
14．【答案】A
【解析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（–1，m），=（–，m–），0≤m≤，∴+m2–m=（m–）2+=（m–）2+，当m=时，取得最小值为．故选A．
15．【答案】A
【解析】∵非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|，∴，解得a·b=0，∴a⊥b．故选A．
16．【答案】A
【解析】，，∴．又0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC=30°．故选A．
19．【答案】–3
【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b），∴，∴a=b+2，或b=a+2，且，∴，当a=b+2时，，∵b2+2b–2的最小值为，∴的最小值为–3，同理求出b=a+2时，的最小值为–3．故答案为：–3．
20．【答案】3
【解析】设A（a，2a），a>0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x–5）（x–a）+y（y–2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴．解得a=3或a=–1．又a>0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．
21．【答案】–1
【解析】向量a=（1，0），b=（–1，m）．m=（m+1，–m）．∵a⊥（m），∴m+1=0，解得m=–1．故答案为：–1．
22．【答案】2
【解析】解法一：向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，∴+4a?b+4=22+4×2×1×cos60°+
4×12=12，∴|a+2b|=2．
解法二：根据题意画出图形，如图所示．结合图形++2b；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|a+2b|=2．故答案为：2．
23．【答案】
【解析】解法一：由题意，设e1=（1，0），e2=（0，1），则=（，–1），e1+λe2=（1，λ）；又夹角为60°，∴（）?（e1+λe2）=–λ=2××cos60°，即–λ=，解得λ=．
解法二：e1，e2是互相垂直的单位向量，∴|e1|=|e2|=1，且e1?e2=0；又与e1+λe2的夹角为60°，
∴（）?（e1+λe2）=||×|e1+λe2|×cos60°，即+（–1）e1?–λ××，化简得–λ=××，即–λ=，解得λ=．故答案为：．
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
知识
一、平面向量数量积的物理背景及其含义
1．平面向量数量积的物理背景
物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个______________也可以进行运算．
2．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的______________(inner product)(或内积)，记作，即______________，其中θ是与的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的______________(projection)．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中___________，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的______________．
3．平面向量数量积的性质与运算律
（1）平面向量数量积的性质
由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有：
①______________；
②或；
③当与同向时，；当与反向时，______________；
④，其中是非零向量与的夹角；
⑤，当且仅当向量共线，即时等号成立．
（2）平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：
已知向量和实数，则
①交换律：；
②数乘结合律：______________；
③分配律：．?
（3）两个结论
①；
②______________．
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量．由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有
，由于为正交单位向量，故，，从而
．即____________，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的____________．
2．平面向量的模的坐标表示
（1）平面向量的模的坐标公式
若向量，由于，所以______________．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）平面内两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是______________．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
3．平面向量垂直的坐标表示
已知非零向量，则______________．
4．平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则______________．
知识参考答案：
一、1．矢量
2．（1）数量积 （2）投影 （3）乘积
3．（1） （2） （3）
二、1． 和 2．（1） （2）
3． 4．
重点
重点
向量的数量积、模、夹角．
难点
数量积的综合应用．
易错
对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误．
1．平面向量数量积的概念
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．
【例1】下列判断：
①，则； ②已知是三个非零向量，若，则；
③共线； ④；
⑤； ⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角；
⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长．
其中正确的是 ．
【答案】①②
【名师点睛】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
2．求向量的数量积、投影、模、夹角
（1）向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角，记作
②范围：夹角θ的范围是[0，180°]．
当θ=0°时，两向量a，b共线且同向；
当θ=90°时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ=180°时，两向量a，b共线但反向．
③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
（2）向量的投影
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）向量的模
若向量，则；
若点，则．
【例2】（1）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1－2e2，则|a|=________．
（2）已知，则向量在方向上的投影为________．
（3）若，且，则向量与的夹角为________．
（4）已知，与的夹角为120°，则________．
【答案】（1）3；（2）；（3）120°；（4）．
【解析】（1）因为a2=(3e1?2e2)2=9?2×3×2×cos α＋4=9，所以|a|=3．
（2）因为，所以在方向上的投影为．
（3）由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．
（4）．
【名师点睛】
（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角．
（2）求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
3．平面向量的坐标运算
（1）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
这就是说，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
【例3】（1）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=________．
（2）已知向量a=(m，4)，b=(3，?2)，且a∥b，则m=________．
（3）已知向量 ， 则________．
（4）设平面向量，若，则等于________．
【答案】（1）；（2）；（3）30°；（4）．
【名师点睛】
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
4．平面向量数量积的综合应用
【例4】已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(?1，4)．
（1）求证：AB⊥AD;
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
【答案】（1）答案详见解析；（2），．
【解析】（1）∵A(2，1)，B(3，2)，D(?1，4)，
∴．
则，
∴，即AB⊥AD．?
（2）∵，四边形ABCD为矩形，
∴．?
设C点的坐标为(x，y)，则，从而有，即，
∴C点的坐标为．?
又，，?
∴矩形ABCD的对角线的长度为．
【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题，常见的题型有：
（1）求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．
（2）证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可．
（3）求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．
5．对向量的夹角理解不正确致误
【例5】已知中，，则 ．
【错解】如图，因为，
所以．
【正解】因为，，
所以．
【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量的起点不相同，所以它们的夹角并非角C．如上图所示，其夹角应该是角C的补角，即=120°．
【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点)．
6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误
【例6】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．
【错解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
【正解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得．
应该排除反向的情形，即排除，
于是实数λ的取值范围为．
【错因分析】与的夹角为钝角并不等价于，等价于与的夹角为钝角或180°．事实上，由与的夹角θ为钝角应得出．
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，;当夹角为180°时，，这是容易忽略的地方．
基础训练
1．已知平面向量a=（1，1），b=（x，–3），且a⊥b，则|2a+b|=
A． B．
C． D．
2．已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为
A．–1 B．1
C． D．
3．若|a|=|b|=|a?b|，则b与a+b的夹角为
A．30° B．60°
C．150° D．120°
4．设|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|等于
A．37 B．13
C． D．
5．已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于
A．150° B．90°
C．60° D．30°
6．若向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，则||=
A．2 B．3
C．4 D．5
7．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a–3b|=
A．2 B．
C． D．
能力提升
8．已知向量=（1，1），=（2，3），则下列向量中与垂直的是
A．a=（3，6） B．b=（8，–6）
C．c=（6，8） D．d=（–6，3）
9．已知向量a=（1，x），b=（2x+3，–x）（x∈R）．
（1）若a⊥b，求x的值；
（2）若a∥b，求|a–b|．
10．在直角△ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值．
11．已知向量a=（λ，–2），b=（–3，5），若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围．
真题练习
12．（2018?新课标Ⅱ）已知向量a，b满足|a|=1，a·b=–1，则a?（2a–b）=
A．4 B．3
C．2 D．0
13．（2019?浙江模拟）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足–4e?b+3=0，则|a–b|的最小值是
A．–1 B．+1
C．2 D．2–
14．（2019?天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B．
C． D．3
15．（2018?新课标Ⅱ）设非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|则
A．a⊥b B．|a|=|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
16．（2019?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
A．30° B．45°
C．60° D．120°
17．（2019?新课标Ⅱ）已知向量a=（1，m），b=（3，–2），且（a+b）⊥b，则m=
A．–8 B．–6
C．6 D．8
18．（2019?山东模拟）已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos
A．4 B．–4
C． D．–
19．（2019?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（–1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为___________．
20．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为___________．
21．（2018?北京）设向量a=（1，0），b=（–1，m）．若a⊥（m），则m=___________．
22．（2019?成都模拟）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=__________．
23．（2019?山东模拟）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是__________．
参考答案
1
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3
4
5
6
7
8
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17
18
A
B
B
C
C
C
D
D
B
A
A
A
A
D
B
1．【答案】A
【解析】∵平面向量a=（1，1），b=（x，–3），且a⊥b，∴a·b=x–3=0，解得x=3，2a+b=（5，–1），|2a+b|=．故选A．
2．【答案】B
【解析】设向量与a的夹角为θ，则：cosθ=，∴在向量a上的投影为：．故选B．
3．【答案】B
【解析】∵|a|=|b|=|a+b|，∴由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等，∴夹角是，故选B．
4．【答案】C
【解析】∵|a|=4，|b|=3，夹角为60°，∴+2a?b+=42+2×4×3×cos60°+32=37，∴|a+b|=．故选C．
6．【答案】C
【解析】向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，可得a?b=4×1×cos=4×=2，则||===4，故选C．
7．【答案】D
【解析】∵a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，∴，∴|a–3b|=，故选D．
8．【答案】D
【解析】根据题意，向量=（1，1），=（2，3），则=（1，2）．对于A，a=（3，6），a?=1×3+2×6=15≠0，即a与不垂直，A不符合题意；对于B，a=（8，–6），a?=1×8+2×（–6）=–4≠0，即a与不垂直，B不符合题意；对于C，a=（6，8），a?=1×6+2×8=22≠0，即a与不垂直，C不符合题意；对于D，a=（–6，3），a?=1×（–6）+2×3=0，即a与垂直，D符合题意．故选D．
9．【解析】（1）∵a⊥b，∴a·b=2x+3–x2=0，解得x=–1，3．
（2）∵a∥b，∴x（2x+3）+x=0，解得x=0，–2．
x=0时，a=（1，0），b=（3，0），a–b=（–2，0），则|a–b|=2．
x=–2时，a=（1，–2），b=（–1，2），a–b=（2，–4），则|a–b|==2．
10．【解析】∵=（2，3），=（1，k），
∴=（–1，k–3）．
若A为直角，则?=2+3k=0，解得k=–．
若B为直角，则?=–2+3（k–3）=0，解得k=．
若C为直角，则?=–1+k（k–3）=0，解得k=．
综上可得，k=–或或．
11．【解析】由题意可得a与b不共线且<0，
∴，且–3λ–10<0，
求得λ≠且λ>–，
即λ的取值范围为{λ|λ>–，且λ≠}．
12．【答案】B
【解析】向量a，b满足|a|=1，a·b=–1，则a?（2）=2=2+1=3，故选B．
13．【答案】A
【解析】由–4e?b+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为，则a的终点在不含端点O的两条射线y=（x>0）上．不妨以y=为例，则|a–b|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选A．
14．【答案】A
【解析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（–1，m），=（–，m–），0≤m≤，∴+m2–m=（m–）2+=（m–）2+，当m=时，取得最小值为．故选A．
15．【答案】A
【解析】∵非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|，∴，解得a·b=0，∴a⊥b．故选A．
16．【答案】A
【解析】，，∴．又0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC=30°．故选A．
19．【答案】–3
【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b），∴，∴a=b+2，或b=a+2，且，∴，当a=b+2时，，∵b2+2b–2的最小值为，∴的最小值为–3，同理求出b=a+2时，的最小值为–3．故答案为：–3．
20．【答案】3
【解析】设A（a，2a），a>0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x–5）（x–a）+y（y–2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴．解得a=3或a=–1．又a>0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．
21．【答案】–1
【解析】向量a=（1，0），b=（–1，m）．m=（m+1，–m）．∵a⊥（m），∴m+1=0，解得m=–1．故答案为：–1．
22．【答案】2
【解析】解法一：向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，∴+4a?b+4=22+4×2×1×cos60°+
4×12=12，∴|a+2b|=2．
解法二：根据题意画出图形，如图所示．结合图形++2b；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|a+2b|=2．故答案为：2．
23．【答案】
【解析】解法一：由题意，设e1=（1，0），e2=（0，1），则=（，–1），e1+λe2=（1，λ）；又夹角为60°，∴（）?（e1+λe2）=–λ=2××cos60°，即–λ=，解得λ=．
解法二：e1，e2是互相垂直的单位向量，∴|e1|=|e2|=1，且e1?e2=0；又与e1+λe2的夹角为60°，
∴（）?（e1+λe2）=||×|e1+λe2|×cos60°，即+（–1）e1?–λ××，化简得–λ=××，即–λ=，解得λ=．故答案为：．