人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.5 平面向量应用举例

第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例
知识
一、向量在平面几何中的应用
1．利用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为__________的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
2．向量在平面几何中常见的应用
已知．
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
__________．
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：
__________（其中为非零向量）．
（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
____________________（其中为非零向量）．
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
__________，或__________（其中两点的坐标分别为．
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
3．利用向量解决平面几何问题的步骤
（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；?
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论．
二、向量在物理中的应用
向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象．
1．向量与力
向量是既有__________又有__________的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量__________到同一作用点上．
2．向量与速度、加速度及位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的__________、__________以及__________运算，有时也借助于坐标运算来处理．
3．向量与功、动量
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的__________，为和的夹角）．
动量实际上是__________向量．
知识参考答案：
一、1．向量 2．（1） （2）
（3） （4）
二、1．大小 方向 平移 2．加法 减法 数乘 3．数量积 数乘
重点
重点
平面几何中的垂直、长度以及夹角问题．
难点
利用向量方法解决其他实际问题．
易错
向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误．
1．平面几何中的垂直问题
对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
【例1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
【答案】证明详见解析．
方法二 如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，
则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），
所以．
因为，
所以，即AF⊥DE．
【名师点睛】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．平面几何中的长度问题
平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解．
【例2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为 ．
【答案】
【解析】设，则．
∴，
∴，∴．
∴，即．
【名师点睛】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若，则．
3．平面几何中的夹角问题
【例3】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，则，∴．设向量的夹角为，
则．
【名师点睛】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值．
4．平面向量在物理中的应用
【例4】一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
【答案】
【解析】由题意知F3=?（F1＋F2），∴|F3|=|F1＋F2|，
∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，
∴|F3|=．
【名师点睛】用向量法解决物理问题的步骤如下：
（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
（2）建立以向量为主体的数学模型；
（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
5．利用向量解决其他问题
【例5】已知直线Ax＋By＋C=0（其中A2＋B2=C2，C≠0）与圆x2＋y2=6交于不同的两点M、N，O是坐标原点，则________．
【答案】
【解析】取MN的中点P，则，．
又，，
∴，
而，
∴．
【名师点睛】向量在解决其他问题时的“两个”作用：
（1）载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
（2）工具作用：利用a⊥b?a·b=0（a，b为非零向量），a∥b?a=λb（b≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．
6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误
【例6】在四边形中，，，则四边形的面积是 ．
【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如：
（1）重心．若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）．反之，若，则点G是的重心．
（2）垂心．若H是的垂心，则．反之，若
，则点H是的垂心．
（3）内心．若点I是的内心，则有．反之，若
，则点I是的内心．
（4）外心．若点O是的外心，则或．反之，若，则点O是的外心．
基础训练
1．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则=
A．8 B．–8
C．4 D．–4
2．已知力F的大小|F|=10，在F的作用下产生的位移S的大小|S|=14，F与S的夹角为60°，则F做的功为
A．7 B．10
C．14 D．70
3．在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量，，其中a=（3，1），b=（1，3），若=λa+μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
A． B．
C． D．
4．已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于
A．0 B．
C．2 D．
能力提升
5．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则
A．I1C．I36．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是
A． B．
C． D．
7．一个重20 N的物体从倾斜角为30°，长为1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________．
8．一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60°方向行驶3 km，求汽车的位移．
真题练习
9．（2018?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是
A．–2 B．–
C．– D．–1
10．（2019?浙江模拟）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则
A．I1C．I311．（2019?天津模拟）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为
A．– B．
C． D．
12．（2019?北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（–2，0），O为原点，则?的最大值为__________．
13．（2019?江苏模拟）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=__________．
14．（2018?天津模拟）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ（λ∈R），且=–4，则λ的值为__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
9
10
11
A
D
A
C
C
C
B
C
C
1．【答案】A
【解析】如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．在Rt△ACD中，AD=AB=2，可得cosA=，∴?=||×||×cosA=4×||×=8．故选A．
4．【答案】C
【解析】如图，，有||=|2a|，又|a|=1，∴有||=2，故选C．
5．【答案】C
【解析】∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD>90°，由图象知OA?>?，?>0，即I37．【答案】10 J
【解析】如图所示，该物体受到的下滑力是重力G沿斜面向下的分力．设这个力为F，则F与重力G夹角为90°–30°=60°，∴该物体从1 m的光滑斜面下滑到底端，重力做的功为W=F?S=|G|?|S|?cos60°=20×1×cos60°=10（J）．故答案为：10 J．
8．【解析】根据题意画出图形，汽车行驶的路程A→C→B．
在三角形ABC中，AC=BC=3，∠ACB=120°，
∴∠BAC=30°，AB=3，
故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为 km．
9．【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（–1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（–x，–y），=（–1–x，–y），=（1–x，–y），则?（+）=2x2–2y+2y2=2[x2+（y–）2–]，∴当x=0，y=时，取得最小值2×（–）=–，故选B．
10．【答案】C
【解析】∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD>90°，由图象知OA?>?，?>0，即I311．【答案】C
【解析】如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴?===．故选C．
12．【答案】6
【解析】设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则?=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．
13．【答案】3
【解析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα–sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m–n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．
14．【答案】
【解析】如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴+=+=+（）=+，又=λ（λ∈R），∴=（+）?（λ.∈R）=（λ–）?+λ=（λ–）×3×2×cos60°–×32+λ×22=–4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．