人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 361.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:10:13 | ||
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文档简介
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识
1．两角差的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α–β）=____________________．简记为C（α–β）．
（2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导．
2．两角和的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α+β）=____________________．简记为C（α+β）．
（2）公式推导：
在公式C（α–β）中，将β用–β来替换，并且注意到cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β，
于是cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β．
即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β．
3．两角和与差的正弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有sin（α±β）=____________________．简记为S（α±β）．
（2）公式推导：
运用差角的余弦公式C（α–β）及诱导公式，可得
sin（α+β）=cos[–（α+β）]
=cos[（–α）–β]=cos（–α）cos β+sin（–α）sin β=sin αcos β+cos αsin β．
运用差角的余弦公式C（α+β）及诱导公式，可得
sin（α–β）=cos[–（α–β）]
=cos[（–α）+β]=cos（–α）cos β–sin（–α）sin β=sin αcos β–cos αsin β．
4．两角和与差的正切公式
（1）公式内容：tan（α±β）=____________________（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．简记为T（α±β）．
（2）公式推导：
当cos（α+β）≠0时，将公式S（α+β），C（α+β）的两边分别相除，
有tan（α+β）=，
若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β，
得tan（α+β）=．
在T（α+β）中，将β用–β来替换，可得tan（α–β）=tan[α+（–β）]==．
5．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α=____________________．
（2）C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=____________________=1–2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=____________________（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）．
6．二倍角公式的变形应用
（1）倍角公式的逆用：
S2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α=；
C2α：cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α=cos 2α；
T2α：=tan 2α；=tan 2α（）．
（2）配方变形：1±sin 2α=±2sin αcos α=（sin α±cos α）2．
（3）因式分解变形：cos 2α=cos2α–sin2α=（cos α+sin α）（cos α–sin α）
（4）升幂公式：
1+cos α=2cos2；1–cos α=2sin2；
1+sin α=（sin+cos）2；1–sin α=（sin–cos）2．
（5）降幂公式：
sin2α=；cos2α=；sin αcos α=sin 2α．
（6）三倍角公式：
sin 3α=3sin α–4sin3α；
cos 3α=4cos3α–3cos α；
（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）
tan 3α=．
知识参考答案：
1．cos αcos β+sin αsin β 2．cos αcos β–sin αsin β
3．sin αcos β±cos αsin β 4．
5．（1）2sin αcos α（2）2cos2α–1（3）
重点
重点
1．熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
难点
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
易错
掌握三角函数的和差公式，二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键．
1．两角和与差的正、余弦公式
【例1】cos的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】cos=cos（）=cos+sin．故选C．
【解题必备】S（α±β）：sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β．
C（α±β）：cos（α±β）=cos αcos βsin αsin β．
【例2】求值：sin460°sin（–160°）+cos560°cos（–280°）．
【答案】–
【解析】sin460°sin（–160°）+cos560°cos（–280°）
=–sin100°sin160°+cos200°cos280°
=–sin80°sin20°–cos20°cos80°
=–（cos80°cos20°+sin80°sin20°）
=–cos（80°–20°）
=–cos60°
=–．
2．两角和与差的正切公式
【例3】已知，则tanα=__________．
【答案】
【解析】由，得
tanα=====．
【解题必备】T（α±β）：tan（α±β）=（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
【例4】已知，则tan2α=
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴cos2α–sin2α=，又∵cos2α+sin2α=1，∴cos2α=，sin2α=，
∴tan2α=．故选D．
【解题必备】S2α：sin 2α=2sin αcos α．
C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α．
T2α：tan 2α=（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）．
【例5】若tan（α+）=–3，则cos2α+2sin2α=
A． B．1
C．– D．–
【答案】B
【解析】由tan（α+）==–3，解得tanα=2，
∴cos2α+2sin2α=+ +==1．故选B．
4．三角函数式的化简
（1）三角函数式的化简原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式．
②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
（2）三角函数式的化简要求
①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
②式子中的分母尽量不含三角函数；
③尽量使被开方数不含三角函数等．
（3）三角函数式的化简方法
①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
②“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
【例6】已知cos（x–）=，则cosx+cos（x–）=
A．–1 B．1
C． D．
【答案】B
【解析】∵cos（x–）=，∴cosx+cos（x–）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x–）==1．故选B．
【例7】已知cos（+x）=，若π【答案】–．
【解析】解法一：由π又cos（+x）=，所以sin（+x）=–，
所以cosx=cos[（+x）–]
=cos（+x）cos+sin（+x）sin
=××
=–，
从而sinx=–，tanx=7．
则
=
=
=–．
解法二：由解法一得tan（+x）=–．
又sin2x=–cos（+2x）=–cos2（+x）=–2cos2（+x）+1=–+1=．
则
=
=
=
=sin2x·
=sin2x·tan（x+）
=×（–）
=–．
5．求角时选择三角函数类型不当导致错误
【例8】已知sinα=，sinβ=，α和β都是锐角，则α+β=
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为α和β都是锐角，且sinα=，sinβ=，所以cosα=，cosβ=，cos（α+β）=cosαcosβ–sinαsinβ=×–×=．又α+β∈（0，π），所以α+β=．故选A．
基础训练
1．sin15°+cos15°的值为
A． B．
C． D．
2．若sinαsinβ=1，则cos（α–β）的值为
A．0 B．1
C．±1 D．–1
3．把可化简为
A． B．
C． D．
4．计算sin15°sin75°的结果是
A． B．
C． D．
5．已知，则=
A． B．
C． D．
6．已知直线3x–y+1=0的倾斜角为α，则tan（α+）=
A．–2 B．–
C．2 D．
7．已知sin（α+）=，则cos2α=
A．– B．
C．– D．
8．=
A． B．
C．– D．–
9．已知α，β为第二象限的角，cos（）=，sin（β+）=，则sin（α+β）的值为
A． B．–
C． D．
10．若2tanα=1，tanβ=–2，则tan（α+β）=__________．
11．若2tanα=tan420°，则=__________．
12．计算：sin163°sin223°+sin253°sin313°．
能力提升
13．已知sin（α–）=，则cos（α+）+sin（α+）=
A．0 B．
C．– D．
14．化简cos2（）–cos2（+）=
A．–sinx B．sinx
C．–cosx D．cosx
15．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（–1，–2），则tan2θ等于
A． B．–
C． D．–
16．若=3，则cos2α=
A．– B．–
C． D．
17．已知sin（–α）=，则cos（2α+）=
A．– B．–
C． D．
18．若，则的值为
A． B．
C． D．
19．若，，则sin2αcosβ=
A． B．
C． D．
20．已知cosα=，cos（α–β）=，且0<β<α<，那么β=
A． B．
C． D．
21．若，则的值为
A． B．
C． D．
22．已知，．
（1）求的值；
（2）求tan2α的值．
23．（1）设α为锐角，若cos（）=，求sin（2）的值；
（2）已知：cos（+α）=3sin（），求的值．
24．已知，．
（1）求tan2α的值；
（2）求的值．
25．已知α，β都是锐角，sinα=，sin（2α–β）=．
（1）求cosβ的值；
（2）求sin（α–β）的值．
真题练习
26．[2018全国卷Ⅲ文]已知sinα–cosα=，则sin2α=
A． B．
C． D．
27．[2019山东模拟]函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是
A． B．π
C． D．2π
28．[2018全国卷Ⅰ文]已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ）=__________．
29．[2019浙江模拟]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13
A
B
D
B
B
A
A
A
B
C
14
15
16
17
18
19
20
21
26
27
A
D
B
D
D
B
C
B
A
B
1．【答案】A
【解析】解法一：sin15°+cos15°=，故选A．
解法二：（sin15°+cos15°）2=，所以sin15°+cos15°的值为，故选A．
2．【答案】B
【解析】由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，∴cos（α–β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0+1=1．故选B．
3．【答案】D
【解析】=sinxcos–cosxsin–（sinxcos+cosxsin）=–2cosxsin=–cosx．故选D．
4．【答案】B
【解析】sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．故选B．
5．【答案】B
【解析】∵，∴．故选B．
6．【答案】A
【解析】∵直线3x–y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，则tan（α+）==–2，故选A．
7．【答案】A
【解析】sin（α+）==cosα，则cos2α=2cos2α–1=2×–1=–，故选A．
8．【答案】A
【解析】=sin30°=．故选A．
9．【答案】B
【解析】∵α，β为第二象限的角，cos（）=，sin（β+）=，
∴为钝角，β+为钝角，
∴sin（）=，cos（β+）=–=–，
则sin（α+β）=sin[（）+（β+）]
=sin（）cos（β+）+cos（）cos（）=+（–）?=–，
故选B．
10．【答案】
【解析】∵2tanα=1，∴tan，又tanβ=–2，∴tan（α+β）=．故答案为：．
11．【答案】
【解析】∵2tanα=tan420°=tan60°=，∴tanα=，∴=–3，故答案为：．
12．【答案】
【解析】sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin（180°–17°）sin（180°+43°）+sin（180°+73°）sin（360°–47°）
=–sin17°sin43°+sin73°sin47°
=–sin17°sin43°+cos17°cos43°
=cos（17°+43°）
=cos60°
=．
13．【答案】C
【解析】由于sin（α–）=，则=–cos（）=–，所以cos（α+）+sin（α+）===2cos（）=–，故选C．
14．【答案】A
【解析】cos2（）–cos2（+）=
=[cosxcos+sinxsin–（cosxcos–sinxsin）]
=?2sinxsin=–?2?sinxsin=–sinx，故选A．
15．【答案】D
【解析】∵角θ的终边经过点P（–1，–2），∴x=–1，y=–2，r=|OP|=，
∴sinθ=，cosθ=，tanθ==2，则tan2θ==–．故选D．
16．【答案】B
【解析】若=3，则tanα=8，∴cos2α==–，故选B．
17．【答案】D
【解析】∵sin（–α）=，则cos（2α+）=–cos[π–（2α+）]=–cos（–2α）=–1+2，故选D．
18．【答案】D
【解析】∵sin（–x）=–sin（x–）=，∴sin（x–）=–，∴sin（2x+）=sin（2x–+）=cos（2x–）=cos[2（x–）]=1–2sin2（x–）=1–2×（–）2=–．故选D．
19．【答案】B
【解析】由，可得sin2αcosβ–cos2αsinβ=；由，可得sin2αcosβ+cos2αsinβ=．两式相加，得2sin2αcosβ=，所以sin2αcosβ=．故选B．
20．【答案】C
【解析】由0<β<α<，得到0<α–β<，因为cosα=，cos（α–β）=cos（β–α）=，所以sinα=，sin（β–α）=–sin（α–β）=–=–，则cosβ=cos[（β–α）+α]=cos（β–α）cosα–sin（β–α）sinα=×–（–）×，所以β=．故选C．
21．【答案】B
【解析】∵，∴cos（）=，∴=cos2（）=．故选B．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴sin，
∴=cosαcos+sinαsin；
（2）∵tanα=，
∴tan2α=．
23．【解析】（1）因为α为锐角，cos（）=，
所以sin（）=，
则sin（2）=2sin（）cos（）=2．
（2）由已知得cos（+α）=3sin（），
则–sinα=–3sin（），
即sinα=3sin（），
所以sin[（）–]=–3sin[（）+]，
所以，
整理得：．
24．【解析】（1）由，，
得cosα=–，∴．
∴；
（2）∵，
，
∴
．
25．【解析】因为α，β都是锐角，
所以，
且，
所以，
，
（1）
；
（2）
．
26．【答案】A
【解析】将sinα–cosα=的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=，即sin2α=，故选A．
27．【答案】B
【解析】通性通法由题意，得f（x）=3sinxcosxsin2x+cos2x–sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．故该函数的最小正周期T==π．故选B．
光速解法由题意，得f（x）=2sin（x+）×2cos（x+）=2sin（2x+）．故该函数的最小正周期T==π．故选B．
28．【答案】
【解析】方法一：因为sin（θ+）=，所以cos（θ）=sin[+（θ）]=sin（θ+）=，因为θ为第四象限角，所以+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以sin（θ）==，所以tan（θ）==．
方法二：因为θ是第四象限角，且sin（θ+）=，所以θ+为第一象限角，所以cos（θ+）=，所以tan（θ）====．
29．【解析】（1）由角α的终边过点P（，），得sinα=，
所以sin（α+π）=–sinα=．
（2）由角α的终边过点P（，），得cosα=，
由sin（α+β）=，
得cos（α+β）=±．
由β=（α+β）–α，
得cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，
所以cosβ=或cosβ=．
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识
1．两角差的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α–β）=____________________．简记为C（α–β）．
（2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导．
2．两角和的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有cos（α+β）=____________________．简记为C（α+β）．
（2）公式推导：
在公式C（α–β）中，将β用–β来替换，并且注意到cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β，
于是cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β．
即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β．
3．两角和与差的正弦公式
（1）公式内容：对于任意角α，β，有sin（α±β）=____________________．简记为S（α±β）．
（2）公式推导：
运用差角的余弦公式C（α–β）及诱导公式，可得
sin（α+β）=cos[–（α+β）]
=cos[（–α）–β]=cos（–α）cos β+sin（–α）sin β=sin αcos β+cos αsin β．
运用差角的余弦公式C（α+β）及诱导公式，可得
sin（α–β）=cos[–（α–β）]
=cos[（–α）+β]=cos（–α）cos β–sin（–α）sin β=sin αcos β–cos αsin β．
4．两角和与差的正切公式
（1）公式内容：tan（α±β）=____________________（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．简记为T（α±β）．
（2）公式推导：
当cos（α+β）≠0时，将公式S（α+β），C（α+β）的两边分别相除，
有tan（α+β）=，
若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos αcos β，
得tan（α+β）=．
在T（α+β）中，将β用–β来替换，可得tan（α–β）=tan[α+（–β）]==．
5．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α=____________________．
（2）C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=____________________=1–2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=____________________（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）．
6．二倍角公式的变形应用
（1）倍角公式的逆用：
S2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α=；
C2α：cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α=cos 2α；
T2α：=tan 2α；=tan 2α（）．
（2）配方变形：1±sin 2α=±2sin αcos α=（sin α±cos α）2．
（3）因式分解变形：cos 2α=cos2α–sin2α=（cos α+sin α）（cos α–sin α）
（4）升幂公式：
1+cos α=2cos2；1–cos α=2sin2；
1+sin α=（sin+cos）2；1–sin α=（sin–cos）2．
（5）降幂公式：
sin2α=；cos2α=；sin αcos α=sin 2α．
（6）三倍角公式：
sin 3α=3sin α–4sin3α；
cos 3α=4cos3α–3cos α；
（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）
tan 3α=．
知识参考答案：
1．cos αcos β+sin αsin β 2．cos αcos β–sin αsin β
3．sin αcos β±cos αsin β 4．
5．（1）2sin αcos α（2）2cos2α–1（3）
重点
重点
1．熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
难点
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
易错
掌握三角函数的和差公式，二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键．
1．两角和与差的正、余弦公式
【例1】cos的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】cos=cos（）=cos+sin．故选C．
【解题必备】S（α±β）：sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β．
C（α±β）：cos（α±β）=cos αcos βsin αsin β．
【例2】求值：sin460°sin（–160°）+cos560°cos（–280°）．
【答案】–
【解析】sin460°sin（–160°）+cos560°cos（–280°）
=–sin100°sin160°+cos200°cos280°
=–sin80°sin20°–cos20°cos80°
=–（cos80°cos20°+sin80°sin20°）
=–cos（80°–20°）
=–cos60°
=–．
2．两角和与差的正切公式
【例3】已知，则tanα=__________．
【答案】
【解析】由，得
tanα=====．
【解题必备】T（α±β）：tan（α±β）=（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
【例4】已知，则tan2α=
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴cos2α–sin2α=，又∵cos2α+sin2α=1，∴cos2α=，sin2α=，
∴tan2α=．故选D．
【解题必备】S2α：sin 2α=2sin αcos α．
C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α．
T2α：tan 2α=（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）．
【例5】若tan（α+）=–3，则cos2α+2sin2α=
A． B．1
C．– D．–
【答案】B
【解析】由tan（α+）==–3，解得tanα=2，
∴cos2α+2sin2α=+ +==1．故选B．
4．三角函数式的化简
（1）三角函数式的化简原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式．
②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
（2）三角函数式的化简要求
①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
②式子中的分母尽量不含三角函数；
③尽量使被开方数不含三角函数等．
（3）三角函数式的化简方法
①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
②“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
【例6】已知cos（x–）=，则cosx+cos（x–）=
A．–1 B．1
C． D．
【答案】B
【解析】∵cos（x–）=，∴cosx+cos（x–）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x–）==1．故选B．
【例7】已知cos（+x）=，若π
【解析】解法一：由π
所以cosx=cos[（+x）–]
=cos（+x）cos+sin（+x）sin
=××
=–，
从而sinx=–，tanx=7．
则
=
=
=–．
解法二：由解法一得tan（+x）=–．
又sin2x=–cos（+2x）=–cos2（+x）=–2cos2（+x）+1=–+1=．
则
=
=
=
=sin2x·
=sin2x·tan（x+）
=×（–）
=–．
5．求角时选择三角函数类型不当导致错误
【例8】已知sinα=，sinβ=，α和β都是锐角，则α+β=
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为α和β都是锐角，且sinα=，sinβ=，所以cosα=，cosβ=，cos（α+β）=cosαcosβ–sinαsinβ=×–×=．又α+β∈（0，π），所以α+β=．故选A．
基础训练
1．sin15°+cos15°的值为
A． B．
C． D．
2．若sinαsinβ=1，则cos（α–β）的值为
A．0 B．1
C．±1 D．–1
3．把可化简为
A． B．
C． D．
4．计算sin15°sin75°的结果是
A． B．
C． D．
5．已知，则=
A． B．
C． D．
6．已知直线3x–y+1=0的倾斜角为α，则tan（α+）=
A．–2 B．–
C．2 D．
7．已知sin（α+）=，则cos2α=
A．– B．
C．– D．
8．=
A． B．
C．– D．–
9．已知α，β为第二象限的角，cos（）=，sin（β+）=，则sin（α+β）的值为
A． B．–
C． D．
10．若2tanα=1，tanβ=–2，则tan（α+β）=__________．
11．若2tanα=tan420°，则=__________．
12．计算：sin163°sin223°+sin253°sin313°．
能力提升
13．已知sin（α–）=，则cos（α+）+sin（α+）=
A．0 B．
C．– D．
14．化简cos2（）–cos2（+）=
A．–sinx B．sinx
C．–cosx D．cosx
15．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（–1，–2），则tan2θ等于
A． B．–
C． D．–
16．若=3，则cos2α=
A．– B．–
C． D．
17．已知sin（–α）=，则cos（2α+）=
A．– B．–
C． D．
18．若，则的值为
A． B．
C． D．
19．若，，则sin2αcosβ=
A． B．
C． D．
20．已知cosα=，cos（α–β）=，且0<β<α<，那么β=
A． B．
C． D．
21．若，则的值为
A． B．
C． D．
22．已知，．
（1）求的值；
（2）求tan2α的值．
23．（1）设α为锐角，若cos（）=，求sin（2）的值；
（2）已知：cos（+α）=3sin（），求的值．
24．已知，．
（1）求tan2α的值；
（2）求的值．
25．已知α，β都是锐角，sinα=，sin（2α–β）=．
（1）求cosβ的值；
（2）求sin（α–β）的值．
真题练习
26．[2018全国卷Ⅲ文]已知sinα–cosα=，则sin2α=
A． B．
C． D．
27．[2019山东模拟]函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是
A． B．π
C． D．2π
28．[2018全国卷Ⅰ文]已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ）=__________．
29．[2019浙江模拟]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13
A
B
D
B
B
A
A
A
B
C
14
15
16
17
18
19
20
21
26
27
A
D
B
D
D
B
C
B
A
B
1．【答案】A
【解析】解法一：sin15°+cos15°=，故选A．
解法二：（sin15°+cos15°）2=，所以sin15°+cos15°的值为，故选A．
2．【答案】B
【解析】由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，∴cos（α–β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0+1=1．故选B．
3．【答案】D
【解析】=sinxcos–cosxsin–（sinxcos+cosxsin）=–2cosxsin=–cosx．故选D．
4．【答案】B
【解析】sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．故选B．
5．【答案】B
【解析】∵，∴．故选B．
6．【答案】A
【解析】∵直线3x–y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，则tan（α+）==–2，故选A．
7．【答案】A
【解析】sin（α+）==cosα，则cos2α=2cos2α–1=2×–1=–，故选A．
8．【答案】A
【解析】=sin30°=．故选A．
9．【答案】B
【解析】∵α，β为第二象限的角，cos（）=，sin（β+）=，
∴为钝角，β+为钝角，
∴sin（）=，cos（β+）=–=–，
则sin（α+β）=sin[（）+（β+）]
=sin（）cos（β+）+cos（）cos（）=+（–）?=–，
故选B．
10．【答案】
【解析】∵2tanα=1，∴tan，又tanβ=–2，∴tan（α+β）=．故答案为：．
11．【答案】
【解析】∵2tanα=tan420°=tan60°=，∴tanα=，∴=–3，故答案为：．
12．【答案】
【解析】sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin（180°–17°）sin（180°+43°）+sin（180°+73°）sin（360°–47°）
=–sin17°sin43°+sin73°sin47°
=–sin17°sin43°+cos17°cos43°
=cos（17°+43°）
=cos60°
=．
13．【答案】C
【解析】由于sin（α–）=，则=–cos（）=–，所以cos（α+）+sin（α+）===2cos（）=–，故选C．
14．【答案】A
【解析】cos2（）–cos2（+）=
=[cosxcos+sinxsin–（cosxcos–sinxsin）]
=?2sinxsin=–?2?sinxsin=–sinx，故选A．
15．【答案】D
【解析】∵角θ的终边经过点P（–1，–2），∴x=–1，y=–2，r=|OP|=，
∴sinθ=，cosθ=，tanθ==2，则tan2θ==–．故选D．
16．【答案】B
【解析】若=3，则tanα=8，∴cos2α==–，故选B．
17．【答案】D
【解析】∵sin（–α）=，则cos（2α+）=–cos[π–（2α+）]=–cos（–2α）=–1+2，故选D．
18．【答案】D
【解析】∵sin（–x）=–sin（x–）=，∴sin（x–）=–，∴sin（2x+）=sin（2x–+）=cos（2x–）=cos[2（x–）]=1–2sin2（x–）=1–2×（–）2=–．故选D．
19．【答案】B
【解析】由，可得sin2αcosβ–cos2αsinβ=；由，可得sin2αcosβ+cos2αsinβ=．两式相加，得2sin2αcosβ=，所以sin2αcosβ=．故选B．
20．【答案】C
【解析】由0<β<α<，得到0<α–β<，因为cosα=，cos（α–β）=cos（β–α）=，所以sinα=，sin（β–α）=–sin（α–β）=–=–，则cosβ=cos[（β–α）+α]=cos（β–α）cosα–sin（β–α）sinα=×–（–）×，所以β=．故选C．
21．【答案】B
【解析】∵，∴cos（）=，∴=cos2（）=．故选B．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴sin，
∴=cosαcos+sinαsin；
（2）∵tanα=，
∴tan2α=．
23．【解析】（1）因为α为锐角，cos（）=，
所以sin（）=，
则sin（2）=2sin（）cos（）=2．
（2）由已知得cos（+α）=3sin（），
则–sinα=–3sin（），
即sinα=3sin（），
所以sin[（）–]=–3sin[（）+]，
所以，
整理得：．
24．【解析】（1）由，，
得cosα=–，∴．
∴；
（2）∵，
，
∴
．
25．【解析】因为α，β都是锐角，
所以，
且，
所以，
，
（1）
；
（2）
．
26．【答案】A
【解析】将sinα–cosα=的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=，即sin2α=，故选A．
27．【答案】B
【解析】通性通法由题意，得f（x）=3sinxcosxsin2x+cos2x–sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．故该函数的最小正周期T==π．故选B．
光速解法由题意，得f（x）=2sin（x+）×2cos（x+）=2sin（2x+）．故该函数的最小正周期T==π．故选B．
28．【答案】
【解析】方法一：因为sin（θ+）=，所以cos（θ）=sin[+（θ）]=sin（θ+）=，因为θ为第四象限角，所以+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以sin（θ）==，所以tan（θ）==．
方法二：因为θ是第四象限角，且sin（θ+）=，所以θ+为第一象限角，所以cos（θ+）=，所以tan（θ）====．
29．【解析】（1）由角α的终边过点P（，），得sinα=，
所以sin（α+π）=–sinα=．
（2）由角α的终边过点P（，），得cosα=，
由sin（α+β）=，
得cos（α+β）=±．
由β=（α+β）–α，
得cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，
所以cosβ=或cosβ=．