人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 简单的三角恒等变换
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 简单的三角恒等变换 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 422.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-02 12:09:12 | ||
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文档简介
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
知识
1．半角公式
sin=±；
cos=±；
tan=±==．
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
2．积化和差与和差化积公式（不要求记忆）
（1）积化和差公式：
sinα+sinβ=2sin；
sinα–sinβ=2；
cosα+cosβ=2cos；
cosα–cosβ=–2sin．
（2）和差化积公式：
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α–β)]；
cos αsin β=[sin(α+β)–sin(α–β)]；
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α–β)]；
sin αsin β=–[cos(α+β)–cos(α–β)]．
3．辅助角公式
asin x+bcos x=____________________,其中cos φ=,sin φ=．
其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．
4．三角函数式的化简与证明
（1）化简原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式．
②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
（2）化简要求
①使三角函数式的项数____________________、次数____________________、角与函数名称的种类____________________；
②式子中的分母尽量不含三角函数；
③尽量使被开方数不含三角函数等．
（3）化简方法
①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
②“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
（4）化简技巧
①角的代换：常用拆角、拼角技巧，例如，
2α=（α+β）+（α–β）；
α=（α+β）–β=（α–β）+β；
β=–=（α+2β）–（α+β）；
α–（α–γ）+（γ–β）；
15°=45°–30°；
+α=–（–α）等．
②公式变换
tan α±tan β=____________________；
tan α·tan β=____________________= –1；
sin 2α==；
cos 2α==．
③常值代换
1=；1=；1=；等．
知识参考答案：
3．sin(x+φ)
4．（2）①最少 最低 最少（4）②tan（α±β）（1tan αtan β） 1–
重点
重点
1．三角函数的化简；
2．三角函数的求值；
难点
三角恒等变换的常用技巧；
易错
通过恒等变换研究函数的性质等．
1．三角函数的化简
（1）化简三角函数式的要求：
①能求出值的应求出值；
②使三角函数的种类尽量少；
③使式子中的项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
（2）化简三角函数式的技巧：
①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异．
②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换．
③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角：
函数结构形式的差异，借助于以下几种途径进行变换
（a）常值代换，如“1”的代换．
（b）变形公式，如tan α·tan β= –1．
（c）升降幂公式，如1+cos α=2cos2；1–cos α=2sin2；sin2α=；cos2α=；sin αcos α=sin 2α．
【例1】化简：．
【答案】1
【解析】解法一：原式=
=
=
=1．
解法二：原式=
=
=
=
=1．
【例2】求值：（1）；
（2）．
【答案】（1）．（2）–4．
【解析】（1）原式====．
（2）原式=
=
=
=
=–4．
2．三角函数的证明
恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．
（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（由因导果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；
（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件及欲证式中左右两边三角函数式的区别和联系，灵活地使用条件变形得证．
【例3】求证：sinα+sinβ=2sin．
【答案】证明详见解析．
【解析】令a=，b=，则α=a+b，β=a–b
sin（a+b）=sinacosb+cosasinb
sin（a–b）=sinacosb–cosasinb
两式相加得：
sin（a+b）+sin（a–b）=2sinacosb
∴sinα+sinβ=2sin．
【例4】已知锐角α，β满足tan（α–β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ．
【答案】证明详见解析．
【解析】∵tan（α–β）=sin2β，，
，
∴，去分母整理得：．
∴．
∴2tan2β=tanα+tanβ．
3．辅助角公式的应用
利用辅助角公式将含有两种三角函数的函数式化成含有一种三角函数的形式：
asinα+bcosα=sin（α+φ）（其中sinφ=，cosφ=）．
这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容．
【例5】已知函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（0≤φ<π），求f（x）的值域．
【答案】[0，1]．
【解析】函数f（x）=cos（2x+）+sin2x
=（cos2xcos–sin2xsin）+
=（cos2x–sin2x）+cos2x
=cos2x–sin2x+
=（cos2x–sin2x）+
=cos（2x+）+，
由–1≤cos（2x+）≤1，得0≤cos（2x+）+≤1，
∴f（x）的值域为[0，1]．
【例6】求函数y=的值域．
【答案】[0，]
【解析】由原函数得sinx–ycosx=1–2y，
∴sin（x–φ）=1–2y（其中cosφ=，sinφ=），
∴sin（x–φ）=，由三角函数的有界性可知sin（x–φ）∈[–1，1]，
∴|1–2y|≤，
∴3y2–4y≤0，∴0≤y≤，
∴原函数的值域为[0，]．
4．忽视条件中隐含的角的范围导致错误
【例7】若sin2α=，sin（β–α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为α∈[，π]，所以2α∈[，2π]．又sin2α=，故2α∈[，π]，所以α∈[，]，所以cos2α=–．又β∈[π，]，所以β–α∈[，]，且α+β∈[，2π]，于是cos（β–α）=–，所以cos（α+β）=cos[2α+（β–α）]=cos2αcos（β–α）–sin2αsin（β–α）=–×（–）–×=，故α+β=．故选A．
基础训练
1．已知sinx+cosx=2a–3，则a的取值范围是
A．≤a≤ B．a≤
C．a> D．–≤a≤–
2．函数y=cos2x–sin2x的一条对称轴为
A．x= B．x=
C．x=– D．x=–
3．sin415°–cos415°=
A． B．
C． D．
4．已知sin（–α）=，则cos（2α+）=
A．– B．
C． D．–
5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），其中，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
A．f（x）在上单调递减 B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增 D．f（x）在上单调递增
6．已知tana=3，则cos（2α+）=
A．– B．
C．– D．
7．已知sin2，则2cos2（）=__________．
8．若sinα+cosα=，α∈（，π）则sinα–cosα=___________．
9．已知锐角α，β满足（tanα–1）（tanβ–1）=2，则α+β的值为__________．
10．已知，则tan（α+β）的值为__________．
11．已知，那么=
A． B．
C． D．
12．已知α为锐角，且tan（α+）=2，则sin2α=
A． B．
C． D．
13．若，则的值为
A． B．
C． D．
14．已知，则=
A． B．
C． D．
15．函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是
A． B．
C．1 D．
16．若cosα=2cos（α+），则tan（α+）=___________．
17．已知tanθ=–2，则=___________．
18．已知若0，–<β<0，cos（+α）=，cos（）=．
（1）求cosα的值；
（2）求的值．
19．已知f（x）=sin2（x+）–sin2（x+）．
（1）求f（）的值；
（2）求f（x）在区间[0，]上的取值范围．
20．求证：tan–tan．
21．已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α–1．
22．已知函数．
（1）若，求sinα–cosα的值；
（2）设函数g（x）=，求函数g（x）的值域．
23．已知函数f（x）=5sinxcosx+5cos2x+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当≤x≤时，求函数f（x）的值域．．
真题练习
24．[2018全国Ⅱ卷文]若f（x）=cosx–sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是
A． B．
C． D．π
25．[2019天津模拟]已知函数f（x）=sin2+sinωx（ω>0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是
A．（0，] B．（0，]∪[，1）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
26．[2019天津模拟]设函数f（x）=sin（ωx）+sin（ωx），其中0<ω<3．已知f（）=0．
（1）求ω；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[，]上的最小值．
27．[2019北京卷文]已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．
28．[2019山东模拟]已知函数f（x）=4tanx·sin（–x）·cos（x–）–．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[–，]上的单调性．
参考答案
1
2
3
4
5
6
11
12
13
14
15
24
25
A
C
D
A
B
C
A
C
A
A
A
C
D
1．【答案】A
【解析】∵sinx+cosx=2a–3，∴sinx+cosx=a–，即sin（x+）=a–．再由–1≤sin（x+）≤1，可得–1≤a–≤1，解得≤a≤，故选A．
2．【答案】C
【解析】y=cos2x–sin2x=×（cos2x–sin2x）=（coscos2x–sinsin2x）=cos（2x+），令2x+=kπ可得该函数的对称轴为x=，k∈Z，结合选项可知，当k=0时，函数的一条对称轴为x=–，故选C．
3．【答案】D
【解析】sin415°–cos415°=sin215°–cos215°=–cos30°=–．故选D．
4．【答案】A
【解析】∵sin（–α）=，∴cos（2α+）=–cos（π––2α）=–cos（–2α）=–1+2sin2（–α）=–1+2×（）2=–．故选A．
5．【答案】B
【解析】函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=，
由于函数是奇函数，其中，则φ=–，
直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
则，解得ω=4，故函数的关系式为f（x）=．
令（k∈Z），解得（k∈Z），
当k=0时，函数的单调递减区间为：[]，故选B．
6．【答案】C
【解析】由tana=3，得cos（2α+）=–sin2α=–=．故选C．
7．【答案】
【解析】∵sin2，∴2cos2（）==1+sin2α=．故答案为：．
8．【答案】
【解析】根据题意，sinα+cosα=，则有（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，
变形可得2sinαcosα=，
则（sinα–cosα）2=1–2sinαcosα=1+，变形可得sinα–cosα=±；
又由α是第二象限角，则sinα>0，且cosα<0，
则sinα–cosα=．故答案为：．
9．【答案】
【解析】由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：tanαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=═–1，
∵锐角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．
10．【答案】
【解析】由，得，
由，得，两式相除，得，
则．故答案为：．
11．【答案】A
【解析】∵已知，∴=2sin（2α+）=2cos（–2α）=2[1–2]=2（1–2×）=，故选A．
12．【答案】C
【解析】α为锐角，且tan（α+）=2，∴tan2（α+）==–，
又tan2（α+）=tan（2α+）=，∴=–，解得tan2α=7，
∴sin2α=7cos2α，①
又sin22α+cos22α=1，②
由①②解得sin2α=±，又0<2α<π，∴tan2α=．故选C．
13．【答案】A
【解析】由，得，
∴，得，∵α∈（），∴2α∈（），
又sin22α+cos22α=1，得sin2α=，cos2α=．
∴=sin2αcos+cos2αsin=．故选A．
14．【答案】A
【解析】由sin2α=1–cos2α=（1–cosα）（1+cosα），得，∵，∴，则．故选A．
15．【答案】A
【解析】f（x）=sin（x+）+cos（x–）=（sinxcoscosxsin）+cosxcos+sinxsin===．∴函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是．故选A．
16．【答案】3（+1）
【解析】∵cosα=2cos（α+），∴cos（α+）=2cos（α++），
∴cos（α+）cos+sin（α+）sin=2cos（α+）cos–2sin（α+）sin，
化为：cos（α+）cos=3sin（α+）sin，
∴tan（α+）=，∵=1，解得–1．
∴tan（α+）==3（+1），故答案为：3（+1）．
17．【答案】–3
【解析】已知tanθ=–2，由．故答案为：–3．
18．【解析】（1）∵，∴．
∵，∴，
∴
．
（2）∵，∴．∵，∴，
∴
．
19．【解析】（1）f（x）=sin2（x+）–sin2（x+）
=cos（2x+）–cos（2x+）
=cos（2x+）+sin2x
=（cos2xcos–sin2xsin）+sin2x
=cos2x+sin2x=sin（2x+），
∴f（）=．
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
从而sin（2x+）∈[–，1]，所以f（x）∈[–，]．
即f（x）在区间[0，]上的取值范围为[–，]．
20．【解析】左边=tan–tan=
=
=
=
==右边．
∴原式成立．
21．【解析】方法一：∵tan2α=2tan2β+1，
即，
?sin2αcos2β=2sin2βcos2α+cos2αcos2β
?sin2αcos2β–sin2βcos2α=sin2βcos2α+cos2αcos2β
?（sinαcosβ+sinβcosα）（sinαcosβ–sinβcosα）=cos2α
?sin（α+β）sin（α–β）=cos2α
?–cos2αcos2β=cos2α
?cos2β–cos2α=2cos2α
?1–2sin2β–1+2sin2α=2cos2α
?sin2β=2sin2α–1．
得证．
法二：∴tan2α=2tan2β+1，
tan2α+1=2（tan2β+1）
即=2，
可得．
可得cos2β=2cos2α．
∴1–cos2β=2（1–sin2α）
即sin2β=2sin2α–1．
得证．
22．【解析】（1）∵f（α）=sin（α–）=sinαcos–cosαsin（sinα–cosα）=，
∴sinα–cosα=，
（2）g（x）=2[（sinα–cosα）]2+cos2xcos–sin2xsin
=1–sin2x+cos2x–sin2x
=–sin2x+cos2x
=–sin（2x–）+1∈[–+1，+1]，
所以g（x）的值域为：[–+1，+1]．
23．【解析】（1）f（x）=5sinxcosx+5cos2x+1
=
=，
∴T=；
（2）由，得，
由，可得x=，
∴f（x）=在区间[，]为增函数，在区间[，]为减函数，
又f（）=，
f（）=，f（）=，
∴当≤x≤时，函数f（x）的值域为[1，]．
24．【答案】C
【解析】f（x）=cosx–sinx=cos（x+）．当x∈[0，a]时，x+∈[，a+]，所以结合题意可知，a+≤π，即a≤，故所求a的最大值是．故选C．
【解题关键】灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin（ωx+φ）（ω>0），y=Acos（ωx+φ）（ω>0），y=Atan（ωx+φ）（ω>0）的三角函数问题的关键．具体问题中，先将“ωx+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解．
25．【答案】D
【解析】方法一：f（x）=（1–cosωx）+sinωx=sinωxcosωx=sin（ωx），当ω=时，f（x）=sin（x），x∈（π，2π）时，f（x）∈（，]，无零点，排除A，B；当ω=时，f（x）=sin（x），x∈（π，2π）时，f（）=0，有零点，排除C．故选D．
方法二：由方法一，得f（x）=sin（ωx），因为函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
所以，即，所以①
或②，解①得（k∈Z），因为0<ω≤1，所以k=0，≤ω≤，解②得（k∈Z），因为0<ω≤1，所以k=0，0<ω≤，综上，ω的取值范围是（0，]∪[，]．
26．【解析】（1）因为f（x）=sin（ωx）+sin（ωx），
所以f（x）=sinωxcosωx–cosωx
=sinωxcosωx=（sinωxcosωx）
=sin（ωx）．
由题设知f（）=0，所以=kπ，k∈Z．
故ω=6k+2，k∈Z．又0<ω<3，所以ω=2．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x），
所以g（x）=sin（x+）=sin（x）．
因为x∈[，]，
所以x∈[，]，当x=，即x=时，g（x）取得最小值．
27．【解析】（1）f（x）=cos2x+sin2x
=sin（2x）+．
所以f（x）的最小正周期为T==π．
（2）由（1）知f（x）=sin（2x）+．
由题意知≤x≤m．
所以≤2x≤2m．
要使得f（x）在[，m]上的最大值为，即sin（2x）在[，m]上的最大值为1，
则有2m≥，即m≥，
所以m的最小值为．
28．【解析】（1）f（x）的定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}．
f（x）=4tanxcosxcos（x–）–
=4sinxcos（x–）–
=4sinx（cosx+sinx）–
=2sinxcosx+2sin2x–
=sin2x+（1–cos2x）–
=sin2x–cos2x
=2sin（2x–）．
所以f（x）的最小正周期T==π．
（2）令z=2x–，函数y=2sinz的单调递增区间是[–+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
由–+2kπ≤2x–≤+2kπ，
得–+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
设A=[–，]，B={x|–+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}，易知A∩B=[–，]．
所以，当x∈[–，]时，f（x）在区间[–，]上单调递增，在区间[–，–]上单调递减．
3.2 简单的三角恒等变换
知识
1．半角公式
sin=±；
cos=±；
tan=±==．
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
2．积化和差与和差化积公式（不要求记忆）
（1）积化和差公式：
sinα+sinβ=2sin；
sinα–sinβ=2；
cosα+cosβ=2cos；
cosα–cosβ=–2sin．
（2）和差化积公式：
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α–β)]；
cos αsin β=[sin(α+β)–sin(α–β)]；
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α–β)]；
sin αsin β=–[cos(α+β)–cos(α–β)]．
3．辅助角公式
asin x+bcos x=____________________,其中cos φ=,sin φ=．
其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．
4．三角函数式的化简与证明
（1）化简原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式．
②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
（2）化简要求
①使三角函数式的项数____________________、次数____________________、角与函数名称的种类____________________；
②式子中的分母尽量不含三角函数；
③尽量使被开方数不含三角函数等．
（3）化简方法
①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；
②“1”的代换，三角公式的正用、逆用．
（4）化简技巧
①角的代换：常用拆角、拼角技巧，例如，
2α=（α+β）+（α–β）；
α=（α+β）–β=（α–β）+β；
β=–=（α+2β）–（α+β）；
α–（α–γ）+（γ–β）；
15°=45°–30°；
+α=–（–α）等．
②公式变换
tan α±tan β=____________________；
tan α·tan β=____________________= –1；
sin 2α==；
cos 2α==．
③常值代换
1=；1=；1=；等．
知识参考答案：
3．sin(x+φ)
4．（2）①最少 最低 最少（4）②tan（α±β）（1tan αtan β） 1–
重点
重点
1．三角函数的化简；
2．三角函数的求值；
难点
三角恒等变换的常用技巧；
易错
通过恒等变换研究函数的性质等．
1．三角函数的化简
（1）化简三角函数式的要求：
①能求出值的应求出值；
②使三角函数的种类尽量少；
③使式子中的项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
（2）化简三角函数式的技巧：
①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异．
②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换．
③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角：
函数结构形式的差异，借助于以下几种途径进行变换
（a）常值代换，如“1”的代换．
（b）变形公式，如tan α·tan β= –1．
（c）升降幂公式，如1+cos α=2cos2；1–cos α=2sin2；sin2α=；cos2α=；sin αcos α=sin 2α．
【例1】化简：．
【答案】1
【解析】解法一：原式=
=
=
=1．
解法二：原式=
=
=
=
=1．
【例2】求值：（1）；
（2）．
【答案】（1）．（2）–4．
【解析】（1）原式====．
（2）原式=
=
=
=
=–4．
2．三角函数的证明
恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．
（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（由因导果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；
（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件及欲证式中左右两边三角函数式的区别和联系，灵活地使用条件变形得证．
【例3】求证：sinα+sinβ=2sin．
【答案】证明详见解析．
【解析】令a=，b=，则α=a+b，β=a–b
sin（a+b）=sinacosb+cosasinb
sin（a–b）=sinacosb–cosasinb
两式相加得：
sin（a+b）+sin（a–b）=2sinacosb
∴sinα+sinβ=2sin．
【例4】已知锐角α，β满足tan（α–β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ．
【答案】证明详见解析．
【解析】∵tan（α–β）=sin2β，，
，
∴，去分母整理得：．
∴．
∴2tan2β=tanα+tanβ．
3．辅助角公式的应用
利用辅助角公式将含有两种三角函数的函数式化成含有一种三角函数的形式：
asinα+bcosα=sin（α+φ）（其中sinφ=，cosφ=）．
这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容．
【例5】已知函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（0≤φ<π），求f（x）的值域．
【答案】[0，1]．
【解析】函数f（x）=cos（2x+）+sin2x
=（cos2xcos–sin2xsin）+
=（cos2x–sin2x）+cos2x
=cos2x–sin2x+
=（cos2x–sin2x）+
=cos（2x+）+，
由–1≤cos（2x+）≤1，得0≤cos（2x+）+≤1，
∴f（x）的值域为[0，1]．
【例6】求函数y=的值域．
【答案】[0，]
【解析】由原函数得sinx–ycosx=1–2y，
∴sin（x–φ）=1–2y（其中cosφ=，sinφ=），
∴sin（x–φ）=，由三角函数的有界性可知sin（x–φ）∈[–1，1]，
∴|1–2y|≤，
∴3y2–4y≤0，∴0≤y≤，
∴原函数的值域为[0，]．
4．忽视条件中隐含的角的范围导致错误
【例7】若sin2α=，sin（β–α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为α∈[，π]，所以2α∈[，2π]．又sin2α=，故2α∈[，π]，所以α∈[，]，所以cos2α=–．又β∈[π，]，所以β–α∈[，]，且α+β∈[，2π]，于是cos（β–α）=–，所以cos（α+β）=cos[2α+（β–α）]=cos2αcos（β–α）–sin2αsin（β–α）=–×（–）–×=，故α+β=．故选A．
基础训练
1．已知sinx+cosx=2a–3，则a的取值范围是
A．≤a≤ B．a≤
C．a> D．–≤a≤–
2．函数y=cos2x–sin2x的一条对称轴为
A．x= B．x=
C．x=– D．x=–
3．sin415°–cos415°=
A． B．
C． D．
4．已知sin（–α）=，则cos（2α+）=
A．– B．
C． D．–
5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），其中，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
A．f（x）在上单调递减 B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增 D．f（x）在上单调递增
6．已知tana=3，则cos（2α+）=
A．– B．
C．– D．
7．已知sin2，则2cos2（）=__________．
8．若sinα+cosα=，α∈（，π）则sinα–cosα=___________．
9．已知锐角α，β满足（tanα–1）（tanβ–1）=2，则α+β的值为__________．
10．已知，则tan（α+β）的值为__________．
11．已知，那么=
A． B．
C． D．
12．已知α为锐角，且tan（α+）=2，则sin2α=
A． B．
C． D．
13．若，则的值为
A． B．
C． D．
14．已知，则=
A． B．
C． D．
15．函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是
A． B．
C．1 D．
16．若cosα=2cos（α+），则tan（α+）=___________．
17．已知tanθ=–2，则=___________．
18．已知若0，–<β<0，cos（+α）=，cos（）=．
（1）求cosα的值；
（2）求的值．
19．已知f（x）=sin2（x+）–sin2（x+）．
（1）求f（）的值；
（2）求f（x）在区间[0，]上的取值范围．
20．求证：tan–tan．
21．已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α–1．
22．已知函数．
（1）若，求sinα–cosα的值；
（2）设函数g（x）=，求函数g（x）的值域．
23．已知函数f（x）=5sinxcosx+5cos2x+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当≤x≤时，求函数f（x）的值域．．
真题练习
24．[2018全国Ⅱ卷文]若f（x）=cosx–sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是
A． B．
C． D．π
25．[2019天津模拟]已知函数f（x）=sin2+sinωx（ω>0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是
A．（0，] B．（0，]∪[，1）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
26．[2019天津模拟]设函数f（x）=sin（ωx）+sin（ωx），其中0<ω<3．已知f（）=0．
（1）求ω；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[，]上的最小值．
27．[2019北京卷文]已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．
28．[2019山东模拟]已知函数f（x）=4tanx·sin（–x）·cos（x–）–．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[–，]上的单调性．
参考答案
1
2
3
4
5
6
11
12
13
14
15
24
25
A
C
D
A
B
C
A
C
A
A
A
C
D
1．【答案】A
【解析】∵sinx+cosx=2a–3，∴sinx+cosx=a–，即sin（x+）=a–．再由–1≤sin（x+）≤1，可得–1≤a–≤1，解得≤a≤，故选A．
2．【答案】C
【解析】y=cos2x–sin2x=×（cos2x–sin2x）=（coscos2x–sinsin2x）=cos（2x+），令2x+=kπ可得该函数的对称轴为x=，k∈Z，结合选项可知，当k=0时，函数的一条对称轴为x=–，故选C．
3．【答案】D
【解析】sin415°–cos415°=sin215°–cos215°=–cos30°=–．故选D．
4．【答案】A
【解析】∵sin（–α）=，∴cos（2α+）=–cos（π––2α）=–cos（–2α）=–1+2sin2（–α）=–1+2×（）2=–．故选A．
5．【答案】B
【解析】函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=，
由于函数是奇函数，其中，则φ=–，
直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
则，解得ω=4，故函数的关系式为f（x）=．
令（k∈Z），解得（k∈Z），
当k=0时，函数的单调递减区间为：[]，故选B．
6．【答案】C
【解析】由tana=3，得cos（2α+）=–sin2α=–=．故选C．
7．【答案】
【解析】∵sin2，∴2cos2（）==1+sin2α=．故答案为：．
8．【答案】
【解析】根据题意，sinα+cosα=，则有（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，
变形可得2sinαcosα=，
则（sinα–cosα）2=1–2sinαcosα=1+，变形可得sinα–cosα=±；
又由α是第二象限角，则sinα>0，且cosα<0，
则sinα–cosα=．故答案为：．
9．【答案】
【解析】由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：tanαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=═–1，
∵锐角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．
10．【答案】
【解析】由，得，
由，得，两式相除，得，
则．故答案为：．
11．【答案】A
【解析】∵已知，∴=2sin（2α+）=2cos（–2α）=2[1–2]=2（1–2×）=，故选A．
12．【答案】C
【解析】α为锐角，且tan（α+）=2，∴tan2（α+）==–，
又tan2（α+）=tan（2α+）=，∴=–，解得tan2α=7，
∴sin2α=7cos2α，①
又sin22α+cos22α=1，②
由①②解得sin2α=±，又0<2α<π，∴tan2α=．故选C．
13．【答案】A
【解析】由，得，
∴，得，∵α∈（），∴2α∈（），
又sin22α+cos22α=1，得sin2α=，cos2α=．
∴=sin2αcos+cos2αsin=．故选A．
14．【答案】A
【解析】由sin2α=1–cos2α=（1–cosα）（1+cosα），得，∵，∴，则．故选A．
15．【答案】A
【解析】f（x）=sin（x+）+cos（x–）=（sinxcoscosxsin）+cosxcos+sinxsin===．∴函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是．故选A．
16．【答案】3（+1）
【解析】∵cosα=2cos（α+），∴cos（α+）=2cos（α++），
∴cos（α+）cos+sin（α+）sin=2cos（α+）cos–2sin（α+）sin，
化为：cos（α+）cos=3sin（α+）sin，
∴tan（α+）=，∵=1，解得–1．
∴tan（α+）==3（+1），故答案为：3（+1）．
17．【答案】–3
【解析】已知tanθ=–2，由．故答案为：–3．
18．【解析】（1）∵，∴．
∵，∴，
∴
．
（2）∵，∴．∵，∴，
∴
．
19．【解析】（1）f（x）=sin2（x+）–sin2（x+）
=cos（2x+）–cos（2x+）
=cos（2x+）+sin2x
=（cos2xcos–sin2xsin）+sin2x
=cos2x+sin2x=sin（2x+），
∴f（）=．
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
从而sin（2x+）∈[–，1]，所以f（x）∈[–，]．
即f（x）在区间[0，]上的取值范围为[–，]．
20．【解析】左边=tan–tan=
=
=
=
==右边．
∴原式成立．
21．【解析】方法一：∵tan2α=2tan2β+1，
即，
?sin2αcos2β=2sin2βcos2α+cos2αcos2β
?sin2αcos2β–sin2βcos2α=sin2βcos2α+cos2αcos2β
?（sinαcosβ+sinβcosα）（sinαcosβ–sinβcosα）=cos2α
?sin（α+β）sin（α–β）=cos2α
?–cos2αcos2β=cos2α
?cos2β–cos2α=2cos2α
?1–2sin2β–1+2sin2α=2cos2α
?sin2β=2sin2α–1．
得证．
法二：∴tan2α=2tan2β+1，
tan2α+1=2（tan2β+1）
即=2，
可得．
可得cos2β=2cos2α．
∴1–cos2β=2（1–sin2α）
即sin2β=2sin2α–1．
得证．
22．【解析】（1）∵f（α）=sin（α–）=sinαcos–cosαsin（sinα–cosα）=，
∴sinα–cosα=，
（2）g（x）=2[（sinα–cosα）]2+cos2xcos–sin2xsin
=1–sin2x+cos2x–sin2x
=–sin2x+cos2x
=–sin（2x–）+1∈[–+1，+1]，
所以g（x）的值域为：[–+1，+1]．
23．【解析】（1）f（x）=5sinxcosx+5cos2x+1
=
=，
∴T=；
（2）由，得，
由，可得x=，
∴f（x）=在区间[，]为增函数，在区间[，]为减函数，
又f（）=，
f（）=，f（）=，
∴当≤x≤时，函数f（x）的值域为[1，]．
24．【答案】C
【解析】f（x）=cosx–sinx=cos（x+）．当x∈[0，a]时，x+∈[，a+]，所以结合题意可知，a+≤π，即a≤，故所求a的最大值是．故选C．
【解题关键】灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin（ωx+φ）（ω>0），y=Acos（ωx+φ）（ω>0），y=Atan（ωx+φ）（ω>0）的三角函数问题的关键．具体问题中，先将“ωx+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解．
25．【答案】D
【解析】方法一：f（x）=（1–cosωx）+sinωx=sinωxcosωx=sin（ωx），当ω=时，f（x）=sin（x），x∈（π，2π）时，f（x）∈（，]，无零点，排除A，B；当ω=时，f（x）=sin（x），x∈（π，2π）时，f（）=0，有零点，排除C．故选D．
方法二：由方法一，得f（x）=sin（ωx），因为函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
所以，即，所以①
或②，解①得（k∈Z），因为0<ω≤1，所以k=0，≤ω≤，解②得（k∈Z），因为0<ω≤1，所以k=0，0<ω≤，综上，ω的取值范围是（0，]∪[，]．
26．【解析】（1）因为f（x）=sin（ωx）+sin（ωx），
所以f（x）=sinωxcosωx–cosωx
=sinωxcosωx=（sinωxcosωx）
=sin（ωx）．
由题设知f（）=0，所以=kπ，k∈Z．
故ω=6k+2，k∈Z．又0<ω<3，所以ω=2．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x），
所以g（x）=sin（x+）=sin（x）．
因为x∈[，]，
所以x∈[，]，当x=，即x=时，g（x）取得最小值．
27．【解析】（1）f（x）=cos2x+sin2x
=sin（2x）+．
所以f（x）的最小正周期为T==π．
（2）由（1）知f（x）=sin（2x）+．
由题意知≤x≤m．
所以≤2x≤2m．
要使得f（x）在[，m]上的最大值为，即sin（2x）在[，m]上的最大值为1，
则有2m≥，即m≥，
所以m的最小值为．
28．【解析】（1）f（x）的定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}．
f（x）=4tanxcosxcos（x–）–
=4sinxcos（x–）–
=4sinx（cosx+sinx）–
=2sinxcosx+2sin2x–
=sin2x+（1–cos2x）–
=sin2x–cos2x
=2sin（2x–）．
所以f（x）的最小正周期T==π．
（2）令z=2x–，函数y=2sinz的单调递增区间是[–+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
由–+2kπ≤2x–≤+2kπ，
得–+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
设A=[–，]，B={x|–+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}，易知A∩B=[–，]．
所以，当x∈[–，]时，f（x）在区间[–，]上单调递增，在区间[–，–]上单调递减．