人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
自主预习 基础达标
要点1 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等；可用来证明两线段相等.
要点2 线段垂直平分线的判定
1. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上.
2. 作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等.
课后集训 巩固提升
1. 点P是△ABC边AB的垂直平分线上的点，则一定有( )
A. PA＝PB B. PA＝PC
C. 点P到∠ACB的两边的距离相等 D. PB＝PC
2. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A. AB＝AD B. CA平分∠BCD
C. AB＝BD D. △BEC≌△DEC
第2题 第3题
3. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 如图，已知AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有( )
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是( )
A. DE＝DC B. AD＝DB C. AD＝BC D. BC＝AE
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第6题 第7题
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段 .
8. 小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .
第8题 第9题
9. 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在 的垂直平分线上.
10. 如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点.
求证：BE＝CE.
11. 如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长.
12. 如图，AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过P向AB，AC作垂线PD，PE，垂足分别为D，E，连接DE.
求证：AF垂直平分DE.
13. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.
求证：AE＝AF.
14. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
15. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝a，DE垂直平分线段AB，交AB于点D，交AC于点E，△ABC的周长为b，求△BCE的周长.
(1)一变：如图所示，直线DE是线段AB的一条对称轴，点C在直线DE外，CA与DE相交于点E，连接BC，BE，如果CA＋CB＝4cm，那么△BCE的周长是多少？
(2)二变：如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为15cm，求△ABC的周长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 两个端点
要点2 1. 垂直平分线
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B
7. BE＝EA(答案不唯一)
8. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
9. AC
10. 证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵DB＝DC，∴点D也在线段BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC，∵E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE.
11. 解：∵DE是AB的垂直平分线.∴AE＝BE.同理：AG＝CG.∴△AEG的周长为AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
12. 证明：∵AF平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，∴点P在DE的垂直平分线上.在Rt△PAE和Rt△PAD中，∴Rt△PAE≌Rt△PAD(HL)，∴AE＝AD，∴点A在DE的垂直平分线上，∴AF垂直平分DE.
13. 证明：连接CE，∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.在△AOE和△COF中，∵∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF.又∵AC⊥EF，∴AC垂直平分EF.∴AE＝AF.
14. 证明：(1)∵AD∥BC，∴ ∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴ △ADE≌△FCE(ASA).∴ FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴ BE是线段AF的垂直平分线.∴ AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD.
15. 解：∵点E在线段AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，∴BE＋EC＝AE＋EC＝a.又∵△ABC的周长为b，AB＝AC＝a，∴BC＝b－2a.∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝a＋(b－2a)＝b－a.
(1)∵直线DE是线段AB的一条对称轴，∴EB＝EA.∵△BCE的周长为BE＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝CA＋BC.又∵CA＋CB＝4cm.∴△BCE的周长是4cm.
(2)∵ED是线段AB的垂直平分线，∴EB＝EA.∵△BCE的周长为EB＋CE＋BC＝EA＋CE＋BC＝AC＋BC＝15cm.又∵AB＝8cm，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋15＝23(cm).
