双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
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知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图 形 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W393.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W394.TIF" \* MERGEFORMAT
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e)＋eq \f(1,e)＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
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2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
答案 6
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4.(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
答案 B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析 由题意可得＝，所以a＝5.
答案 5
6.(2018·北京卷)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
解析 由题意可得，＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案 4
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考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
(2)(2019·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
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根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案 (1)C (2)x2－＝1(x≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A.2a2 B.a2
C.30a2 D.15a2
(2)(2019·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3
解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cos ∠F1AF2＝
＝＝.
又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝，
∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.
(2)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
答案 (1)B (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 (1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2018·海南二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－＝1
C.x2－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为________________.
解析 (1)由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得
∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为－＝1.
答案 (1)C (2)－＝1
考点三 双曲线的性质 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析 法一 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二 由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，则3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 因为F1(－，0)，F2(，0)，eq \f(x,2)－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2019·安阳二模)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析 (1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，
则＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝，
又e>1，故e＝.
(2)对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4答案 (1)B (2)(0，2)
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[思维升华]
已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 B
2.(2019·重庆九校联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率e＝＝.
答案 A
3.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
解析 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
答案 D
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题意可知e＝＝，可得＝，
取一条渐近线为y＝x，
可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，由题意可得ab＝，
联立解得
所以双曲线的方程为－＝1.
答案 C
5.(2019·呼和浩特质检)已知F2，F1是双曲线－＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2为等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos 120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，亦即c2＝7a2，则b＝＝＝a，由此可得双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案 D
二、填空题
6.(2018·沈阳模拟)直线l：y＝2x＋10过双曲线－＝1(a>0，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________.
解析 由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，＝2，
又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，
所以双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
7.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，
代入双曲线方程解得B.
∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·2·＝.
答案
8.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝a，所以e＝＝.
答案
三、解答题
9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10.设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标.
解 (1)由题意知a＝2，
∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2.
又＋＝t，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，其中Δ＝(16)2－4×84>0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x,12)－\f(y,3)＝1.))解得
∴t＝4，点D的坐标为(4，3).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.
由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝
a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案 D
12.(2019·广东六校联考)已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[，＋] B.[2，＋1]
C.[2，＋] D.[，＋1]
解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S216.TIF" \* MERGEFORMAT
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，
∴r1r2＝2·c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，
∴e2＝，又∵β∈，∴sin 2β∈，∴e2＝∈[2，(＋1)2].
又e>1，∴e∈[，＋1].
答案 D
13.(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18gs67.TIF" \* MERGEFORMAT
由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或 e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1.∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
答案 －1 2
14.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
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知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
[微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
基 础 自 测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( )
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.( )
解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.
(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
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2.(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
答案 C
3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
解析 法一 直线l的方程为y＝x＋1，
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
法二 如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AD|＝p＋|AF|sin 60°，即|AF|＝＝.
同理，|BF|＝，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝16.
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答案 16
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考题体验.TIF" \* MERGEFORMAT
4.(2019·浙江八校联考)抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( )
A.x3＝x1＋x2 B.x1x2＝x1x3＋x2x3
C.x1＋x2＋x3＝0 D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
解析 由消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.
答案 B
5.(2019·唐山市五校联考)直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))
两式相减得－＝0，
又所以＝，
所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2，
又e>1，所以e＝.
答案 D
6.(2019·岳阳二模)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l，l与双曲线－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|＝4，则a＝________.
解析 抛物线y＝ax2(a>0)的准线l：y＝－，双曲线－y2＝1的两条渐近线分别为y＝x，y＝－x，可得xA＝－，xB＝，可得|AB|＝－＝4，解得a＝.
答案
第1课时 最值、范围、证明问题
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考点一 最值问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 利用几何性质求最值
【例1－1】 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S458.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 C
角度2 利用基本不等式或二次函数求最值
【例1－2】 (2018·郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；
(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y2＝4x.
(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3联立得方程组
消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)>0恒成立.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，∴|CB|＝4，
点A到直线l′的距离d＝，
∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)，
令＝t，t∈(1，2)，则m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，
令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2，
令f′(t)＝0，得t＝(负值舍去).
易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减.
∴y＝f(t)在t＝，即m＝－时取得最大值为.
∴△ABC面积的最大值为.
规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【训练1】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)已知T(－4，0)，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求△MNF1面积的最大值.
解 (1)由已知，得|PF1|＋|PF2|＝2a，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝4c2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝4c2，②
|PF1||PF2|sin 60°＝，即|PF1||PF2|＝4，③
联立①②③解得a2－c2＝3.又＝，∴c2＝1，a2＝4，
b2＝a2－c2＝3，椭圆方程为＋＝1.
(2)根据题意可知直线MN的斜率存在，且不为0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
代入椭圆方程，整理得(3m2＋4)y2－24my＋36＝0，
则Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)>0，所以m2>4.
y1＋y2＝，y1y2＝，
则△MNF1的面积S△MNF1＝|S△NTF1－S△MTF1|
＝|TF1|·|y1－y2|＝
＝＝18
＝6×＝6×≤
＝.
当且仅当＝，即m2＝时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.
故△MNF1面积的最大值为.
考点二 范围问题
【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GS22.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y2)).
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y，))
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2eq \r(2（y－4x0）).
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因为x＋eq \f(y,4)＝1(x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
因此，△PAB面积的取值范围是.
规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围.
解 (1)由题知e＝＝，2b＝2，
又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化简得m2<4k2＋1，①
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
∴(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，
∴(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，
化简得m2＋k2＝，②
由①②得0≤m2<，∵原点O到直线l的距离d＝，
∴d2＝＝＝－1＋，
又∴原点O到直线l的距离的取值范围是.
考点三 证明问题
【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0).
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1，eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，
∴＋<1，解得0(2)解 由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，
则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，
从而P，||＝.
于是||＝eq \r(（x1－1）2＋y)＝eq \r(（x1－1）2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4))))＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列.
设该数列的公差为d，则
2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.②
将m＝代入①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.
规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.
【训练3】 (2019·唐山模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S226.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.
(1)解 设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r).
因为|MN|＝3，所以r2＝＋22＝.
所以r＝，圆C的方程为(x－2)2＋＝.
(2)证明 把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，
即点M(0，1)，N(0，4).
①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.
联立方程消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.
设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝
＝＝0.
所以∠ANM＝∠BNM.
综合①②知∠ANM＝∠BNM.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析 由直线y＝x＋3与双曲线－＝1的渐近线y＝x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.
答案 A
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.2x±y＝0 B.x±2y＝0
C.x±y＝0 D.x±y＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1①，eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1②，由①－②得＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0.
答案 B
3.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B. C.2 D.
解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，∴x＝时， dmin＝.
答案 B
4.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
解析 由题意得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))(－2≤x0≤2).
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))＝·(x0＋2)2＋2.
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为6.
答案 C
5.(2019·石家庄一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝( )
A.6 B.8 C.12 D.16
解析 由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝，
所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，
所以|AB|＝|y1－y2|＝6.
答案 A
二、填空题
6.抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝________.
解析 由题意得M，设过点M的切线方程为x＝my－，代入y2＝2px得y2－2pmy＋p2＝0，∴Δ＝4p2m2－4p2＝0，∴m＝±1，则切线斜率k＝±1，∴MQ⊥MP，因此∠PMQ＝.
答案
7.(2019·太原一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.
解析 由过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得<2.
∴e＝＝<＝，
∵e>1，∴1∴此双曲线离心率的取值范围为(1，).
答案 (1，)
8.(2018·深圳二模)设过抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p>0)的另一个交点为Q，则＝________.
解析 设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
联立得解得P，
联立得解得Q，
∴|OP|＝＝，
|PQ|＝＝，
∴＝＝3.
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答案 3
三、解答题
9.设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△MF1F2的周长是4＋2.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：|PD|＝|PE|.
(1)解 由e＝，知＝，所以c＝a，
因为△MF1F2的周长是4＋2，
所以2a＋2c＝4＋2，所以a＝2，c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C1的方程为：＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，
设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，
因为⊥，所以可设C(2，y1)，
所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，
由∥可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.
所以直线AC的方程为：＝.
整理得：y＝(x＋2).
又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，|PD|＝|PE|.
10.如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\SXT79.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解 由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M，
由消去y，
得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
则x1＋x2＝，y1＋y2＝，
(1)将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－，②
由①②得m＜－或m＞.
故实数m的取值范围为∪.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.
当且仅当t2＝时，等号成立.
故△AOB面积的最大值为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·开封一模)已知抛物线M：y2＝4x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，且交抛物线的准线于点E.若＝2，则直线l的斜率为( )
A.3 B.2 C. D.1
解析 分别过A，B两点作AD，BC垂直于准线，垂足分别为D，C，
由＝2，得B为AE的中点，∴|AB|＝|BE|，
则|AD|＝2|BC|，
由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|AB|＝3|BC|，
∴|BE|＝3|BC|，则|CE|＝2|BC|，
∴tan ∠CBE＝＝2，
∴直线l的斜率k＝tan ∠AFx＝tan ∠CBE＝2.
答案 B
12.已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3 ，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为( )
A. B. C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，
所以y1＝－3y2，设直线l的方程为x＝my＋1，
由消去x得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，
∴∴y1＋y2＝4m＝，
∴m＝，∴x1＋x2＝，AB的中点坐标为，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y－＝－，令y＝0，可得x＝，所以S△ABG＝××＝.
答案 C
13.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝________.
解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，则∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
法二 设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|).又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.
答案 2
14.(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，可得x1＝.
由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，
两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－，或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意.
所以，k的值为－.
定点、定值、探索性问题
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考点一 定点问题
【例1】 (2019·咸阳二模)已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为－.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
解 (1)设C(x，y).由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0).
整理，得＋＝1(y≠0).
故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2)法一 易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m.
联立得方程组消去y并整理，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，
即3＋4k2＝m2.
设x1，x2为方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝，
∴x1＝x2＝.
∴P，即P.
又Q(4，4k＋m)，
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，
得·(4－t，4k＋m)＝0.
整理，得(t－1)＋t2－4t＋3＝0.
由的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
法二 设P(x0，y0)，则曲线C在点P处的切线PQ：＋＝1.
令x＝4，得Q.
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，
即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.
由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【训练1】 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点.
(1)解 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)，可得m＝，所以抛物线方程为x2＝y.
综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝y.
(2)证明 因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x.
易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)，
将直线BP的方程代入y2＝4x，消去y，得
k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.
设P(x1，y1)，则x1＝，所以P.
用－替换点P坐标中的k，可得Q((k－1)2，2－2k)，从而直线PQ的斜率为
＝＝，
故直线PQ的方程是
y－2＋2k＝·[x－(k－1)2].
在上述方程中，令x＝3，解得y＝2，
所以直线PQ恒过定点(3，2).
考点二 定值问题
【例2】 (2019·河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.
(1)证明 ∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.
又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2)解 ①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得eq \f(x,4)－y＝0.
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴eq \f(x,4)＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组
消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).
∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综合①②，△POQ的面积S为定值1.
规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
【训练2】 (2019·长春质量监测)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P(2，2)，过点(－2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.
(1)解 由题意可知，2p＝2，解得p＝1，则抛物线的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题易知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y－4＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则k1＝＝，k2＝＝，
k1k2＝
＝，
联立抛物线x2＝2y与直线y－4＝k(x＋2)的方程消去y得x2－2kx－4k－8＝0，其中Δ＝4(k2＋4k＋8)>0恒成立，
可得x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8，则k1k2＝－1.
因此k1k2为定值，且该定值为－1.
考点三 探索性问题
【例3】 (2019·福州四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.
将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).
联立方程得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根与系数的关系得①
其中Δ>0恒成立，
由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
＝
＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③
将①代入③得
＝＝0，④
则t＝4，
综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【训练3】 (2019·银川检测)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上，且与A，B不重合).
(1)求曲线E的方程；
(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.
解 (1)设点P(x，y)，由题意，可得＝，得＋y2＝1.
∴曲线E的方程是＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由条件可得|AB|＝.
当m＝0时，显然不合题意.
当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，得n2＝m2＋1.
联立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0，
则Δ＝4m2n2－4(n2－1)＝2m2>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
S四边形ACBD＝|AB|·|x1－x2|＝＝≤，
当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，
因为直线l与线段AB有交点，所以当m＝时，n＝－；
当m＝－时，n＝.
经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋都符合题意.
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[思维升华]
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
[易错防范]
1.求范围问题要注意变量自身的范围.
2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.
3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.
4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A. B. C.4 D.5
解析 由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝.
答案 B
2.(2018·山西重点中学联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为( )
A.2 B.3 C. D.
解析 由题意知，e＝＝＝2?b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝eq \f(y－n2,x－m2)＝eq \f(3x－3a2－3m2＋3a2,x－m2)＝3.
答案 B
3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点( )
A.(－3，0) B.(0，－3)
C.(3，0) D.(0，3)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点为(－3，0).
答案 A
4.(2019·成都诊断)设点Q是直线l：x＝－1上任意一点，过点Q作抛物线C：y2＝4x的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，F是抛物线的焦点，直线QF的斜率为k0，则下列结论正确的是( )
A.k1－k2＝k0 B.k1k2＝2k0
C.k1－k2＝2k0 D.k1＋k2＝2k0
解析 设点Q(－1，t)，由过点Q的直线y－t＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x相切，联立方程得整理得k2x2＋2(k2＋kt－2)x＋(k＋t)2＝0，则Δ＝4(k2＋kt－2)2－4k2(k＋t)2＝0，化简得k2＋tk－1＝0.显然k1，k2是关于k的方程k2＋tk－1＝0的两个根，所以k1＋k2＝－t.又k0＝－，故k1＋k2＝2k0.
答案 D
5.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A.1 B.2 C.4 D.
解析 如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.
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答案 A
二、填空题
6.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________.
解析 ∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
答案
7.(2019·东北三省四校模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.
答案 (1，2]
8.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＋＝0，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.
答案 0
三、解答题
9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝.
(1)求抛物线的方程；
(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0，
判别式Δ＝4(1＋p)2－4＝4p2>0恒成立，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1.
因为|AB|＝，
所以＝，
所以121p2＋242p－48＝0，
所以p＝或p＝－(舍去).
故抛物线的方程为y2＝x.
(2)设弦AB的中点为D，则D.
假设x轴上存在满足条件的点C(x0，0).
因为△ABC为正三角形，
所以CD⊥AB，所以x0＝，
所以C，所以|CD|＝.
又|CD|＝|AB|＝，
与上式|CD|＝矛盾，所以x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形.
10.(2019·江西九校联考)已知椭圆C：＋＝1过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
(1)解 由题意知，a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为c＝＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)证明 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.
因为A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN|·|BM|＝·＝eq \f(x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4,2（x0y0－x0－2y0＋2）)
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为定值2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，＋＋＝0，O为坐标原点，且△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S＋S＋S等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析 由题意可知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)，由＋＋＝0，得(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，y＝4x3，又S1＝·|OF|·|y1|＝|y1|，S2＝|OF|·|y2|＝|y2|，S3＝|OF|·|y3|＝|y3|，所以S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝×(4x1＋4x2＋4x3)＝3.
答案 B
12.(2019·郑州调研)已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.与P的位置有关
解析 依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.
由得此时·＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，·＝3.
②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4).
由得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.
综上所述，·＝3.
答案 A
13.(2019·合肥模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________.
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝＋.
∵－3≤x≤3，
∴≤x＋≤，∴≤≤，
∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·≤12，故最小值为6.
答案 6
14.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得·为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意知，解得
则椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0恒成立，
∴xA＋xB＝，xAxB＝.
假设在x轴上存在定点E(x0，0)，使得·为定值.
则·＝(xA－x0，yA)·(xB－x0，yB)
＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x＋yAyB
＝xAxB－x0(xA＋xB)＋x＋k2(xA－1)(xB－1)
＝(1＋k)2xAxB－(x0＋k2)(xA＋xB)＋x＋k2
＝eq \f(（2x－4x0＋1）k2＋（x－2）,1＋2k2).
∵·为定值，∴·的值与k无关，
∴2x－4x0＋1＝2(x－2)，
解得x0＝，此时·＝－为定值，定点为，
当直线的斜率不存在时，也满足·＝－为定值，且定点为.
综上，存在点E，使得·为定值，且定值为－.
抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
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知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W398.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W399.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W400.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W401.TIF" \* MERGEFORMAT
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
[微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
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2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
答案 y2＝－x或x2＝y
3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
答案 2
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4.(2018·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为( )
A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.
答案 B
5.(2019·福州调研)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S455.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 B
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
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考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A.4 B.6 C.8 D.10
(2)(2019·豫南九校联考)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B. C. D.3
解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.
(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案 (1)B (2)A
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\B6AB.TIF" \* MERGEFORMAT
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案 (1)y2＝4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为( )
A.y2＝x B.y2＝x
C.y2＝x D.y2＝x
解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则＝＝＝，
则cos ∠AMP＝，又0°<∠MAF<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，)，则由|MP|＝|MA|得|m＋1|＝，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.
(2)由题意，知直线AB必过原点，
则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，
圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，
由得或
把代入抛物线方程，
得＝2p·，解得p＝，
所以抛物线C2的方程为y2＝x.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\SW204.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)已知点A(3，0)，过抛物线y2＝4x上一点P的直线与直线x＝－1垂直相交于点B，若|PB|＝|PA|，则P的横坐标为( )
A.1 B. C.2 D.
解析 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故＝＝，即p＝，从而抛物线的方程为y2＝3x.
(2)由抛物线定义知：|PB|＝|PF|，又|PB|＝|PA|，所以|PA|＝|PF|，所以xP＝＝2(△PFA为等腰三角形).
答案 (1)y2＝3x (2)C
考点三 直线与抛物线的位置关系 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解 (1)如图，由已知得M(0，t)，P，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\B7AB.TIF" \* MERGEFORMAT
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.
角度2 与抛物线弦长有关的问题
【例3－2】 (2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py得y′＝，
则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，
则有p＝2.
(2)设切线AN为y＝x＋b，
又切点A在抛物线y＝上，
∴y1＝eq \f(x,2p)，∴b＝eq \f(x,2p)－eq \f(x,p)＝－eq \f(x,2p)，
切线AN的方程为yAN＝x－eq \f(x,2p)，
同理切线BN的方程为yBN＝x－eq \f(x,2p).
又∵N在yAN和yBN上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,p)x－\f(x,2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(x,2p)，))解得N.
∴N(pk，－1).
|AB|＝|x2－x1|＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，
∴2＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1).
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16.
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号.
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
答案 A
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[思维升华]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.明确p的几何意义
焦点F到准线距离，简称焦准距，抛物线y2＝2px(p≠0)上的点常设为，便于简化计算.
3.重视抛物线的定义在解题中的应用
(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.
(2)若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出，若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似的得到.
[易错防范]
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
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数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
【例1】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
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设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
答案 B
【例2】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
[一般解法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D
【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
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A.5 B.6
C. D.
[一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
答案 C
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·吴忠模拟)抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
解析 由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为.
答案 D
2.(2018·抚顺模拟)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( )
A. B.2 C. D.3
解析 ∵点F是抛物线y2＝2x的焦点，∴F，准线方程为x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为.
答案 A
3.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
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答案 C
4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立
消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
答案 C
5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
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答案 B
二、填空题
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V263.tif" \* MERGEFORMAT
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
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答案 2
7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________.
解析 由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标F，准线方程为x＝－，因为直线AF的斜率为－，所以直线AF的方程为y＝－，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S457.TIF" \* MERGEFORMAT
当x＝－时，y＝3，所以A，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，
可得点P的坐标为，
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝－＝6.
答案 6
8.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
解析 因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝＝，所以＝，所以渐近线方程为x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案 x2＝16y
三、解答题
9.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
解 (1)抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为y＝2，
由消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0，
可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2，y2＝4.
所以A(1，－2)，B(4，4).
则＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(1＋4λ，－2＋4λ).
因为C为抛物线上一点，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，
整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝eq \f(x,4)，y2＝eq \f(x,4)，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·太原一模)抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 设|AF|＝m，|BF|＝n，
∵|AF|＋|BF|＝|AB|，
∴|AB|≥2，∴mn≤|AB|2，
在△AFB中，由余弦定理得
cos ∠AFB＝＝＝≥－，
∴∠AFB的最大值为.
答案 D
12.(2018·武汉模拟)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A. B. C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则
所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，
则＝＝.
答案 C
13.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.
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答案 －1
14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
解 (1)因为点A在C上，|AO|＝|AF|＝，所以点A的纵坐标为，所以＋＝，所以p＝2，
所以C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0S△OPQ＝b|x1－x2|＝b
＝b＝b
＝·(0设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.
曲线与方程
最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
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知 识 梳 理
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\C58.TIF" \* MERGEFORMAT
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\C59.TIF" \* MERGEFORMAT
[微点提醒]
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.( )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.( )
解析 对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
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2.(选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
解析 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.
答案 C
3.(选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.
解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).
答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)
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4.(2019·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析 原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案 D
5.(2019·衡水模拟)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )
A.任意实数a方程表示椭圆
B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线
D.存在实数a方程表示抛物线
解析 当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案 B
6.(2019·聊城模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.
解析 设C(x，y)，则由＝＋t(－)得－＝t(－)，所以＝t，即(x－1，y)＝t(1，2)，故消去t得y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
答案 2x－y－2＝0
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考点一 直接法求轨迹方程
【例1】 (1)(2019·晋冀豫三省联考)已知A(－1，0)，B(1，0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，则当λ<0时，动点M的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
(2)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.
解析 (1)设M(x，y)，则N(x，0)，所以2＝y2，λ·＝λ(x＋1，0)·(1－x，0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1，所以当λ<0时，动点M的轨迹为双曲线.
(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，
若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).
答案 (1)C (2)y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)
规律方法 利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
【训练1】 设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S221.TIF" \* MERGEFORMAT
则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案 D
考点二 相关点(代入)法求轨迹方程
【例2】 (1)(2019·怀化调研)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D.x2＋y2＝1(y≠0)
解析 依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得即代入椭圆C：＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0).
答案 C
(2)(2019·安阳调研)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S222.TIF" \* MERGEFORMAT
解 由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)，
设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，
得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3).①
直线A2B的方程为y＝(x－3).②
由①②相乘得y2＝eq \f(－y,x－9)(x2－9).③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－eq \f(x,9).④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).
规律方法 “相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
【训练2】 (2019·九江联考)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________.
解析 设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
考点三 定义法求轨迹方程 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 典例迁移
【例3】 (经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).
【迁移探究1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________.
解析 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).
答案 y＝0(x<－2)
【迁移探究2】 把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，则圆心P的轨迹方程为________.
解析 由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x>1).
答案 x2－＝1(x>1)
【迁移探究3】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________.
解析 由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
规律方法 定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.
【训练3】 △ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________.
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，|AB|＝10.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3).
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\C60.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 －＝1(x>3)
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
求轨迹方程的常用方法
1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.
3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
[易错防范]
1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
解析 (x－y)2＋(xy－1)2＝0?
故或
答案 C
2.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
解析 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.
答案 D
3.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是( )
A.y2＝2x B.y2＝8x2
C.y＝4x2－ D.y＝4x2＋
解析 设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－.
答案 C
4.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，
则解得
由|AB|＝5，得＋＝25，
化简得＋＝1.
答案 A
5.(2019·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\LA60.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 D
二、填空题
6.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是________________.
解析 由＝－，知＝－，即x＋2y＋5＝0.
答案 x＋2y＋5＝0
7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为________.
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案 y＝2x
8.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________.
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\D148.TIF" \* MERGEFORMAT
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，
∴轨迹方程为－＝1(x＞).
答案 －＝1(x＞)
三、解答题
9.(2019·郑州预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.
解 (1)由题意，得＝5，即＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段长度为2＝8，
所以l：x＝－2符合题意.
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，
由题意，得＋42＝52，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
10.已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S223.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
解 (1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\4S224.TIF" \* MERGEFORMAT
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知，|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2＋y2－x－4＝0.
(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x＝1或x＝－4.
由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9
C.＋＝1 D.x2＝16y
解析 ∵M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.
答案 B
12.(2019·葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为( )
A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
解析 设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，
即G为△ABC的重心，得G.
又||＝||＝||，
即M为△ABC的外心，
所以点M在y轴上，
又∥，则有M.
所以x2＋＝4＋，
化简得＋＝1，y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).
答案 B
13.如图，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________.
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解析 由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2.
设Q(x，y)，则＝－＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.
答案 ＋＝1
14.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝得x0＝x，y0＝y，
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明 由题意知F(－1，0).设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2.故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
椭 圆
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
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知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W387.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\W388.TIF" \* MERGEFORMAT
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
[微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)>1.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\教材衍化.TIF" \* MERGEFORMAT
2.(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_________________________________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
3.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为(，1)或(，－1).
答案 (，1)或(，－1)
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4.(2019·张家口调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
答案 C
6.(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析 曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.
答案 D
第1课时 椭圆及简单几何性质
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\V261.tif" \* MERGEFORMAT
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2019·德阳诊断)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 (1)连接QA.
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△P1FF2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【训练1】 (1)(2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
(2)(2018·衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
解析 (1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案 (1)C (2)－5
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴ 解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
【训练2】 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(2019·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 (1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝·2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得＋eq \f(y,b2)＝1，由此求得y＝，所以|AB|＝3＝，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案 (1)B (2)C
考点三 椭圆的几何性质 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 (2019·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6答案 A
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\18GS43.tif" \* MERGEFORMAT
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，
所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即点P(2c，c).
∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0∴0②当焦点在y轴上，依题意m>3，且≥tan＝，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
【训练3】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，即长轴长2a的最小值为2.
(2)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
解得a≥，
所以e＝＝≤，
所以e的最大值为.
答案 (1)D (2)A
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[思维升华]
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n).
[易错防范]
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
答案 C
2.(2019·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案 D
3.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).
答案 D
5.已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B.2
C.2 D.
解析 由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
答案 A
二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
解析 ∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又S△F2AB＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
8.(2019·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A，∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程.
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，椭圆的离心率为e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，设B(x，y).
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·宣城二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b).∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍).∴椭圆的离心率为.
答案 D
12.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos ∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，∴－答案 B
13.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4x,4)＋（3－2y2）2＝m，,\f(x,4)＋y＝m，))得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
答案 5
14.(2019·石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
解 (1)由已知得解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
由Δ＝36m2－16(3m2－12)>0得m2<16，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2，满足m2<16.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
直线与椭圆的位置关系
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 直线与椭圆的位置关系
【例1】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
规律方法 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
【训练1】 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案 A
考点二 中点弦及弦长问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 中点弦问题
【例2－1】 已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y＝1，①,\f(x,2)＋y＝1，②))
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
【例2－2】 (2019·孝义模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×＝×＝×＝|AB|＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
【训练2】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________.
(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，得3x2－5x＝0，
故得A(0，－2)，B，则
|AB|＝＝.
法二 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y得3x2－5x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
则|AB|＝
＝
＝＝.
(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，
由消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
∴设椭圆的方程为＋＝1.
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,b2＋4)＋\f(x,b2)＝1， ①,\f(y,b2＋4)＋\f(x,b2)＝1， ②))
①－②得＋＝0，
即·＝－，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.
答案 (1) (2)D
考点三 最值与范围问题 INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 易错警示
【例3】 (2019·沈阳质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得则则满足条件的斜率k的取值范围为∪.
规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
【训练3】 已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－eq \f(x,4).所以x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))－3<0，解得－答案 A
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系.
2.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
[易错防范]
1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0.
3.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\最新考纲2020届高考数学(理科)一轮复习讲义(含答案)\\核心素养提升A.tif" \* MERGEFORMAT
数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”
1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.
2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.
类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求
【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 法一 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×?yA＋yB＝p，
由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
法二 (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
易知直线AB的斜率kAB＝＝eq \f(\f(x,2p)－\f(x,2p),x2－x1)＝.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝?＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
类型2 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法
【例2】 (1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为________________.
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________.
解析 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则
从而即M，
又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0.
(2)当k＝0时，显然成立.
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝ ＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－综上，k的取值范围为(－，).
答案 (1)x＋y＋＝0 (2)(－，)
类型3 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0
【例3】 人教A版教材《选修2－1》第62页习题2.3 B组第4题：已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
解 假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝1，,x－\f(y,2)＝1，))
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y得2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求
【例4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________.
解析 法一 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得消去x得y2－2ty－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.
所以|AB|＝|y1－y2|＝＝＝2t2＋2，
同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
法二 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.
由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋.
由抛物线的定义知，
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
答案 8
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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
解析 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.
答案 B
2.设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A.± B.± C.± D.±2
解析 由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.
答案 A
3.(2019·长春二检)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A.－ B.－ C.－ D.－
解析 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.
答案 A
4.(2018·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，
得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，
又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.
答案 B
5.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
解析 设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号).
答案 C
二、填空题
6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.
解析 因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.
答案 ＋x2＝1
7.(2019·河南八校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________.
解析 不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，所以在Rt△POA中，cos ∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得＋＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝.
答案
8.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________.
解析 由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，
则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，
联立方程组
则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，
所以＝·＝1，
解得k＝－(满足Δ>0)，故b＝，
所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
三、解答题
9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m).
直线BN的方程为y＝(x－2).
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
10.已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求k的值.
解 (1)由题设知，A(b，0)，B(0，a)，直线AB的方程为＋＝1，又|AB|＝＝，＝，a>b>0，
计算得出a＝2，b＝，则椭圆C的离心率为e＝＝.
(2)由(1)知椭圆方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
又直线l与圆x2＋y2＝2相切，
则＝，即m2＝2(k2＋1).
而|MN|＝·
＝
＝＝，
又|MN|＝，所以＝，
即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·北京东城区调研)已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：＋＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A.2－5 B.2－4
C.4－11 D.4－10
解析 易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝12.当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去.所以m＝4.联立得x2－16x＋24＝0.又x≤2，所以x＝8－2.故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－2)＝2－5.
答案 A
12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A. B. C.1 D.2
解析 联立方程可得消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案 C
13.已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，又由0＜e＜1，解得0＜e≤.
答案
14.(2019·咸阳一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值.
解 (1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
则|AB|＝×＝.
点P到直线l的距离d＝＝.
所以S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值为2.
