人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的概念与性质
自主预习 基础达标
要点1 等腰三角形的概念
有两条边 的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，剩余的一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
要点2 等边对等角
等腰三角形的两底角 (简称“等边对等角”).
要点3 等腰三角形“三线合一”
1. 等腰三角形 垂直平分底边.
2. 结论：等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的高相互重合(简称“三线合一”).
3. 等腰三角形是 图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.
课后集训 巩固提升
1. 已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，则腰AC的长为( )
A. 10或6 B. 10 C. 6 D. 8或6
2. 等腰三角形中有一个角等于100°，则另两个角的度数分别为( )
A. 40°，40° B. 100°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或100°，20°
3. 如图，等腰△ABC的顶角∠A为80°，BD⊥AC，则∠DBC是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 30°
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是( )
A. 2α＋∠A＝180° B. α＋∠A＝90°
C. 2α＋∠A＝90° D. α＋∠A＝180°
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为( )
A. 40° B. 30° C. 70° D. 50°
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
7. (1)已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于6，则它的周长为 ；
(2)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为 .
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝ .
9. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形底角的度数为 .
10. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数.
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△BAC的外角∠DAC的平分线，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
12. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.
13. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线交BC于点F.求证：DF⊥BC.
14. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE.
求证：(1)△ABD≌△ACE；
(2)AF⊥DE.
15. 等腰三角形的两角之差为60°，求该三角形各内角的度数.
16. (1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；
(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)你发现了什么规律？试证明；
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 相等
要点2 相等
要点3 1. 顶角的平分线 2. 平分线 中线 3. 轴对称
课后集训 巩固提升
1. A 2. A 3. A 4. A 5. A 6. B
7. (1)16或17 (2)5，5
8. 35°
9. 70°或20°
10. 解：∵等腰三角形“三线合一”，∴AD既是△ABC的顶角平分线又是底边上的高.∴∠1＝90°－30°＝60°，∠ADC＝90°.
11. 解：AE∥BC.理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE.而∠DAC＝∠B＋∠C，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC.
12. 证明：延长AO交BC于D.在△ABO和△ACO中，∵∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，又AB＝AC，∴AD⊥BC，即AO⊥BC.
13. 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠D＝∠AED，∵∠BAC＝∠D＋∠AED，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴2∠B＋2∠D＝180°，∴∠B＋∠D＝90°，∴∠BFD＝90°，∴DF⊥BC.
14. 证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，又∵EC⊥BC，∴∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE－∠ACB＝45°.∴∠ABD＝∠ACE.又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.
(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.∵DF＝FE，∴AF⊥DE.
15. 解：设等腰三角形中较小的角为x，则另一个角为x＋60°.(1)若较小的角为底角，则x＋x＋x＋60°＝180°，解得x＝40°，所以x＋60°＝100°；(2)若较小的角为顶角，则x＋x＋60°＋x＋60°＝180°，解得x＝20°，所以x＋60°＝20°＋60°＝80°.即等腰三角形的各内角依次为40°，40°，100°或20°，80°，80°.
16. 解：(1)如图①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝×(180°－∠A)＝(180°－40°)＝70°.∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，即∠NMB＝20°.
(2)如图②所示，同(1)求得∠NMB＝35°.
(3)规律：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半.证明如下：设∠A＝α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝(180°－α).∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝α，即∠NMB等于顶角的一半.
(4)不需要修改：如图③，∠NMB的大小为∠A的一半.
