人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
自主预习 基础达标
要点 等腰三角形的判定
1. 有两个角 的三角形是等腰三角形.
2. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“ ”.
课后集训 巩固提升
1. 如果三角形一边的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第2题 第3题
3. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中等腰三角形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是( )
A. ∠ACD＝∠B B. CH＝CE＝EF
C. CH＝HD D. AC＝AF
第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A B C D
7. 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作FE⊥BC，交BC于E，交CA的延长线于F，试判断△ADF的形状，并说明理由.
8. 已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形.
9. 如图，在等腰△ABC中，点D，E分别是两腰AC，BC上的点，连接AE，BD相交于点O，∠1＝∠2.求证：OD＝OE.
10. 如图，已知点O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E，若BC＝10cm，求△ODE的周长.
11. 如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F.试判断EF与BE，CF之间的关系，并说明理由.
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上取CD＝CA，若AD＝BD，求∠DAE的度数.
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，若BD＝CE，CD＝BF.
求证：∠EDF＝∠B.
14. 小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
15. 如图所示，在△ABC中，D，E分别是AC和AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.
(1)上述四个条件中，哪两个条件可以判断△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?
(2)选择(1)中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1. 相等 2. 等角对等边
课后集训 巩固提升
1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B
7. 解：△ADF是等腰三角形.理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，∴∠BDE＝∠F，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形.
8. 解：(1)作线段AB＝a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；
(3)在MN上取一点C，使CD＝b；
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形.
9. 证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC.∴∠BAD＝∠ABE.又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA).∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB.∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.
10. 解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠DBO.又∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD.同理OE＝CE.∵BC＝10cm，∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝10cm.
11. 解：EF＝BE－CF.理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.又∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED.同理可证：CF＝FD.∵EF＝ED－FD，∴EF＝BE－CF.
12. 解：由题意有∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x°，∵AC＝CD，AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝x°，∴∠DAC＝∠ADC＝2x°，∴2x°＋2x°＋x°＝180°，x＝36.∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－2x°＝90°－72°＝18°.
13. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，BF＝CD，∴△BDF≌△CED，∴∠BFD＝∠CDE.又∵∠B＝180°－(∠BFD＋∠BDF)，∠EDF＝180°－(∠BDF＋∠EDC)，∴∠EDF＝∠B.
14. 解：同意.如图所示，设AD与EF交于点G.由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又由折叠知，∠AGE＝∠DGE＝90°，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形.
15. 解：(1)①③，①④，②③，②④.
(2)选择①④两个条件来证明△ABC是等腰三角形.已知：∠EBO＝∠DCO，OB＝OC.求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.(答案不唯一)
