人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
自主预习 基础达标
要点1 等边三角形的性质
1. 定义：三条边都 的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
2. 性质：
(1)等边三角形的三条边 ；
(2)等边三角形的三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ；
(3)等边三角形是 图形，它有 条对称轴.
要点2 等边三角形的判定
判定方法1：三边都 的三角形是等边三角形.
判定方法2：三个角都 的三角形是等边三角形.
判定方法3：有一个角是 的 三角形是等边三角形.
课后集训 巩固提升
1. 等边三角形的两个内角平分线所成的角是( )
A. 120° B. 60°和120° C. 100° D. 40°
2. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A. 180° B. 220° C. 240° D. 300°
第2题 第3题
3. 如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D与G分别为AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长是( )
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
4. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
5. 若三角形三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 不等边三角形 D. 无法确定
6. 如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD.有下列四个结论：(1)∠MBC＝25°；(2)∠ADC＋∠ABC＝180°；(3)直线MB垂直平分线段CD；(4)四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第6题 第7题
7. 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝ .
第8题 第9题
9. 三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝ .
10. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ .
第10题 第11题
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD，则△ABE的周长是 .
12. 如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF.试探索△DEF的形状.
13. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.
14. 如图所示，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，求证：△OEF是等边三角形.
15. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.
16. 已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点.
(1)请求出：图①中∠BQM等于多少度？
(2)若M，N两点分别在线段BC，CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 相等 2. (1)相等 (2)相等 60° (3)轴对称 3
要点2 相等 相等 60° 等腰
课后集训 巩固提升
1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. D
8. 75°
9. 130°
10. 15°
11. 15
12. 解：△DEF为等边三角形 理由略.
13. 证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°.∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE＋∠E＝60°，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠E＝30°，∴BD＝DE.
14. 证明：∵E，F分别是OB，OC垂直平分线的点，∴OE＝BE，OF＝CF，∵△ABC是等边三角形，且OB，OC分别平分 ∠ABC，∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝60°.∴△OEF是等边三角形.
15. 证明：(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°.∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC.∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDE＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.
(2)连接MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.
16. 解：(1)∠BQM＝60°
(2)仍然成立；证明思路如下：先证△ACM≌△BAN，得到∠M＝∠N，∴∠BQM＝∠N＋∠QAN＝∠M＋∠CAM＝∠ACB＝60°.
