人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
自主预习 基础达标
要点 含30°角的直角三角形的性质
1. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的 .
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
课后集训 巩固提升
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB等于( )
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
第1题 第2题
2. 如图所示，已知∠B＝30°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的面积为( )
A. 12 B. 16 C. 24 D. 48
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠ACD＝30°，那么下列结论正确的是( )
A. AD＝CD B. AC＝AB C. BD＝BC D. CD＝AB
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 50° D. 75°
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD是角平分线，若BD＝8，则CD等于( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC的长是( )
A. B. 2 C. 3 D. ＋2
7. 如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m.为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF＝3m，则斜梁增加部分AE的长为( )
图1 图2
A. 0.5m B. 1m C. 1.5m D. 2m
8. 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，AB＝16m，则DE的长为( )
A. 8m B. 4m C. 2m D. 6m
第8题 第9题
9. 如图所示，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD＝ .
10. 如图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若△ABC的周长为36cm，则AD的长为 .
第10题 第11题
11. 如图，已知∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE＝1，BC＝ .
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，DE＝ .
14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝1，求AC的长.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120°，AE＝3cm，求BC的长.
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF＝5cm，求CF的长.
17. 如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.
(1)判断△CED的形状，并说明理由；
(2)若OD＝3，求CD的长.
18. 如图，P是等边三角形ABC边AB上任一点，AB＝2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FM⊥AB于M，设BP＝x(x>0).
(1)用含x的代数式表示AM；
(2)当x等于多少时，点P和点M重合？
参考答案
自主预习 基础达标
要点 30° 一半
课后集训 巩固提升
1. C 2. A 3. B 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B
9.
10. 6cm
11. 8
12. 2
14. 解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°.∵CD＝1，∴BD＝2CD＝2，∴AD＝2，∴AC＝3.
15. 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°.∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠EAC＝∠BAC－∠BAE＝120°－90°＝30°，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝EC＝3cm.∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，∴BE＝2AE＝6cm.∴BC＝BE＋EC＝6＋3＝9(cm).
16. 解：连接AF.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠FAC＝90°，∵BF＝5cm，∴AF＝5cm，∴FC＝10cm.
17. 解：(1)△CED是等边三角形，理由如下：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠COE＝30°，∵CE∥OA，∴∠AOC＝∠COE＝∠OCE＝30°，∴∠CED＝60°，∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∴∠EDC＝60°，∴△CED是等边三角形.
(2)∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠COD＝30°.∵CD⊥OC，∴△OCD为直角三角形.∵OD＝3，∴CD＝OD＝.
18. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠B＝∠C＝∠A＝60°.∵PE⊥BC，EF⊥AC，FM⊥AB，∴∠BEP＝∠EFC＝∠AMF＝90°.∴∠BPE＝∠CEF＝∠AFM＝30°.∵BP＝x，∴BE＝x，∴EC＝BC－BE＝2－x，∴CF＝1－x，∴AF＝2－(1－x)＝1＋x，∴AM＝＋x.
(2)当点P和点M重合时，BP＋AP(M)＝AB，即x＋(＋x)＝2，解得x＝，即当x＝时，点P和点M重合.
