人教版数学八年级上册同步课时训练
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
自主预习 基础达标
要点 最短路径问题
1. 最短路径问题的类型：
(1)两点一线型的线段和最小值问题；
(2)两线一点型线段和最小值问题；
(3)两点两线型的线段和最小值问题；
(4)造桥选址问题.
2. 解决最短路径问题的方法：
借助 或平移的知识，化折为直，利用“ ”或“ ”来求线段和的最小值.
课后集训 巩固提升
1. 如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
第1题 第2题
2. 如图，直线m同侧有A，B两点，A，A′关于直线m对称，A，B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P，Q，下列的说法正确的是( )
A. P是m上到A，B距离之和最短的点，Q是m上到A，B距离相等的点
B. Q是m上到A，B距离之和最短的点，P是m上到A，B距离相等的点
C. P，Q都是m上到A，B距离之和最短的点
D. P，Q都是m上到A，B距离相等的点
3. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
第3题 第4题
4. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 .
5. 如图所示，E，F分别是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短.
6. 如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
7. 有两棵树位置如图所示，树的底部分别为A，B.有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行.小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行的距离最短，在图中画出该点的位置.
8. 如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短的路径.画出小红走的路线.
9. 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
10. 如图所示，Ox，Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？并说明理由.
11. 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由.
12. 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？
13. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数.
14. 如图，某公路(视为x轴)的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路边建一货栈D(在x轴上)，向A，B，C三个村庄运送农用物资，路线是：D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在点D使送货路程之和最短？若存在，请在图中画出点D所在位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 2. 轴对称 两点之间，线段最短 垂线段最短
课后集训 巩固提升
1. B 2. A 3. B
4. 3
5. 解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′F交BC于点M，则△MEF周长最短，如图所示.
6. 解：如图所示，则最短路线为P－A－B－P.
7. 解：如图所示，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.
8. 解：如图，作法：作A点关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，连接AO，则点O就是小红取水点，此时小红走的路线AO→OB就是最短路线.
9. 解：如图.作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短.
10. 解：如图所示，作点A关于Ox，Oy所在直线的对称点A1，A2，连接A1A2交Ox，Oy于B，C两点，则B，C两点就是加油站的位置.理由：设M，N分别是Ox，Oy上除B，C以外的任意两点，连接A1M，MN，NA2，AB，AC，AM，AN.因为点A，A1关于Ox所在直线对称，所以A1B＝AB.又因为点A，A2关于Oy所在直线对称，所以AC＝A2C.所以AB＋BC＋CA＝A1B＋BC＋CA2＝A1A2.又因为A1M＝AM，AN＝A2N，所以AM＋MN＋AN＝A1M＋MN＋A2N.由两点之间线段最短，可知A1M＋MN＋A2N>A1A2，所以B，C两点为加油站的最佳位置.
11. 解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求.理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B
12. 解：如图，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，交GH于点D，则PD∥BB′且PD＝BB′.连接BD，利用平移可知PB′＝BD.根据“两点之间线段最短”，知AB′最短，可知满足题意的从A到B的路径中，路径APDB最短.故桥建立在PD处符合题意.
13. 解：分别作点P关于直线OB，OA的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示.∵点P关于直线OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.∵点P关于直线OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD.∵△PMN的周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5cm，∴DM＋CN＋MN＝5cm，即CD＝5cm＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°.
14. 解：存在点D使所走路线D→A→B→C→D的路程和最短.作法：(1)作点A关于x轴的对称点A′；(2)连接CA′交x轴于点D.则点D(3，0)就是要建货栈的位置，如图.
