第三章 图形的相似单元提高测试卷（解析版）

湘教版2019-2020九年级数学上册第三章图形的相似单元提高测试卷解析版
一、单选题（共10题；共20分）
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（?? ）
A.?5??????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????D.?8
2.下列命题是真命题的是（?? ）
A.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3；B.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9；C.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3；D.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.
3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（??? ）
A.?2??????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????D.?5
4.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠?? B.AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为S，则△BCD的面积为（?? ）
A.?S????????????????????????????????B.?2S????????????????????????????????C.?3S????????????????????????????????D.?4S
5.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），则点C’的坐标为（?? ）
A.?（12，3）????????????????????????????????????????????B.?（﹣12，3）或（12，﹣3）C.?（﹣12，﹣3）?????????????????????????????????????D.?（12，3）或（﹣12，﹣3）
6.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（??? ）
A.?3：2???????????????????????????B.?1：1???????????????????????????C.?2：5???????????????????????????D.?2：3
7.如图，△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD=5,CD=3，DE-4，则BF的长为（ ??）

A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
8.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是(?? )
A.?EABD=EDBF??????????????B.?EABF=EDBD??????????????C.?ADBD=AEBF??????????????D.?BDBF=BABC
9.如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF, 点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为（ ??）
A.?200cm2????????????????????B.?170cm2????????????????????C.?150cm2????????????????????D.?100 cm2
10.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.则D′F的长为（??? ）
A.?2 5????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????D.?2
二、填空题（共6题；共6分）
11.在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是 A(4,2),B(5,0) ，以点 O 为位似中心，相们比为 12 ，把 △ABO 缩小，得到 △A1B1O ，则点 A 的对应点 A1 的坐标为________.
12.如图，正方形ABCD中， AB=12，AE=14AB ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 PQ⊥EP ，交CD于点Q，则CQ的最大值为________．
13.如图，已知直角 ΔABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， AC=4 ， BC=3 ，则 AD= ________．
14.如图，在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90° ， AC=15 ，点 E 在边 CB 上， CE=2EB ，点 D 在边 AB 上， CD⊥AE ，垂足为 F ，则 AD 长为________．
15.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， △ABO 与 △A′B′O′ 是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为________
16.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E ， 连接CF并延长，交AB于点D ， 过点F作FG∥BC ， 交AC于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1：S2＝________．
三、计算题（共3题；共16分）
17.如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
18.如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为________．
19.（2012?丹东）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1 ， 并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2 ， 使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
四、解答题（共4题；共20分）
20.一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
21.已知正方形ABCD的边长是1，E是BC延长线上的一点，CE=1，连接AE，与CD交于F，连接BF并延长与DE交于G，求BG的长．
?
22.已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP∽△PDB．

23.问题原型：如图①，四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形．求证：△ABE≌△ADG．
类比探究：如图②，四边形ABCD和四边形AEFG均是矩形，且AB＝2AD，AE＝2AG．易知△ABE∽△ADG．（无需证明）
推广应用：如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝2AC，AD＝2AE．若△ABC的面积为32，△ABD的面积为12，求阴影部分图形的面积．
五、综合题（共2题；共25分）
24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1 ， h2 ， h3 ， 求证h12=h2·h3
25.如图， ∠ABD=∠BCD=90° ，DB平分∠ADC，过点B作 BM‖CD 交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证： BD2=AD?CD ；
（2）若 CD=6，AD=8 ，求MN的长．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ADAB ＝ DEBC ，
即 23 ＝ 4BC ，
解得：BC＝6。
故答案为：B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ADAB ＝ DEBC ，根据比例式即可算出BC的长。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解： A：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，故此答案错误，不符合题意； B：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9， 故此答案正确，符合题意； C：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81， 故此答案错误，不符合题意； D：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误，不符合题意。 故答案为：B。 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可一一判断得出答案。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ BODO ＝ ABDC ，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴ 63 ＝ AB2 ，
解得：AB＝4.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出 BODO ＝ ABDC ，根据比例式即可求出AB的长。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∠ACD＝∠B.
∴△ACD∽△ABC，
∴ SΔADCSΔABC=(ADAC)2=(12)2=14 ，
∴S△ABC＝4S，
∴△BCD的面积＝4S﹣S＝3S.
故答案为：C。
【分析】首先判断出△ACD∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ABC＝4S，进而根据 △BCD的面积 =△ABC的面积-△ADC的面积即可算出答案。
5.【答案】 D
【解析】【解答】∵△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：D.
【分析】由已知可知，△A′B′C′的各边是三角形ABC各边的3倍，于是 把点C的坐标3倍（即将点C的横纵坐标×±3）即可求解。
6.【答案】 D
【解析】【解答】因为DE∥AB，所以△DEF∽△BAF，所以 S△DEFS△BAF=(DEAB)2 ，则 DEAB=25 ，所以 DEEC=23 .
故答案为：D.
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△DEF∽△BAF，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ AD=5,CD=3， ∴AC=AD+CD=8, ∵ AB∥DE， ∴△CDE∽△CAB ∴CDAC=DEAB, 又DE=4, ∴38=4AB ∴AB=323, ∵点F是AB的中点， ∴BF=12AB=163. 故答案为? B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边成比例得出CDAC=DEAB ， 根据比例式即可求出AB的长，进而根据线段中点的定义求出BF的长。
8.【答案】 C
【解析】【解答】C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是 ∠A 不一定等于 ∠B. ?
故答案为：C.
【分析】（1）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ADE∽△BDF； （2）同理可得△ADE∽△BDF； （3）不能判断两个三角形相似； （4）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ABC∽△DBF，则∠A=∠BDF，然后根据两对角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△BDF.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：设AF=k,则AC=3k,FC=2k, EF∥BC，则∠AEF=∠EBD，∴Rt△AEF∽Rt△EBD，AF:EF=ED:BD， k:2k=2k:BD,∴BD=4k, BC=6k,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 ,AB2=15k2=300, ∴k2=20cm2, 所以S△ABC-S正方形CDEF=S△AEF+S△BDE=（4k×2k+2k×k）÷2=5k2=100cm2 故答案为：D 【分析】设AF=k, 根据三角形相似，把各边用k表示，统一量，在△ABC中利用勾股定理列式求出k2的值，把剩余部分的面积用k来表示，最后代入k2的值即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 AC 交 EF 于点 O ，如图所示：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD=BC=8 ， ∠B=∠D=90° ，
AC=AB2+BC2=42+82=45 ，
∵折叠矩形使 C 与 A 重合时， EF⊥AC ， AO=CO=12AC=25 ，
∴ ∠AOF=∠D=90° ， ∠OAF=∠DAC ，
∴则Rt △AOF ∽Rt △ADC
∴ AOAF=ADAC ，即： 25AF=845 ，
解得： AF=5 ，
∴ D'F=DF=AD?AF=8?5=3 。
故答案为：C。
【分析】连接 AC 交 EF 于点 O ，如图所示：根据矩形的性质得出 AD=BC=8 ， ∠B=∠D=90° ，根据勾股定理算出AC的长，根据折叠的性质得出EF⊥AC ， OA=OC=12AC=25 ， 然后判断出Rt △AOF ∽Rt △ADC，根据相似三角形对应边成比例得出AOAF=ADAC ， 根据比例式算出AF的长，然后根据线段的和差即可算出答案。
二、填空题
11.【答案】 (2,1) 或 (?2,?1)
【解析】【解答】解：以点 O 为位似中心，相似比为 12 ，把 △ABO 缩小，点 A 的坐标是 A(4,2)
则点 A 的对应点 A1 的坐标为 (4×12,2×12) 或 (?4×12,?2×12) ，即 (2,1) 或 (?2,?1) ，
故答案为： (2,1) 或 (?2,?1) 。
【分析】坐标平面内，以坐标原点为位似中心的位似变换，如果它们的位似比为k，则位似图形对应点的坐标比为k或-k。
12.【答案】 4
【解析】【解答】解： ∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又 ∠B＝∠C＝90°，
∴ΔBPE∽ΔCQP．
∴BEPC=BPCQ
设 CQ＝y，BP＝x ，则 CP＝12﹣x ．
∴912?x=xy ，化简得 y=?19(x2?12x) ，
整理得 y=?19(x?6)2+4 ，
所以当 x＝6 时，y有最大值为4．
故答案为4．
【分析】根据正方形的性质及同角的余角相等可得∠BEP=∠CPQ，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△BPE∽△CPQ，从而可得BEPC=BPCQ ， 设 CQ＝y，BP＝x ，则CP＝12﹣x ， 将其代入比例式式可得y=?19(x2?12x) ， 利用二次函数的性质即可求出CQ的最大值.
13.【答案】 165
【解析】【解答】解：在 RtΔABC 中， AB=AC2+BC2=5 ，
由射影定理得， AC2=AD·AB ，
∴ AD=AC2AB=165 ，
故答案为： 165 ．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，根据射影定理可得AC2=AD·AB，据此求出AD的长即可.
14.【答案】 92
【解析】【解答】过 D 作 DH⊥AC 于 H ，则∠AHD=90°
∵ 在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90° ， AC=15 ，
∴AC=BC=15 ， ∠CAD=45° ，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AH=DH ，
∴CH=AC-AH=15-DH，
∵CF⊥AE ，
∴∠DHA=∠DFA=90° ，
又∵∠ANH=∠DNF，
∴∠HAF=∠HDF ，
∴ΔACE~ΔDHC ，
∴DHAC=CHCE ，
∵CE=2EB ，CE+BE=BC=15，
∴ CE=10 ，
∴ DH15=15?DH10 ，
∴DH=9 ，
∴AD=AH2+DH2=92 ，
故答案为： 92 ．
【分析】过 D 作 DH⊥AC 于 H ，则∠AHD=90°,利用等腰三角形的性质可得AH=DH.根据两角分别相等可证△ACE∽△DHC，利用相似三角形的对应边成比例可求出DH的长，根据勾股定理求出AD的长即可.
15.【答案】 (?3,2)
【解析】【解答】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，
连接 B′B 并延长， A′A 并延长， B′B 与 A′A 的交点即为位似中心P点，由图可知 B′ 、B、P在一条直线上，则P点横坐标为-3，
由图可得 △ABO 和 △A′B′O′ 的位似比为 OBO′B′=36=12 ， BB′=2 ，
所以 PBPB′=PBPB+BB′=12 ，
解得PB=2，
所以P点纵坐标为 (?3,2) ，
即P点坐标为 (?3,2) .
故答案为： (?3,2)
【分析】由题意根据位似图形的性质特点，位似图形对应点连线的交点是位似中心，根据位似比一定，即可求出点P的坐标。 ?
16.【答案】 18
【解析】【解答】∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF ，
∴BE＝3EF ，
∵FG∥BC ，
∴△EFG∽△EBC ，
∴ EFBE=13 ， S1S△EBC= （ 13 ）2 =19 ，
∴S1：S2；
故答案为： 18 ．
【分析】根据三角形重心的性质可得BE＝3EF，利用平行线可证△EFG∽△EBC，利用相似三角形的性质可得S1：S△EBC=1:9，从而求出S1：S2的值.
三、计算题
17.【答案】解：∵△ABC中，AB=4，点M为AB的中点， ∴AM=2．当△AMN∽△ABC时， = ，即 = ，解得MN= ；当△AMN∽△ACB时， = ，即 = ，解得MN=3．∴MN的长为： 或3
【解析】【分析】先根据M是AB的中点得出AM=2，再分△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两种情况进行讨论即可．
18.【答案】（﹣4，﹣6）或（4，6）
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB放大为△OA′B′，B（2，3）， 则顶点B的对应点B′的坐标为（﹣4，﹣6）或（4，6），故答案为（﹣4，﹣6）或（4，6）．【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
19.【答案】 （1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）
（2）如图， ?
△A2BC2即为所求，C2（1，0），
△A2BC2的面积：
6×4﹣ 12 ×2×6﹣ 12 ×2×4﹣ 12 ×2×4
=24﹣6﹣4﹣4
=24﹣14
=10．
【解析】【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；（2）延长BA到A2 ， 使AA2=AB，延长BC到C2 ， 使CC2=BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
四、解答题
20.【答案】 解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ BNCD ＝ ABAC ，即 1.8x=1.2x?1.8 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【解析】【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
21.【答案】 解：过点G做GH⊥BE于点H∵DC=CE，DC⊥BE，∴ΔDCE是等腰直角三角形∴∠DEC=45°∵CF⊥BE，四边形ABCD是正方形∴ΔFCE∽ΔABE∴CFAB=CEBE∵CE=BC=AB=1∴CF=12∵GH⊥BE∴ΔBCF∽ΔBHG∴CFBC=GHBH∵∠DEC=45°，GH⊥BE∴GH=HE设GH=x，则BH=2-x解得x=23根据勾股定理得：BG=BH2+GH2=432+232=253
【解析】【分析】由已知可知直角三角形DCE是等腰直角三角形，再由CF⊥BE得ΔFCE∽ΔABE。根据相似三角形对应边成比例求得CF的长，由GH⊥BE得ΔBCF∽ΔBHG。再次根据相似三角形的对应边成比例与∠DEC为45°，可求出GH与BH的长，根据勾股定理即可求得BG的长。
22.【答案】 证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴ ACPD=CPDB=12 .
∴△ACP∽△PDB.
【解析】【分析】由等边三角形的各角相等、各边相等可得 ∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2 ，根据邻补角的意义可得 ∠ACP＝∠PDB＝120° ，由计算可得 ACPD=CPDB ， 由“ 两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似”可求解。
23.【答案】 解：问题原型：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠BAG＝∠EAG﹣∠BAG．
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
类比探究：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AB＝2AD，AE＝2AG，
∴ ABAD ＝ AEAG ＝2，
∴△ABE∽△ADG；
推广应用：
由类比探究可知△CAE∽△BAD，
∴ S△CAES△BAD=(ACAB)2 ＝ 14
∵△ABD的面积为12，
∴S△ACE＝12× 14 ＝3，
∵△ABC的面积为32，
∴S阴影部分图形＝S△ABC﹣S△AEC＝32﹣3＝29
【解析】【分析】 问题原型 ：利用正方形的性质易证AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，再证明∠BAE＝∠DAG，然后利用SAS可证得结论。 类比探究： 利用已知易证∠BAE＝∠DAG， ABAD ＝ AEAG ， 再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。 推广应用：由类比探究可知△CAE∽△BAD，再利用相似三角形的性质，求出△ACE的面积，再根据△ABC的面积，就可求出阴影部分的面积。
五、综合题
24.【答案】 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）证明：∵△PAB∽△PBC，
∴ PAPB=PBPC=ABBC ，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴ ABBC=2 ,
∴ PB=2PC，PA=2PB
∴PA=2PC；
（3）解：过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴ PEDP=APPC=2 ，即 h3h2=2 ，∴ h3=2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴ h1h2=ABBC=2，∴h1=2h2
即 h12=2h22=2h2?h2=h2h3 .
【解析】【分析】（1）直接根据两角分别相等的两个三角形相似，可证 △PAB∽△PBC. （2）利用相似三角形对应边成比例，可得 ? PAPB=PBPC=ABBC ， 由于△ABC是等腰直角三角形，可得 ABBC=2?，即得? PB=2PC，PA=2PB?，从而可得PA=2PC； （3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证 Rt△AEP∽Rt△CDP，利用对应边成比例可求出? h3=2h2?，由△PAB∽△PBC，?可得 ? h1h2=ABBC=2，即得h1=2h2 ，?从而求证出结论.
25.【答案】 （1）证明：∵DB平分 ∠ADC ，
∴∠ADB＝∠CDB ，且 ∠ABD＝∠BCD＝90° ，
∴ΔABD∽ΔBCD
∴ADBD=BDCD
∴BD2＝AD?CD
（2）证明： ∵BM//CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD ，且 ∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD?CD ，且 CD＝6，AD＝8 ，
∴BD2＝48 ，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝27
∵BM//CD
∴ΔMNB∽ΔCND
∴BMCD=MNCN=23 且 MC=27
∴MN=457
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可得∠ADB=∠CDB，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△ABD∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得ADBD=BDCD ， 从而求出结论. （2）根据两直线平行，内错角相等，可得∠MBD=∠BDC，从而可得AM=MD=MB=4，由BD2=AD·CD，可得BD2=48，利用勾股定理可求出MC的长，利用平行线可证△MNB∽△CND，可得BMCD=MNCN=23，从而求出MN的长.