【专题1】关于圆心角与圆周角的关系问题研究
【回归课本】
定理内容：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【解析】∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.
【思路导引】本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.
解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC=∠AOC仍然成立.
(1)对图(2)的情况,连结BO并延长交圆O于点D,
由题图(1)知:∠ABD=∠AOD,
∠CBD=∠COD.
∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD,
即∠ABC=∠AOC.
(2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.
【规律归纳】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理，了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
【典例解析】
【例题1】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．
【提高检测】：
1.（2019?甘肃庆阳?3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 .
2.（2019?山东潍坊?3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
3.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.
4.如图所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？
5.（2019?湖北省荆门市?10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
【专题1】关于圆心角与圆周角的关系问题研究
【回归课本】
定理内容：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【解析】∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.
【思路导引】本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.
解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC=∠AOC仍然成立.
(1)对图(2)的情况,连结BO并延长交圆O于点D,
由题图(1)知:∠ABD=∠AOD,
∠CBD=∠COD.
∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD,
即∠ABC=∠AOC.
(2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.
【规律归纳】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理，了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
【典例解析】
【例题1】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．
【思路导引】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，由已知条件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°﹣∠AED，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD，
∴∠EAD=90°﹣∠CAD，
即∠EAD+∠CAD=90°，
∴EA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，
∴4∠ABC=90°，
∴∠ABC=22.5°，
由（1）知：∠ABC=∠CAD，
∴∠CAD=22.5°．
【提高检测】：
1.（2019?甘肃庆阳?3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 .
2.（2019?山东潍坊?3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
3.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.
4.如图所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？
5.（2019?湖北省荆门市?10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
【提高检测答案】：
1.（2019?甘肃庆阳?3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 .
【思路导引】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
2.（2019?山东潍坊?3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【思路导引】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
而∠DCA＝∠ABD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE＝90°，
而∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FD＝FA＝5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，
∴EF＝3，
∴AE＝4，DE＝5+3＝8，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝4+16＝20，
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，
∴BC＝20×＝12．
故选：C．
3.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.
【思路导引】：由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.
【解析】：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.
∵AB∥CD，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.
∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.
在Rt△EDB中，BD==，∴BD的长为.
4.如图所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？
【思路导引】：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.
【思路导引】由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧弧APB外任一点对A、B的视角都小于θ;在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于θ;在圆弧弧APB内任一点对A、B的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.
【解析】船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.
（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.
∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.
（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.
5.（2019?湖北省荆门市?10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
【思路导引】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由＝2R，同理可得：-=＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝=
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得：-=＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC?cosB＝cos60°＝，AE＝AC?cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR?sinC，
∴sinC＝＝．
