【专题2】垂径定理的性质与运用
【回归概念】
垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。
【规律探索】
1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．
【典例解析】：
①用垂径定理求点的坐标
【例题1】（2019?山东威海?3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
【例题2】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
③巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
【达标检测】
1. （2019?广西北部湾?3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．
3. （2019?四川省凉山州?4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
4. （2019?浙江嘉兴?4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
【专题2】垂径定理的性质与运用
【回归概念】
垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。
【规律探索】
1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．
【典例解析】：
①用垂径定理求点的坐标
【例题1】（2019?山东威海?3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
【思路导引】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
【例题2】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
【解析】如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，
易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.
过点D作DH⊥AB于点H，
连接OA，OC.
易知AE＝4，CF＝3，
由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，
∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7. 即PA＋PC的最小值为7.
③巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
【解析】如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．
设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，
AD＝AB＝3.6米．
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝3.62＋(r－2.4)2，
解得r＝3.9.
在Rt△OHN中，
OH＝＝3.6(米)．
所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．
因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．
【达标检测】
1. （2019?广西北部湾?3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．
3. （2019?四川省凉山州?4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
4. （2019?浙江嘉兴?4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
【达标检测答案】
1. （2019?广西北部湾?3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【解析】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．
2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．
【思路导引】先利用三角形内角和求出第三个角为30°，是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角函数等，即可求出BD的长． 【解析】：过C作CE⊥AB，垂足为E，
∴BD=2BE
∵∠ACB=130°，∠BAC=20°
∴∠ABC=30°
在Rt△BCE中，BC=2，
BE=BC·cos30°=2×
∴BD=，故答案为．
3. （2019?四川省凉山州?4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 2 ．
【思路导引】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
4. （2019?浙江嘉兴?4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【思路导引】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，
∴CD的最大值为＝AB=＝，
故答案为：．
5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形
证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD= AB，AE= AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.
∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，
∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.
又∵MN⊥CD，
∴CN＝DN＝CD＝4.
易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.
在Rt△MNC中，
MN＝
∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.
∴点C的坐标为(1，3)．
7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
【解析】
(1)连接AC，
∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF，
∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，
则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，
∴BE＝CE，
∴AC＝AB.
∴AB＝BC＝2.
(2)由(1)知AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.
即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，AF＝，
易得OA＝2，即⊙O的半径为2.
