【专题3】二次函数解析式四种模型研究
【回归概念】
1.一般式：
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）。已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式，列出三元一次方程组解答即可。
2.顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
3.交点式（两根式）：
[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
4.对称点式:
若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m (a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。
【规律探寻】
求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过程简便．与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
①当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
②当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
③当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
④当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
⑤当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
⑥当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
【典例解析】
例题1：已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数解析式． (用多种方法解)
例题2：已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．
【达标检测】
1. （2019?湖北省咸宁市?3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
2. （2019?山东省济宁市 ?3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
3. (2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
图1 图2
4. （2019?湖北天门?3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
5. 已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．
6. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数解析式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积
的最大值．
7. （2019?湖北省鄂州市?10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
8. （2019?贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【专题3】二次函数解析式四种模型研究
【回归概念】
1.一般式：
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）。已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式，列出三元一次方程组解答即可。
2.顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
3.交点式（两根式）：
[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
4.对称点式:
若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m (a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。
【规律探寻】
求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过程简便．与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
①当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
②当h<0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
③当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
④当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
⑤当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
⑥当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
【典例解析】
例题1：已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数解析式．
【解析】方法一：设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意
∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2－x＋
方法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－
∴抛物线对应的函数解析式为y＝－ (x＋2)2＋4.即y＝－x2－x＋
方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)．
设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，
解得a＝－
∴抛物线对应的函数解析式为y＝－ (x－1)(x＋5)，
∴即y＝－x2－x＋
例题2：:已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．
【思路导引】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．
【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．
∴y=（x﹣）2﹣．
∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．
（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．
令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．
∵a＞0，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．
【达标检测】
1. （2019?湖北省咸宁市?3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
2. （2019?山东省济宁市 ?3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
3. (2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
图1 图2
4. （2019?湖北天门?3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
5. 已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．
6. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数解析式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积
的最大值．
7. （2019?湖北省鄂州市?10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
8. （2019?贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【达标检测答案】
1. （2019?湖北省咸宁市?3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【思路导引】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A.B；再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．
【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A.B错误；
∵n＞0，∴m﹣n＜m；
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确故选：D．
2. （2019?山东省济宁市 ?3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【思路导引】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．故选：D．
3. (2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
图1 图2
【解析】设抛物线的解析式为将代入得：
∴抛物线解析式为：，故选B
4. （2019?湖北天门?3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 100 ．
【思路导引】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．
【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），
S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，
当x＝10时，S最大值为100．
故答案为100．
5. 已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．
【解析】由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.
又∵BC＝AB，∴BC＝5.
在Rt△BCO中，OC＝
∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．
设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，
解得a＝－
将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝
∴该抛物线对应的函数解析式为
y＝－ (x－1)(x＋4)或y＝(x－1)(x＋4)，
即y＝－x2－x＋3
或y＝x2＋x－3.
6. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数解析式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积
的最大值．
【解析】(1)∵AB＝x m，∴BC＝(28－x) m.
于是易得S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.
即S＝－x2＋28x(0＜x＜28)．
(2)由题意可知，
解得6≤x≤13.
由(1)知，S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
易知当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195 m2.
7. （2019?湖北省鄂州市?10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【思路导引】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
8. （2019?贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【思路导引】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40
（2）依题意，设利润为w元，得
w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400
整理得w＝﹣（x﹣25）2+225
∵﹣1＜0
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
