【专题9】分式求值问题方法研究
【回归概念】
内容：分式的化简求值问题一直是中考数学常考题型之一，它涉及的知识点有：因式分解、分式的约分、通分，分式的加减乘除四则混合运算，特殊角的三角函数值，方程或者方程组的解法，不等式或不等式组的解法，分母有理化等问题，此类题型属于中等难度的问题，也属于易错题题型。例如a、b互为倒数，求代数式的值、已知，求的值、已知，求的值等形式的问题，分式化简求值的题型主要有以下几种，转化所求问题后将条件整体代入求值，转化已知条件后，整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后代入求值。
【规律探寻】
解决分式的求值问题要考虑问题存在的运算特点，要注意灵活选用，常见的分式求值的方法有：设参数求值，活用公式求值、整体代入求值法、巧变形法求值等。
【典例解析】
例题1：（2018·湖北省孝感·3分）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（ ）
A．48 B．12 C．16 D．12
【分析】先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：（x﹣y+）（x+y﹣）
=?
=?
=（x+y）（x﹣y），
当x+y=4，x﹣y=时，原式=4=12，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
例题2：（2019湖北宜昌6分）已知：x≠y，y＝﹣x+8，求代数式+的值．
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y＝﹣x+8代入计算可得．
【解答】解：原式＝+＝＝，
当x≠y，y＝﹣x+8时，
原式＝x+（﹣x+8）＝8．
例题3：（2019?山东省滨州市 ?10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
【考点】分式的混合运算
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出x的整数解，由分式有意义的条件确定最终符合分式的x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]?
＝?
＝，
解不等式组得1≤x＜3，
则不等式组的整数解为1、2，
又x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
【达标检测】
1. 计算的结果是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】，故选A.
2. （2019?山东临沂?3分）计算﹣a﹣1的正确结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
故选：A．
【点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用.
（2018?北京?2分） 如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式，∵，∴原式．
【考点】分式化简求值，整体代入．
4. （2019?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤x＜1
故表示﹣的值的点落在②
5. （2018年四川省内江市）已知：﹣=，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．
【分析】由﹣=知=，据此可得答案．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．
6. （2019?湖北十堰?6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中a＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷（﹣2）
＝
＝
＝，
当a＝+1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7. （2019?湖南长沙?6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝?
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
8. （2019?山东省德州市 ?8分）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）?（++2），其中+（n﹣3）2＝0．
【考点】分式化简求值
【分析】先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．
【解答】解：（﹣）÷（﹣）?（++2）
＝÷?
＝??
＝﹣．
∵+（n﹣3）2＝0．
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
∴﹣＝﹣＝．
∴原式的值为．
【点评】本题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算．
9. （2019?黑龙江哈尔滨?7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）?
＝?
＝，
当x＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×＝4+时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10. （2019，山东枣庄，8分）先化简，再求值：÷（+1），其中x为整数且满足不等式组
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝?
＝，
解不等式组得2＜x≤，
则不等式组的整数解为3，
当x＝3时，原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
11. （2019，四川巴中，5分）已知实数x、y满足+y2﹣4y+4＝0，求代数式?÷的值．
【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．
【解答】解：?÷
＝??
＝，
∵+y2﹣4y+4＝0，
∴+（y﹣2）2＝0，
∴x＝3，y＝2，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【专题9】分式求值问题方法研究
【回归概念】
内容：分式的化简求值问题一直是中考数学常考题型之一，它涉及的知识点有：因式分解、分式的约分、通分，分式的加减乘除四则混合运算，特殊角的三角函数值，方程或者方程组的解法，不等式或不等式组的解法，分母有理化等问题，此类题型属于中等难度的问题，也属于易错题题型。例如a、b互为倒数，求代数式的值、已知，求的值、已知，求的值等形式的问题，分式化简求值的题型主要有以下几种，转化所求问题后将条件整体代入求值，转化已知条件后，整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后代入求值。
【规律探寻】
解决分式的求值问题要考虑问题存在的运算特点，要注意灵活选用，常见的分式求值的方法有：设参数求值，活用公式求值、整体代入求值法、巧变形法求值等。
【典例解析】
例题1：（2018·湖北省孝感·3分）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（ ）
A．48 B．12 C．16 D．12
例题2：（2019湖北宜昌6分）已知：x≠y，y＝﹣x+8，求代数式+的值．
例题3：（2019?山东省滨州市 ?10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
【达标检测】
1. 计算的结果是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2. （2019?山东临沂?3分）计算﹣a﹣1的正确结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3. （2018?北京?2分） 如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
4. （2019?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
5. （2018年四川省内江市）已知：﹣=，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
6. （2019?湖北十堰?6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中a＝+1．
7. （2019?湖南长沙?6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
8. （2019?山东省德州市 ?8分）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）?（++2），其中+（n﹣3）2＝0．
9. （2019?黑龙江哈尔滨?7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．
10. （2019，山东枣庄，8分）先化简，再求值：÷（+1），其中x为整数且满足不等式组
11. （2019，四川巴中，5分）已知实数x、y满足+y2﹣4y+4＝0，求代数式?÷的值．
