备战2020中考数学专题模型研究12讲 专题4 根的判别式的模型研究（学生版+教师版）

【专题4】根的判别式的模型研究
【回归概念】
定理：根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程（a≠0）的根的判别式是，用“△”表示(读做“delta”)。对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子 b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
【规律探寻】：
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况，也可以判断方程中未知数的取值范围，在具体应用上也可进行判断三角形的边长取值范围或者三角形的形状，
若出现在二次函数中时，可以判断二次函数图像与x轴的交点情况，大于零时有两个交点，等于零时有一个交点，小于零时没有交点。
【典例解析】
①用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例题1】 （2019?四川省广安市?10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.

②利用根的判别式求字母的值或取值范围
【例题2】（2019?山东省聊城市?3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
利用根的判别式求代数式的值
【例题3】已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值
利用根的判别式解与函数综合问题
【例题4】（2019?湖南衡阳?8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
利用根的判别式确定三角形的形状
【例题5】已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋ ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
利用根的判别式探求菱形条件
【例题6】已知?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时，?ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求?ABCD的周长是多少？
【达标检测】
1. （2019?湖南湘西州?4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2. y＝x＋1是关于x的一次函数，则关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 (　　)
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
3. （2019?湖北省咸宁市?3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
4. （2018?黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　 　．
5. 已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
6. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
7. （2019?湖北孝感?10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
8. （2019?湖南衡阳?8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【参考答案】
【典例解析】
①用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例题1】 （2019?四川省广安市?10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
（1）证明：，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，，即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=；
②利用根的判别式求字母的值或取值范围
【例题2】（2019?山东省聊城市?3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【考点】一元二次方程的定义以及根的判别式
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
③利用根的判别式求代数式的值
【例题3】已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值
【解析】∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，即2m－1＝±4.
∴m＝或m＝－.
当m＝时，
当m＝－时，
④利用根的判别式解与函数综合问题
【例题4】（2019?湖南衡阳?8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，
∴m的值为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
⑤利用根的判别式确定三角形的形状
【例题5】已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
【解析】∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.
∴b2＋c2＝a2.
∴此三角形是直角三角形．
⑥利用根的判别式探求菱形条件
【例题6】已知?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时，?ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求?ABCD的周长是多少？
【解析】(1)由题意，得Δ＝0，
即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.
∴m＝1.
故当m为1时，?ABCD是菱形．
此时原方程为x2－x＋＝0，
解得x1＝x2＝.
即菱形ABCD的边长为.
(2)由题意知2是关于x的方程x2－mx＋－＝0的一个根，
∴将x＝2代入原方程得4－2m＋－ ＝0，
解得m＝，故原方程为x2－x＋1＝0，
解得x1＝2，x2＝. ∴AD＝.
故?ABCD的周长为2×＝5.
【达标检测】
1. （2019?湖南湘西州?4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
2. y＝x＋1是关于x的一次函数，则关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 (　　)
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【解析】∵y＝x＋1是关于x的一次函数，
∴≠0，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.
3. （2019?湖北省咸宁市?3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
4. （2018?黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　13　．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
5. 已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【解析】(1)Δ＝[－(m＋2)]2－8m
＝m2－4m＋4
＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，即Δ≥0.
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
得
∴x1＝，x2＝1.
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴m＝1或m＝2.
又∵方程的两个根不相等，
∴m≠2，∴m＝1.
6. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
7. （2019?湖北孝感?10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
8. （2019?湖南衡阳?8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，∴m的值为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．