高中数学必修五 3.2一元二次不等式及3.4基本不等式 教案

教案-马国辉-必修五复习及一元二次不等式及基本不等式-2018春季
第7周
上周教学反思：前一段时间，学生都是对于数列的学习，数列是高中的重要知识，也是常考知识点，它在高中数学中占有重要的地位，数列这一章节是相对独立的。所以他的学习也是立独的，他的解题方法带有很强的技巧，数列的公式也很多，运算量大，这都是同学们学好数列的重重阻力，要突破这些阻力也非一朝一夕之功，所以在以后的学习中，我将带领同学们练好基本功，对数列循序渐进的学习。
3.2一元二次不等式及其解法
教学目标
（一）教学知识点
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2．一元二次不等式的解法.
（二）能力训练要求
1．通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想.
2．提高运算（变形）能力.
（三）德育渗透目标
渗透由具体到抽象思想.
教学重点
一元二次不等式解法
教学难点
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.
数形结合思想渗透.
教学方法
发现式教学法
通过“三个二次”关系的寻求，得到一元二次不等式的解.
教学过程
Ⅰ创设情景
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还 要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这 段距离为 “ 刹车距 ” 。刹车距 s(m) 与车速 x(km/h) 之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距 函数不同。它是分析交通事故的一个重要数据。
甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又知这两辆车的刹车距s(m)与车速x(km/h)分别有以下函数关系：S甲=0.01x2+0.1x，S乙=0.005x2+0.05x，谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。
试问：哪一辆车违章了？
解：由题意可得要确定哪一辆车违章了,只需分别解出不等式0.01x2+0.1x≤12和0.005x2+0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断出哪一辆车违章超速行驶。
像上面的形如 ax 2 +bx+c>0( ≥ 0) 或 ax 2 +bx+c<0( ≤ 0) 的不等式（其中 a ≠ 0 ），叫做 一元二次不等式
复习：
①解一元一次不等式时应具备的知识：
不等式的性质：
1）若则
2）若且则
3）若且则
②还有一种数学方法可以解不等式——数形结合法，它在解不等式中起着非常优越的作用！
Ⅱ讲授新课
1．先看解一元二次不等式中的数形结合
例：解不等式和.
①解方程
②作函数的图象
③解不等式

2．利用数形结合解一元二次不等式
解不等式和
①解方程，，
②作函数的图象
③解不等式
或
例题：P76页例1、2、3
3．思考交流
（1）总结一元二次不等式的解法（）
方程
的解的情况
函数
图象
不等式的解集
当时方程有两个不等的根，
当时方程有一根
当时方程无实根
无
（2）解不等式0.01x2+0.1x≤12和0.005x2+0.05x>10并指出哪一辆车违章？
4．练习
①已知函数的图象与轴的交点横坐标为和2，则当或时，；当时，.
②若方程无实数根，则不等式的解集是
③已知不等式的解是，则-12 -2
④若不等式的解集是，则实数的取值范围是 .
⑤若满足，化简1
小结：
1．习了一个重要的解一元二次不等式的方法——数形结合
2．习了解一元二次不等式的一般式：
a果不是一般式的优先变为一般式；
b据对应方法的判别式确定对应方程根的情况；
c由对应方程根的情况作出对应函数的图象；
d据函数的图象写出不等式解的情况
作业
4.板书设计
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5. 作业
课本第80页的习题3.2[A]组第3、5题
3.4基本不等式
一、教学目标：
知识与技能：
1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.
过程与方法：
1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
情感、态度与价值观：
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从
理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生
严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，
从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的
应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
二．重点难点?
重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.
难点：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.
三、教材与学情分析
本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）
（二）探究新知
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？
生 应该先从此图案中抽象出几何图形.
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？
（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么
关系呢？
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.
师 一定吗？
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，
所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.
师 回答得很好.
师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，
所以可得a2+b2≥2ab.
师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.
生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.
师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.
生 作商，用商和“1”比较大小.
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.
师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）
板书：
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.
生 完全可以.
师 为什么？
生 因为不等式中的a、b∈R.
师 很好，我们来看一下代替后的结果.
板书：
即 (a＞0,b＞0).
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？
（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）
要证：，①
只要证a+b≥2，②
要证②，只要证：a+b-2≥0，③
要证③，只要证：④
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
老师用投影仪给出下列问题.
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.
生 由射影定理也可得.
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？
生表示半弦长，表示半径长.
师 半径和半弦又有什么关系呢？
生 由半径大于半弦可得.
师 这位同学回答得是否很严密？
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).
（三）典例解析
例1.已知都是正数，求证：
（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值.
回答问题3，得出：
1.利用定理可以求解最值问题；
2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.
3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.
指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可.
练习1.(1)已知，当取什么值时,的值最小，最小值是多少？
(2)已知，当取什么值时, 的值最大，最大值是多少？
投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.
练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.
（1）求函数 的值域.
解：
（2）求函数的最大值.
解： ≤
函数没有最大值.
（3）求函数的最小值.
解：
≥
带领学生分析：练习1错误原因: 忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因: 不满足和为定值；练习3错误原因: 不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法.
再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.
六、课堂小结
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.
七、课后作业
1.课时练与测
八、板书设计
1.基本不等式a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
2.基本不等式的推导式 (a＞0,b＞0).
3.7 不等式复习与小结
一、教学目标：
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二．重点难点?
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
三、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
四、教学过程
1.本章知识结构
2.知识梳理
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法
3、应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)



二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根

R



（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1、如果a,b是正数，那么
2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
3.典型例题
1、用不等式表示不等关系
例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，
根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、
咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。
写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。
比较大小
例3 (1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4)
(6)
利用不等式的性质求取值范围
例4 如果,,则
(1) 的取值范围是 , (2) 的取值范围是 ,
(3) 的取值范围是 , (4) 的取值范围是
例5已知函数,满足,,那么
的取值范围是 .
[思维拓展]已知，，求的取值范围。（[-2，0]）
解一元二次不等式
例6 解不等式：（1）；（2）
例7已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
二元一次方程（组）与平面区域
例8 画出不等式组表示的平面区域。
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例9已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。
[思维拓展] 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，
及相应的z的最大值
利用基本不等式证明不等式
例8 求证
利用基本不等式求最值
例9若x>0,y>0,且,求xy的最小值
[思维拓展] 求(x>5)的最小值.
五、课后作业
1.课时练与测
六、板书设计、
1.知识与小结 例题 例题