高中数学选修1-2复习教案

第4周教学反思：上周学习框图，因为本章知识点较少，内容简单，所以学生掌握起来较为容易，后面两天进入本次月考复习，总体效果还算是好。
教案-胡海-选修1-2复习-2018春季第5周
第一章统计案例 小结与复习
一、教学目标设计
1.知识与能力
在必修３概率统计内容的基础上，通过典型案例进一步学习回归分析的基本思想、方法及其初步应用；通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，认识统计方法在决策中的作用．
2.过程与方法
通过知识与例题讲解的结合,培养学生归纳知识、整合知识的能力．借助样本数据的分析，提高学生的数据分析能力．
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系．培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力
二、教学重点及难点
重点： 理解回归分析的基本思想及实施步骤；理解独立性检验的基本思想及实施步骤．
难点：了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用，以及了解独立性检验（只要求２×２列联表）的基本思想、方法及其初步应用
三、教学方法
讲授法，谈话法与多媒体结合
四、教学过程
一、知识结构

二、知识回顾
1．相关关系与函数关系的区别：函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，当自变量给定时，函数值确定．而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性．
2．回归直线过样本点的中心，其中　．
3．线性回归模型的完美表达式为： ，参数和的最小二乘估计分别为和，其计算公式为：，．
4．残差：对于样本点而言，它们的随机误差为，
其估计值为，称为相应于点的残差．
残差分析的一般步骤：
（1）计算观察数据的残差．（2）画残差图．（3）分析残差图．
5．我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
　　
R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.
6．建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）．
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程；如果不是线性关系，根据图像特点建立非线性模型通过变换再转化为线性回归模型）．
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）．
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等）．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
7．“独立性检验”的一般步骤为:
⑴.根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量X与Y有关系”犯错误概率的上界α，然后查表1-11确定临界值ｋ0
⑵.利用公式(1) ，计算随机变量K2的观测值ｋ;
⑶.查对临界值表得出结论，如果ｋ≥ｋ0,就推断“X与Y有关系”，这种推断错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”
三、典型例题分析
（一）区别相关关系与函数关系.
【例1】下列各组变量的关系中是相关关系的是( ).
A.电压U与电流I B.圆面积S与半径R
C.粮食产量与施肥量 D.天上出现的彗星流与自然蚧的灾害
【解析】A,B选项中的变量都是函数关系 ,是确定的.D选项中的量没有关系,只有C选项中是相关关系,具有不确定性,故答案是C.
（二）有关线性回归直线．
1．线性回归直线过样本中心，这个知识点经常在小题中出现．
【例２】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，
ｘ
3
4
5
6
ｙ
2.5
3
4
4.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是＿＿＿＿＿＿＿．
【解析】
2．建立线性回归模型，并进行预测．
【例３】 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值（即人均GDP）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：
人均GDP（万元）
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童数
351
312
207
175
132
180
（1）画出散点图；
（2）求对的回归直线方程；
（3）如果这个省的某一城市同时期年人均GDP为12万元，估计这个城市一年患白血病的儿童数目.
【分析】利用公式分别求出的值，即可确定回归直线方程，然后再进行预测.
【解】（1）作与对应的散点图，如右图所示；
（2）计算得
，
∴，，
∴对的回归直线方程是．
（3）将代入得：，估计这个城市一年患白血病的儿童数目约为381.
（三）在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系．在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系．
【例４】 寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2008年2月1日在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计：
天数
1
2
3
4
5
6
7
人数
7
11
21
24
66
115
325
（1）作出散点图，并猜测与之间的关系；
（2）建立与的关系，预报回归模型并计算残差；
（3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子传播时间共10天）进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人.
【分析】先通过散点图，看二者是否具有线性相关关系，若不具有，可通过相关函数变换，转化为线性相关关系.
【解】（1）散点图：
从散点图可以看出与不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线的周围，其中是参数；
（2）对两边取对数，把指数关系变成线性关系.令，则变换后的样本点分布在直线的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立与之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：
天数
1
2
3
4
5
6
7
人数
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为，
∴.
（3）截止到2008年2月12日，，此时（人）.
∴估计可去1530人.
（四）独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．重点是理解独立性检验的基本思想及实施步骤，在高考中可能和概率综合出解答题．根据样本数据计算检验统计量的值，要会给出推断结果及其解释．
【例５】有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的70个，外国人的54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字.
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？
【分析】按题中数据建列联表，然后根据列联表数据求出值，即可判定.
【解】（1）2×2的列联表：
中国人
外国人
总计
有数字
43
27
70
无数字
21
33
54
总计
64
60
124
（2）假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”.
由表中数据得，
因为k >5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”.
【评注】独立性检验类似于反证法，其一般步骤为：　　
第一步：首先假设两个分类变量几乎没有关系（几乎独立）；
第二步：求随机变量k的值；
第三步.判断两个分类变量有关的把握（即概率）有多大.
五、课堂小结
本章是在必修３的基础上，进一步研究了两个变量的关系，通过散点图直观地了解两个变量的关系，然后通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、R2等评价模型的好坏，这就是回归分析的基本思想．在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，比如研制出一种新药，需要推断此药是否有效；有人怀疑吸烟的人更容易患肺癌，需要推断患肺癌是否与吸烟有关；等等．在对类似的问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿得出结论，需要通过试验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理的推断．
统计方法是可能犯错误的：不管是回归分析还是独立性检验，得出的结论都可能犯错误．好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率．实际上，这就是统计思维与确定性思维差异的反映．
六、课后作业
课本复习参考题A组
板书设计

第二章 推理与证明
一、教学目标设计
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点及难点
重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学方法
讲授法，谈话法与多媒体结合
四、教学过程
1．归纳推理与类比推理的区别与联系
（1）联系：归纳推理与类比推理都是合情推理，且归纳推理与类比推理得出的结论都不一定可靠．
（2）区别：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的一种推理，它是由特殊到一般、由部分到整体的推理．而类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．例如，已知甲、乙两类对象都具有性质，且甲还具有性质d，可以猜想乙也具有性质d，这种推理就是类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．合情推理与演绎推理的区别与联系
（1）区别：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理，由合情推理得到的结论都仅仅是猜想，未必可靠．演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理是由一般到特殊的推理．由演绎推理得出的结论都是可靠的．在数学中，证明命题的正确性，都要用演绎推理．演绎推理的一般模式是三段论．
（2）联系：合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用．在数学结论及其证明思路的发现中，主要依靠合情推理．而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理．因此在数学学科的发展中，这两种推理都是不可缺少的．
3．综合法与分析法的区别
综合法与分析法是证明命题的两种最基本最常用的方法，用这两种方法证明命题的思路截然相反．综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证（即演绎推理），最后推导出所要证明的结论成立．而分析法则是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件．综合法“由因导果”，而分析法是“执果索因”．在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．
4．反证法证题的一般步骤
（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面正确；
（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
5．如何正确选择综合法、分析法、反证法
（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时．
（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时．
（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰．
（4）注意分析法的表述方法：“要证明…，只需证明…，因为…成立，所以…成立”，“为了证明…，只需证明…，即…，因此只需证明…”．
（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”．
（6）利用反证法证题时注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
??? 证明：(用分析法思路书写)
??? 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
??? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
??? 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立，
??? 即需证(a-b)2＞0成立。
??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
??? (以下用综合法思路书写)
??? ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab
??? 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
??? 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
例2.若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= ==
∴ ∴
例3.已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：（1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
（2）商值比较法：设
故原不等式得证
①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑”　—　鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议”　—　鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
例5.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
证：设(1 ? a)b >, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >,
则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：, 以上三式相乘：
(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾，∴原式成立
例6.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
五、课堂小结 体会常用的思维模式和证明方法
六、课后作业
1．在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则
A． B． C． D．
2 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )Ahttp://www.ks5u.com/ 30 B 26 Chttp://www.ks5u.com/ 36 D 6
3 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145http://www.ks5u.com/
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和
七、板书设计
第三章 数系的扩充和复数的引入
一、教学目标设计
1.理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
2.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
3.掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
二、教学重点及难点
教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点: 复数的代数形式的加、减运算及其几何意义，加、减运算的几何意义
三、教学方法
讲授法，谈话法
四、教学过程
【知识点归纳】
1、复数集
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数
2、复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；
（2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；
（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；
（4）除法：；
（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：
① （n为整数）的周期性运算； ② （1±i）2=±2i；
③ 若ω=－+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.
3、共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数（b≠0）.
（2）复数z=a+bi的模，|a|=, 且=a2+b2.
注：复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
4、复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
【典型例题】
例1、当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i；
（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．
（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，
解得m=2，∴ m=2时，z为实数。
（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，
解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．
（3），
解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数．
诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注 意分母不为零这一要求．
例2、（1） 使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝ .
解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．
∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，
∴
当m＝3时，原不等式成立．
注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
（2） 已知z=x＋yi（x，y∈R），且 ，求z．
解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．
∵ ，∴，∴，
解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。
例3、若复数z满足z=（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程．
解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．
设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==，
∴ ，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．
∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．
诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．
五、课堂小结
在运用复数的基本概念解题时，应掌握以下几个环节内容：
理解复数的分类；
两复数相等的充要条件是它们的实、虚部分别相等；
实数的共轭复数是其本身；
注意把复数问题实数化。
应熟练掌握复数的代数形式以及利用代数式的运算法则进行四则运算；在运算过程中记住一些常见性质及结论，简化运算。
六、课后作业
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（ ）
A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件
C、甲是乙的充分必要条件 D、甲是乙的既不充分，又不必要条件
2、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（ ）
A、m≥－ B、m≤－ C、m= D、m=－
3、等于（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、i
4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（ ）
A、5＋3i B、5－3i C、－5＋3i D、－5－3i
5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（ ）
A、－2≤k≤2 B、k≤－2或k≥2
C、k=±2 D、k≠2
6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（ ）
A、m＝4，n=－3 B、m=－4，n＝13
C、m＝4，n=－21 D、m=－4，n＝－5
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7、已知下列命题：
（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比较大小；
（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）若 t＋si=3－4i，则 t=3、s=－4．
其中真命题为 ．
8、若复数z满足z+||=－1＋2i，则z= .
9、设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为 .
三、解答题（本大题共4题，共50分）
10、设是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．
11、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．
七、板书设计
【知识点归纳】
复数集

第四章 框图
一、教学目标设计
1、通过具体实例,进一步认识程序框图。
2、 通过具体实例,了解结构图。
3、能绘制简单实际问题的流程图和结构图,体会流程图和结构图在解决实际问题中的作用。
二、教学重点及难点
重点：学会绘制简单实际问题的流程图和结构图。
难点：绘制简单实际问题的流程图和结构图。
三、教学方法
讲授法，谈话法与多媒体结合
四、教学过程
举例：
像这样由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图。流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点 ”。程序框图是流程图的一种。如：
图书馆借书流程图：


绘制结构图
1、先确定组成系统的基本要素，以及这些要素之间的关系；
2、处理好“上位”与“下位”的关系；
“下位”要素比“上位”要素更为具体，
“上位”要素比“下位”要素更为抽象。
3、再逐步细化各层要素；
4、画出结构图，表示整个系统。
例1：考生参加培训中心考试需要遵循的程序。
在考试之前咨询考试事宜.如果是新考生,需要填写考生注册表,领取考生编号,明确考试科目和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试科目和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书。设计一个流程图，表示这个考试流程。
分析：在画流程图之前，先将上述流程分解为若干比较明确的步骤，并确定这些步骤之间的关系。
解：用流程图表示考试流程如下：
例2 某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理。执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理。生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员。
分析：必须理清层次，要分清几部分是并列关系还是上下层关系。
解：根据上述的描述，可以用如图（2）所示的框图表示这家公司的组织结构：
五、课堂小结
流程图的应用？
会用结构图解决学习和生活中的问题
六、课后作业
试卷练习
七、板书设计
知识结构：
1：
2：
3：
例题1
例题2
例题3
模块综合评价(1)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若z＝4＋3i，则＝(　　)
A．1　　　　B．－1C.＋i D.－i
解析：＝＝－i.
答案：D
2．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．
所以①、②、④是合情推理．
答案：C
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：由(，7.765)在回归直线＝0.66x＋1.562上．
所以7.765＝0.66＋1.562，则≈9.4，
所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
答案：A
4．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案：A
5．执行如图所示的程序框图，如图输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1.
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3；3>2，不满足条件，输出S＝7.
答案：D
6．如图所示，在复平面内，对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为(　　)
A．1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
解析：要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而＝＋，从而可求P0对应的复数．
因为＝，对应的复数是－1，
所以P0对应的复数，
即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
答案：D
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：因为＝＝176，
＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176，176)代入A、B、C、D中检验知选C.
答案：C
8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋a5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.
答案：C
9．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：因为tan A·tan B>1，所以A，B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0，1－tan A·tan B<0.
所以tan(A＋B)＝<0.所以A＋B是钝角，所以角C为锐角．
答案：A
10．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，
则＝，得y＝－x.
所以复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线y＝－x.
答案：A
11．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P解析：要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(　　)
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
解析：由程序框图知
第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；
第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；
第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；
第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.
……
第n次运行，an＝2an－1，
因此输出数列的通项公式为an＝2n.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．某学校的组织结构图如图所示：
则教研处的直接领导是________．
解析：由结构图知，教研处的直接领导为副校长甲．
答案：副校长甲
14．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则z的共轭复数＝________．
解析：因为(1＋i)z＝|－i|＝2，
所以z＝＝1－i，则＝1＋i.
答案：1＋i
15. ＝2， ＝3， ＝4……若 ＝6(a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________．
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6　35
16．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
解析：按照程序框图逐一执行．
由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：＋(5＋i19)－.
解：原式＝＋(5＋i16·i3)－
＝＋(5－i)－
＝i＋5－i＋i＝5＋i.
18．(本小题满分12分)某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”影响的试验，其中甲班为试验班(实施了数学学前教育)，乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学，但没有实施数学学前教育)，在期末测试后得到如下数据：
班级
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
总计
55
45
100
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用？
解：因为K2＝
＝
＝≈1.010<6.635.
所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认定进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用．
19．(本小题满分12分)纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后作杯壁用)和卷筒纸(作杯底)．再将矩形纸印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，将杯壁与杯底黏合，最后成型．画出该工序流程图．
解：该工序流程图如图所示．
20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，点E，F分别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.
证明：(1)连接AC交BE于点O，连接OF(如图)，不妨设AB＝BC＝1，则AD＝2，
因为AB＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCE为菱形，
因为O，F分别为AC，PC中点，所以OF∥AP，
又因为OF?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.
(2)因为AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
所以AP⊥CD，
因为BC∥ED，BC＝ED，
所以BCDE为平行四边形，
所以BE∥CD，所以BE⊥PA，又因为ABCE为菱形，所以BE⊥AC，
又因为PA∩AC＝A，AP，AC?平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
21．(本小题满分12分)设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x<0，y>0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai，由复数相等的充要条件得即＋y2－2y＝8，
所以＝－(y2－2y－8)＝－(y－1)2＋9， 则≤9，x<0，a<0，解得－6≤a<0，
所以a的取值范围是[－6，0)．
22．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角．
(1)解：<.证明如下：
要证<，只需证<.因为a，b，c>0，所以只需证b2因为，，成等差数列，所以＝＋≥2，所以b2≤ac.
又a，b，c均不相等，所以b2(2)证明：法一　假设角B是钝角，则cos B<0.
由余弦定理，得
cos B＝≥>>0，
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．所以角B不可能是钝角．
法二　假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边．
则b>a，b>c，所以>>0，>>0，
则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．所以角B不可能是钝角．
模块综合评价(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)
A．1　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：由＝i，得z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选A.
答案：A
2．如图所示的框图是结构图的是(　　)
A.→→→…→
B.→→→…→
C.
D.→→→→→
解析：选项C为组织结构图，其余为流程图．
答案：C
3．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(　　)
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除
解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：B
4．下面几种推理中是演绎推理的是(　　)
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0，1)
B．猜想数列， ，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理，选项A为演绎推理．
答案：A
5．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析：A中类比的结果应为loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y＝时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数结合律成立．
答案：D
6．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：因为＝1＋i，
所以z＝＝＝＝＝－1－i.
答案：D
7．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，
当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
答案：B
8．下列推理正确的是(　　)
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥2
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－≤－2＝－2
解析：A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．D利用基本不等式，推理正确．
答案：D
9．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是(　　)
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，所以x2＋y2－4＝0，且x≠y，由可解得x2＋y2＝4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．
答案：D
10．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(　　)
A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2 D．a，b，c中至少有一个不小于
解析：假设a，b，c中都小于，
则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾
所以a，b，c中至少有一个不小于.
答案：D
11．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示．则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为(　　)
分类
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
A.99% B．95%
C．90% D．97.5%
解析：K2的观测值为k＝≈5.059>5.024.
又P(K2≥5.024)＝0.025，
所以认为 “喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为97.5%.
答案：D
12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：输入x＝0，y＝1，n＝1，得x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36，不满足条件；执行循环：n＝2，x＝，y＝2，x2＋y2＝＋4<36，不满足条件；执行循环：n＝3，x＝，y＝6，x2＋y2＝＋36>36，满足条件，结束循环，输出x＝，y＝6，所以满足y＝4x.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________．
解析：因为(1＋2i)( a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，且a∈R，
由题意得a－2＝2a＋1，所以a＝－3.
答案：－3
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为______________________________________________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为______，③为________．
解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一种动物包括的种类，填上①③.
答案：地龟　哺乳动物　长尾雀
16．已知线性回归直线方程是＝＋x，如果当x＝3时，y的估计值是17，x＝8时，y的估计值是22，那么回归直线方程为______．
解析：首先把两组值代入回归直线方程得
解得
所以回归直线方程是＝x＋14.
答案：＝x＋14
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
解：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
知z的实部为正数，虚部为负数，所以复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
因为a2－2a＝(a－1)2－1≥－1，
所以x＝a2－2a＋4≥3，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2－(x≥3)．
18．(本小题满分12分)设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S<2a.
证明：因为S2＝2ab，所以要证S<2a，
只需证S<，即b因为S＝(a＋b＋c)，只需证2b因为a，b，c为三角形三边，
所以b19．(本小题满分12分)观察以下各等式：
tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，
tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，
tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．
解：表示一般规律的等式是：若A＋B＋C＝π，
则tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
证明：由于tan (A＋B)＝，所以tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)．
而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.
于是tan A＋tan B＋tan C＝tan(π－C)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
故等式成立．
20．(本小题满分12分)已知(2＋i)＝7＋i，求z及.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
所以(2＋i)(a－bi)＝7＋i，
所以(2a＋b)＋(a－2b)i＝7＋i，所以解得所以z＝3＋i.
所以＝3－i，所以＝＝＝＋i.
21．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，则
联立得d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
从而(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以
所以＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得 .
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．